十一、2013年数学本科Fourier与小波之双正交多分辨分析

1、国防科学技术大学教案课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智 教授授课时间：2013年秋季学期双正交小波的概念与性质国防科技大学理学院2013年秋季学期教案首页课程名称Fourier分析与小波总计：40学时课程类别选修学分2讲课：40 学时自主学习：6学时任课教师成礼智职称教授授课对象2011级数学专业本科生教材和基本参考资料1 成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，20042 G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:

2、Welleseley-Cambridge Presss,1996，3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教学目的任务本课程是数学专业选修专业课。本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题内容课时分配章内容学时数1傅里叶分析与预备知识82Haar小波分析63多分辨分析与小波构造124提升格式小波与整数变换65小波的典型应用8教研室意见教研

3、室主任签名年月日教案续页教学基本内容备注内容：双正交多分辨分析的概念与性质重点：为何需要双正交小波、双正交多分辨分析的概念与性质难点：正交对称小波的不存在特性、双正交多分辨分析概念的理解复习：双尺度方程中系数 的特点：（1） 起到低通滤波器的作用；（2） 设低通滤波器函数为，则 上述两个性质中，第一个性质在信号分解中起到关键作用，第二个性质在正交小波的构造中是一个重要工具。但是，在信号处理中，对称性与周期性是两个重要概念，例如，我们曾看到，图像（二维）或信号作对称延拓可以保持高保真（小的失真度），因此，构造具有对称性的滤波器组具有重要意义。因此，本节课的目的是讨论具有对称性质的小波滤波器构造方

4、法。 问题：（1） 是否存在对称正交小波？答案：不存在 （2） 如何找到具有对称性质的小波？本堂课的主要内容。一、为何需要双正交小波？ 1、线性相位与滤波器的对称（反对称）性前面所讨论的多分辨分析理论都是在正交的意义下进行的，但是实际工程问题中仅有正交性还远远不够。例如，在图像处理中，双尺度方程的系数与小波方程系数经常被作为低通与高通滤波器系数。为了保证图像在变换过程中不发生畸变，其频率响应函数最好具有线性相位，即存在使得。现在来看函数的系数性质，事实上，此时不难得到，该式等价地表示为，当时，系数可以看作为以为对称轴，此时滤波器系数具有对称性质，例如，当时，对称轴为，而当时，对称轴为轴。另外，

5、有时也需要下列的广义线性相位性质：。若取，则又有，系数可以看作为以为反对称轴。综上所述，线性相位滤波器设计与对称系数是等价的。 2、正交小波滤波器对称性的不可能Daubechies已经证明，基于正交小波变换下满足双尺度方程的系数除开Haar基小波外，均不存在对称或反对称性，即有下面的定理。定理1 假设分别为一个多分辨分析的具有有限支撑、实值尺度函数与小波函数，若函数图像关于对称或反对称，则一定是Haar函数。为了证明上述定理，还需要证明下列结论成立。引理1 如果函数构成的子空间的一组标准正交基，则存在以为周期的函数以及使得.证明 由于构成子空间的标准正交基以及，故存在系数使得成立，因此，而，其

6、中。又由均为标准正交基，因此利用前面的讨论有，另一方面，综合上面的两个式子知引理结论成立。引理2 假设是一个有限长的序列，且满足，则存在使得成立。证明 由得到，故，由于是一个有限长的序列，设分别满足并在上式取，则有，但另一方面，因为当时，当时，因此上式左端只有一项，必有，此即成立。推论1 如果均为紧支撑函数， 是同一个空间的标准正交基函数，则对某个以及成立。 证明 由引理1，存在以为周期的函数以及使得，由于均为紧支撑函数，所以仅有限个非0，因此利用引理2，得到推论1结论成立。定理1的证明。 由于函数的有限支撑性质知道只有有限个非0，为简单记，设，现在证明一定为奇数，否则设为偶数，将代入得到，另

