线性代数行列式的性质与计算

1、1第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算 三、行列式的三个基本操作及其性质三、行列式的三个基本操作及其性质 二、几个简单的性质二、几个简单的性质 四、关于代数余子式的重要性质四、关于代数余子式的重要性质 一、行列式的转置一、行列式的转置 五、行列式的计算五、行列式的计算2第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 nnaaa22112121nnaaannaaa2112特点特点 一、行列式的转置一、行列式的转置定义定义不妨不妨记为记为设行列式设行列式 ,nnaaa22112121nnaaannaaa2112 D TD,i jjiaa .Ti jj

2、iMM 其其转置行列式转置行列式为为1. 转置行列式的概念与特点转置行列式的概念与特点 P 6 3第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即 .DDT 性质性质一、行列式的转置一、行列式的转置1. 转置行列式的概念与特点转置行列式的概念与特点2. 性质及其意义性质及其意义行列式中的行列式中的 “行行” 与与 “列列” 具有具有同等的地位同等的地位，意义意义因此凡是对因此凡是对“行行”成立的性质对成立的性质对“列列”也也同样成同样成立立. 比如，比如， 行列式行列式 D 亦可依行展开，亦可依行展开，. )1(2211niAaAaAaD

3、niniiiii 即即 P 7 性质性质1 P 8 推论推论 4第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 证明证明(利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明) 对对 1 阶行列式，性质显然成立；阶行列式，性质显然成立；假设对于假设对于 阶行列式成立，阶行列式成立，1 n则对于则对于 n 阶行列式有阶行列式有,)1(1njnijijiAaD ,11 njnijijiAanD nlnklklklkMa11)1( nlnkTkllkklMa11)1( nlnkkllkklMa11)1( nlnkklklAa11,nD nlnklklkTAanD11同理同理.DDT 即性质对于即性质对于 n 阶行列式也

4、成立。阶行列式也成立。由归纳假设由归纳假设5第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 二、几个简单的性质二、几个简单的性质性质性质(1) 若行列式中某若行列式中某行行( (列列) )的的元素全为零元素全为零, 则其值为零则其值为零. (2) 若行列式的某若行列式的某列列( (行行) )的元素都是的元素都是两数之和，两数之和，,)()()(2122222211111211nnininnnniiniiabaaaabaaaabaaa .122211111122211111nninnnininninnniniabaabaabaaaaaaaaaa 行列式等于两个行列式之和，行列式等于两个行列式之和，则

5、该则该即即P8 P 10 性质性质4 6第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 (2) 交换第交换第 i, j 两行两行( (或列或列) )的的所有元素，所有元素， (1) 将第将第 i 行行( (或列或列) )中所有的元素中所有的元素 k 倍，倍，三、行列式的三个基本操作及其性质三、行列式的三个基本操作及其性质1. 三个基本操作三个基本操作为了方便讨论，通常用为了方便讨论，通常用 ri 表示第表示第 i 行，行，ci 表示第表示第 i 列列. (3) 将第将第 i 行行( (或列或列) )的的各元素的各元素的 k 倍加到第倍加到第 j 行行( (或列或列) )( (或或 ).).irki

6、ck记作记作( (或或 ).).jirr jicc 记作记作对应的元素上，对应的元素上，ijrkr ijckc 记作记作( (或或 ).).补补 7第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 三、行列式的三个基本操作及其性质三、行列式的三个基本操作及其性质1. 三个基本操作三个基本操作2. 相应的三个性质相应的三个性质将行列式的某一行将行列式的某一行( (列列) )中中所有的元素所有的元素 k 倍，倍，nnnnniiinaaakakakaaaa212111211.212111211nnnnniiinaaaaaaaaak 性质性质1证明证明只需将上式两边的行列式按第只需将上式两边的行列式按第 i

7、 行展开即可证明行展开即可证明. 则行列式则行列式的值的值 k 倍倍，即即 P8 性质性质2 8第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例00021212112nnnnaaaaaa 形如形如试证：奇数阶反对称行列式等于试证：奇数阶反对称行列式等于 0。的行列式称为的行列式称为反对称行列式反对称行列式。00021212112nnnnaaaaaa 证证TDD Dn)1( 故故 D = 0 0。所以有所以有由于由于 n 为奇数，为奇数，,DD 9第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 .825,571例如例如571266853825361567567361266853交换行列式中的两行交换

8、行列式中的两行( (列列) )， 行列式的值反号行列式的值反号. 性质性质2 P8 性质性质3 10第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 交换行列式中的两行交换行列式中的两行( (列列) )， 行列式的值反号行列式的值反号. 性质性质2证明证明 ( (利用数学归纳法证明利用数学归纳法证明) ) 对于对于 2 阶行列式阶行列式, 结论显然成立；结论显然成立；假设对于假设对于 阶行列式结论成立，阶行列式结论成立，1 n下证对于下证对于 n 阶行列式阶行列式结论也成立。结论也成立。 ( (注意此时注意此时 ) )3 n设设 是行列式是行列式 D 交换第交换第 i , j 两行后得到的行列式，两

