第二节留数的计算方法

1、第二节第二节 留留 数数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考2一、留数的引入一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域的某去心邻域0zRzz 00C:邻域内包含邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线312 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d )(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(积分积分0(高阶导数公式高阶导数公式)0

2、 (柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)i 2的的系系数数洛洛朗朗级级数数中中负负幂幂项项101)( zzc4zzficCd )(211 即即),(Res0zzf 的的留留数数在在0)(zzf定义定义 记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的的系系数数幂幂项项 zzc为为中中心心的的圆圆环环在在即即0)(zzf)(0zfz 为为函函数数的一个孤立奇点的一个孤立奇点, 则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称

3、为.)(0的的留留数数在在zzf以以如果如果5二、利用留数求积分二、利用留数求积分说明说明:内内部部处处处处解解析析；上上及及在在CCzf)(. 12. 留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析, C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线, 那末那末. ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf立奇点立奇点函数函数6证证 nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)

4、(21 zzfCd )(zzfizzfizzfinCCCd )(21d)(21d )(2121 ),(Res),(Res),(Res21nzzfzzfzzf .),(Res1即即可可得得 nkkzzf证毕证毕两边同时除以两边同时除以 且且i 21z2znzDC.如图如图72.留数的计算方法留数的计算方法(1) 如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点, . 0),(Res0 zzf则则).()(lim),(Res000zfzzzzfzz如果如果 为为 的一级极点的一级极点, 那末那末0z)(zf规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求.1 c(2) 如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点, )

5、(zf(3) 如果如果0z为为的极点的极点, 则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将8如果如果 为为 的的 级极点级极点, 0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 规则规则2 2证证 2020)()()(zzczzczfmm )()(010101zzcczzc101010)()()()( mmmmzzczzcczfzz 10100)()(mmzzczzc那末那末9,)!1()()(ddlim10110 cmzfzzzmmmzz10),(Res czzf所以所以+(含有含有 正幂的项正幂的项)0zz 1)!1(

6、 cm).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz )()(dd011zfzzzmmm 两边求两边求1 m阶导数阶导数, 证毕证毕得得10规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP设设,)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，证证0)(,0)(00 zQzQ因因为为0z所所以以的一级零点的一级零点,为为)(zQ)(1zQ0z的一级极点的一级极点.为为那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有11解析且解析且0z. 0)()(00 zzP 在在因此因此),(1)(10z

7、zzzQ 其中其中 在在 解析且解析且)(z 0z, 0)(0 z 0z所所以以为为 的一级极点的一级极点,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0zzzQzQzPzz .)()(00zQzP . )()(1)(0zzPzzzf 12三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向1 c1),(Res czf说明说明 Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 zR内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内

8、绕原点的任何一条正向简单闭曲线，11( )d2Cf zzCi那末积分的值与 无关，则称此定值则称此定值点的留数，点的留数，在在为为 )(zf13.1z.2z.kz .证证 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211. 0 由留数定理有由留数定理有:(绕原点的并将绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)C包含在包含在 2.定理二定理二如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点, 那末那末在所有各奇点在所有各奇点 (包括包括 点点) 的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf证毕证毕

9、14说明说明: 由定理得由定理得,),(Res),(Res1 zfzzfnkk nkkCzzfizzf1),(Res2d )(留数定理留数定理).),(Res2 zfi计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.zzfCd )( 优点优点: 使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)153.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则4 4 0 ,11Res),(Res2zzfzf说明说明: 定理二和规则定理二和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线 0 ,11Res2d)(2zzfizzfC积分的

10、又一种方法积分的又一种方法: 此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.16现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周 :. z,1 z令令, iireez 并设并设,1 r那末那末于是有于是有 Czzfizfd)(21),(Res 20d)(21 iiieefi证证.d12120 iireirefi17 202d)(121 iiirereirefi 12d1121fi. )1(为正向为正向 内除内除在在 1 0 外无其他奇点外无其他奇点 .0 ,11Res2 zzf证毕证毕18四、典型例题四、典型例题例例1 求求nzzezf )(在在0

11、 z的留数的留数.解解阶极点，阶极点，的的是是因为因为nzfz)(0 0 ,Resnzze所以所以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(119例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留数的留数.分析分析,0)0()0()0( PPP.0)0( P0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点由规则由规则3得得.sinddlim)!13(10),(Res63220 zzzzzzfz的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦.20如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求1 c较方便较方便: ! 5! 31sin5366zzz

12、zzzzz.! 510 ,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解21说明说明: 0z如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时, 可直接展开洛朗级数求可直接展开洛朗级数求1 c来计算留数来计算留数 . 66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.! 51 2. 在应用规则在应用规则2时时, 取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便. :6 m 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则. 为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m

13、取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取22例例4 计算积分计算积分,d)1(2zzzeCz C为正向圆周为正向圆周:. 2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfzz0 z为一级极点为一级极点,1 z为二级极点为二级极点,23 zezzzddlim121)1(limzzezz , 0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 24例例5 计算积分计算积分 Czzz,d14C为正向圆周为正向圆周:.2 z函数函数14 z

14、z在在2 z的外部的外部, 除除 点外没有点外没有其他奇点其他奇点. Czzzd14 0 ,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0 ,1Res24zzi. 0 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4: 25与以下解法作比较与以下解法作比较 :被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2 z的内部的内部 , 所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi ),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3 ,414)()(23zzzzQzP 26 Czzzd14.0414141412 i可见可见, 利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周为正向圆周 :.2 z解解 除除 )3)(1()(1)(10 zzizzf被积函数被积函数点外点外, 其他奇点为其他奇点为.3,1, i 27由于由于i 与与 1在在C的内部的内部, Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(Res2 zfzfi 0)3(21210ii则则),(Resizf ),(Res zf所以所以1),(Reszf 3),(Reszf .0 .)3