7、一方面，上式左端只有一个非0项，矛盾。由于假设，由前面的讨论知道的有限支撑区间为，而的支撑区间为，因此的对称轴为，即有或，从而得到，这表明空间关于变换具有不变性，因此空间也具有变换的不变性。现定义，则由变换不变性也生成的标准正交基，又同为区间为的紧支撑函数，由推论1以及的实值特性，设成立，而得到，否则取，矛盾，因此成立，并且另一方面，利用引理2推得成立，由于，知道，再由得到，于是我们有，而，从而由此得，若，对应即为Haar小波，若，正交性不满足，定理得到证明。由于Haar小波的光滑性能较差，在工程应用中实际效果欠理想。因此为了更好地利用小波变换，有必要对正交多分辨分析的概念作必要的推广，以保证

8、双尺度方程的系数的对称性。为此，下面讨论双正交多分辨分析的概念。二、从子带编码（完全重构滤波器）看双正交小波的可能性考虑两带完全重构滤波器结构。如下图1所示，整个过程按照输入、分析滤波器、下采样、信号的处理、上采样、综合滤波器、输出组成。完全重构的条件是指选择合适的满足，其中称之为增益，l为延迟。而与分别为低通与高通滤波器。图 1 两带完全重构滤波器·分解过程：设为两个滤波器对应系数，考虑“下采样”（）滤波过程（不妨设原始序列仅当时不为零） （1）构造矩阵，则式（1）有可以等价地表示为 （2）记，则式（2）的多项式表示为 （3）一般意义下，H对应于低频滤波，是一种平均算子；G对应于高

9、频滤波，是一种差算子。直观上看，常数序列序列值为零）经过H后应仍然为1，而经过G后应变为零，即有 （4）式（4）是自然的。·重构过程：综合端所描述的重构过程通过“上采样”（完成。对式（3）得到的两个多项式，当“上采样”后作用到得到低通输出，而“上采样”后作用到得到高通输出，即低通输出高通输出将上两式相加得到重构序列，变换为，即由于完全重构要求，因此完全重构条件又可以表示为定理2 设，则当 （5）成立时，按照图1所示的滤波器结构构成完全重构滤波器。式（5）中的第二个等式称之为消除“混叠”，显然，消除“混叠”的方法多种多样。由式（5）的第一式，与无公因式，因此，对某个多项式成立。将上述两

10、个表达式代入式（5）的第一式导出 由此推得 对某个成立。因此成立。特别地，如果取，以及，则得到1976年由Croiser-Estaban-Galand提出的称之为二次镜像滤波器（Quadrature Mirror Filter）的正交滤波器，而设滤波器长度为，取，则得到由Smith和Barnwell分别于1984与1985年独立提出的正交滤波器。在小波设计中，常取，此时，。从完全重构滤波器的构造方法不难看出，分解端与重构端低、高通滤波器可以通过不同形式得到，如果添加上小波性质便为我们建立双正交小波滤波器是一个很好的启示。 三、双正交小波的概念与性质与正交多分辨分析不同的是，在双正交多分辨分析的

11、框架下，尺度函数与小波函数关于时间平移参数都不是正交的。当函数与作时间平移与频率伸缩得到与时，双正交要求它们与其对应的对偶函数与满足下面的正交条件： （6）式（6）也称之为双正交条件。按照双正交条件得到的多分辨分析子空间嵌套序列分为两种： (7)其中，此时，设与则要求下列正交补关系成立： (8)在双正交多分辨分析框架下，尺度函数与小波函数对应的双尺度方程变为 (9)由于式（9）表明函数与，以及与彼此正交。因此，可以假设 （10）（注：选取式（10）的原因将下面描述）。另外，对于双正交小波系统而言，信号的分解与重构可以通过下面两个表达式完成 （11）或者 （12）式（11）与（12）表明，信号可以通过一个小波基完成分解（运算为），然后用另一个小波基完成重构（运算为）。不难看出，双正交小波变换中小波函数与可以具有不同的紧支集长度以及不同的消失矩，例如，当比有更高的消失矩时，利用可以获得更高的数据压缩率，而同时的非零系数比中非零系数少，因此利用式（12）又可以获得更