9、行后得到的行列式，D,3 n由于由于因此除第因此除第 i , j 两行外还有一个第两行外还有一个第 k 行。行。令令 和和 分别是行列式分别是行列式 和和 D 的第的第 k 行的代数行的代数lkAlkAD由归纳假设有由归纳假设有,lklkAA 于是有于是有 nllklkAaD1.1DAanllklk 余子式，余子式，11第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 证明证明设行列式设行列式 D 的的第第 i 行与第行与第 j 行的行的元素相同，元素相同，如果行列式中有如果行列式中有两行两行( (列列) )的对应的对应元素相同，则行列式元素相同，则行列式推论推论1的值为零的值为零. .0 D即得即

10、得将将 D 的的第第 i 行与第行与第 j 行的元素交换，行的元素交换，,DD 由性质由性质 2 有有 P9 推论推论1 12第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 若行列式中有若行列式中有两行两行( (列列) )的元素对应的元素对应成比例，则行列式成比例，则行列式推论推论2的值为零的值为零. P10 推论推论3 13第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 nnjninnnjinjiaaaaaaaaaaaa122221

11、11111.)()()(1222221111111nninjninnnijinijiakaaaaakaaaaakaaaa k 即即ijckc 将行列式的将行列式的某一列某一列( (行行) )的各元素的各元素 k 倍加到另一列倍加到另一列( (行行) )性质性质3对应的元素上，行列式的值不变，对应的元素上，行列式的值不变，证明证明只需将上式右端行列式的第只需将上式右端行列式的第 j 列拆开即可证明列拆开即可证明. P11 性质性质5 14第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 312111354)1(AAA?问问 313212111)2(AbAbAb? 313221221112)3(AaAa

12、Aa?四、关于代数余子式的重要性质四、关于代数余子式的重要性质引例引例.0 ,333231232221131211313121211111aaaaaaaaaAaAaAa 已知已知;354333223221312aaaaaa;333232322213121aabaabaab333232232222131212aaaaaaaaa15第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa iniaa1., 02211jiAaAaAajninjiji 证明证明将行列式按第将行列式按第 j 行展开，有行展开，有四、关于代数余子式的重要性质四

13、、关于代数余子式的重要性质行列式任行列式任一行一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的对应的对应元素的元素的定理定理代数余子式乘积之和等于零，代数余子式乘积之和等于零，即即把把 换成换成,), 1(nkika jka可得可得 P9 推论推论2 16第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 行行第第 j,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa ,时时当当ji ).(, 02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 行行第第 i相同相同17第一章 行列式 1.2 行列式的性质与

14、计算 四、关于代数余子式的重要性质四、关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAajinkjkik ;,0,1jijiDDAajinkkjki 综合综合 .,0,1jijiji， 其中其中18第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 设设,9876543287654321 D.847342322212AAAA 求求解解423222128473AAAA 9886544287754331 .0 19第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 利用利用行列式的行列式的性质把行列式化为性质把行列式化为上三角形行列式上三角形行列式。五、行列式的计算五、行列式的计算基本思路基本思路(2)

15、交换两行交换两行( (或列或列) )； (1) 某行某行( (或列或列) ) k 倍；倍；基本操作基本操作(3) 某行某行( (或列或列) )的的 k 倍加到另一行倍加到另一行( (或列或列) )。常用技巧常用技巧(5) 高化高化( (低阶化为高阶低阶化为高阶) )。(1) 用某行用某行( (或列或列) )去减其它行去减其它行( (或列或列) )；(4) 递归递归( (高阶化为低阶高阶化为低阶) )； (3) 逐行逐行( (或列或列) )相减相减；(2) 所有行所有行( (或列或列) )全部加到全部加到某一行某一行( (或列或列) )上；上；20第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 05

16、32004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解66027013210 6627)2(10 .1080 53241413252 53204140132021352)1(52 D13rr 12)2(rr 21第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 3315112043512131 例例3351110243152113 D21cc 72160648011202131 72160112064802131 12rr 145rr 32rr 1510001080011202131 234rr 248rr 2/50001080011202131 34)4/5(rr .40

17、 注注 本例的方法适合于计算机编程实现。本例的方法适合于计算机编程实现。22第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算行列式计算行列式解解将第将第 3, 4 列都加到第列都加到第 2 列得列得rqpqpspsrsrqsrqpD 11111111)(.0 23第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算计算 n 阶行列式阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbna)1()1()1()1( D解解将第将第 2 至至 n 列都加到第列都加到第 1 列得列得P 13 例例 724第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 .)()

18、1(1 nbabnababababbbbna 1)1(00abbbabbbabbbbna1111)1( D将第一行将第一行减到其它行减到其它行25第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算计算cbabaacbabaacbabaadcba 363023200解解D逐行相减逐行相减baabaacbabaadcba 3002000abaacbabaadcba0002000 .4a P 12 例例 526第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算行列式计算行列式.1111111111111111yyxxD (采用采用“高化高化”方法方法)000011111yyxx 000100

19、010001000111111第一行的第一行的 ( 1) 倍加到其它行倍加到其它行 Dyyxx 1111111111111111解解(1) 当当 x = 0 或或 y = 0 时，时，D = 0 ；(2) 当当 时，时，0,0 yx27第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 yyxxD 000100010001000111111yyxxyyxx 0000000000000000111111111.22yx 注意注意“鸡爪鸡爪”型型行列式行列式的处理的处理28第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算行列式计算行列式.111111111332313322212312111yxyx

20、yxyxyxyxyxyxyxD 解解(采用采用“高化高化”方法方法).0 0001321yyy第一行分别乘第一行分别乘321,xxx第第 2, 3, 4 行行减到减到按第一行按第一行(列列)展开展开 D332313322212312111111111111yxyxyxyxyxyxyxyxyx 1111111111321321xxxyyy 29第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 1000010001)1(1 xxann111)1()1( nnnnaxD1221100001axaaaxxxDnnn .1nnaxD 按第一列展开按第一列展开解解例例 计算计算1221100000100001a

21、xaaaaxxxDnnnn 30第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 nnnaxaDx 122nnnnnaxaxaxaDx 1222211nnnnnaxaxaxaaxx 1222211)(.1222211nnnnnnaxaxaxaxax 进一步，由进一步，由 递推可得：递推可得：nnnaxDD 1nnnnaaxDxD )(12本题可直接按本题可直接按最后一行最后一行展开。展开。注注31第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 例例 计算计算 n 阶行列式阶行列式.abbbcabbccabcccaDn abbbbacbabaacbaacba 0000000000000解解nD逐行相减逐行

22、相减,)()1()(111 nnnacbDba32第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 法一法一逐步递推逐步递推 11111)()()(nkknkncababDba.)()()(1111 nkknkncabababa法二法二b, c 互换互换nD.)()(11 nncabDba即得即得(A)nD,)()(11 nnbacDca(B)由由 (A), (B) 求解得求解得.)()(cbbaccabDnnn (渐悟渐悟)(顿悟顿悟)nD122)()()()( nnncabcabDbaba33第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 2211)1(2 nnDDnD按第按第 1 列展开列展开解解

23、例例 计算计算 n 阶行列式阶行列式21122112112 nD00,221 nnDD211 nnnnDDDD 12DD ,1 11 nnDD22 nD )1(1 nD.1 nP17 例例1134第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 考虑一个一般的两步递推式考虑一个一般的两步递推式,21cDbDaDnnn 附：附：如何将两步递推转化为一步如何将两步递推转化为一步递推递推,)()(211cDDDDnnnn 设设则有则有,ba 即即 , 是方程是方程 的两个根。的两个根。02 bxax比如，对于递推式比如，对于递推式 有有,20921 nnnDDD)5(4)5(211 nnnnDDDD ,

24、)5(4122DDn 进一步可转化为进一步可转化为. )5(451221DDDDnnn 35第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 证证( (用数学归纳法证明用数学归纳法证明) )21211xxD 12xx , )(12 jijixx例例 证明证明范德蒙德范德蒙德 (Vandermonde) 行列式行列式因此，当因此，当 n = 2 时结论成立。时结论成立。 P15 例例9 36第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 证证 从从 Dn 的最后一行开始，的最后一行开始，下面假设结论对下面假设结论对 n 1 阶成立，要证结论对阶成立，要证结论对 n 阶也成立。阶也成立。的的 x1 倍减到下

25、一行，得倍减到下一行，得由下而上，依次将上一行由下而上，依次将上一行例例 证明证明范德蒙德范德蒙德 (Vandermonde) 行列式行列式 P15 例例9 37第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 ,111)()(223223211312 nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD,)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 按第按第 1 列展开，并把每列的公因子提出，就有列展开，并把每列的公因子提出，就有38第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 )()()(211312jj

26、ininnxxxxxxxxD . )(1jjinixx ,111)()(223223211312 nnnnnnnxxxxxxxxxxxxD n 1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式由归纳法假设，即得：由归纳法假设，即得：39第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 解解将将 D 的第的第 1 行加到第行加到第 3 行得行得cbacbacbacbacbaD 222. )()()(bcacabcba 222111)(cbacbacba 试用范德蒙行列式计算试用范德蒙行列式计算.222baaccbcbacbaD 例例 3 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式40第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计

27、算 行列式中行与列具有同等的地位，行列式中行与列具有同等的地位， 计算行列式的常用方法：计算行列式的常用方法：(1) 利用定义利用定义;(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。小结小结从而得到行列式的值。从而得到行列式的值。41第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 解解nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn补充题补充题1,00103010021321nnDn 求求.11211nAAA 设设 n 阶行列式阶行列式42第一章 行列式 1.2 行列式的性质与计算 1/1)/1(1/1)/1(1/1)/1(1/1)/1(22222222ddddccccbbbbaaaaD 已知已知 abcd =1，计算计算补充题补充题2.0 dddcccbbbaaaabcd/1/11/1/11/1/