通信原理第3章

1、教学提示 分析通信系统所必需的内容，即分析通信系统所必需的内容，即随机信号与噪声的特性表述，以及它随机信号与噪声的特性表述，以及它们通过线性系统的基本分析方法。们通过线性系统的基本分析方法。第 3 章第三章 随机信号分析引言引言随机过程的一般表述随机过程的一般表述平稳随机过程平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功率谱密度平稳随机过程的相关函数与功率谱密度高斯过程高斯过程平稳随机过程通过线形系统平稳随机过程通过线形系统窄带随机过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声第 3 章引言引言 随机信号随机信号：信号的某个或几个参数不：信号的某个

2、或几个参数不能预知或不能完全预知的信号能预知或不能完全预知的信号随机噪声随机噪声：不能预测的噪声：不能预测的噪声随机过程随机过程：随机信号和噪声统称为随：随机信号和噪声统称为随机过程机过程第 3 章3.1 随机过程的一般表述1 定义及特征定义及特征: 无穷多个样本函数的集无穷多个样本函数的集合称为随机过程合称为随机过程,计为计为(t).(t).它有两个基本属它有两个基本属性性:(t)(t)是时间是时间t的函的函数数 ;在任一时刻在任一时刻t1上，观上，观察到的全体样本却察到的全体样本却是不确定的，是一是不确定的，是一个随机变量。个随机变量。 图图3.11 n部接收机噪声记录部接收机噪声记录 第

3、 3 章2 2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性 概率分布概率分布分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数:设设(t) 表示一个随机过程，则在任意一个时刻表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上上(t1) 是一个是一个随机变量。随机变量。(t)的一维分布函数：的一维分布函数：nF1(x1,t1)=P (t1)x1 (t)的一维概率密度函数：的一维概率密度函数：n =f1(x1,t1) (t)的的n维分布函数：维分布函数：nFn(x1 x2 xn;t1, t2, tn)=P(t1)x1 ,(t2)x2 (tn)xn (t)的的n维概率密度函数：维概率密度函数：n =fn(x1 x2 xn

4、;t1, t2, tn) F1(x1,t1) x1 nF1(x1 x2 xn;t1, t2, tn) x1 x2 xn n越大，用越大，用n维分布函数或维分布函数或n维概率密度函数维概率密度函数去描述去描述(t)的统计特性就越充分。的统计特性就越充分。 第 3 章 数字特征数字特征数学期望、方差和相关函数数学期望、方差和相关函数数学期望：数学期望： 并记为并记为E(t)=a(t)。这里，它本该在某一时刻。这里，它本该在某一时刻t1上求得，上求得，因此数学期望与因此数学期望与t1有关。然而，有关。然而，t1是任意取得，故可把是任意取得，故可把t1直接写成直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为

5、是时间。所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。的函数。 数学期望的物理意义数学期望的物理意义：信号或噪声的直流分量：信号或噪声的直流分量。 方差方差：方差的物理意义方差的物理意义：信号或噪声交流功率。信号或噪声交流功率。 (3.1-5)(3.1-6)第 3 章自协方差与自相关函数自协方差与自相关函数 衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。（1） 自协方差函数自协方差函数式中式中t1与与t2是任意的两个时刻；是任意的两个时刻；a(t1)与与a(t2

6、)为在为在t1及及t2得到的数学期望；得到的数学期望；用途：用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。相关。(3.1-7)第 3 章 （2）自相关函数）自相关函数 用途用途：a 用来判断广义平稳；用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功用来求解随机过程的功率谱密度及平均功 率。率。 （3）自协方差与自相关函数之间的关系）自协方差与自相关函数之间的关系显然，由式（显然，由式（3.1-7）及）及(3.1-8)可得到二者之间的关可得到二者之间的关系式，系式， (3.1-9)(3.1-8)dx1dx2第 3 章互协方差与互相关函数互

7、协方差与互相关函数 协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方差及互相关函数。中去，从而获得互协方差及互相关函数。 设设(t)与与(t)分别表示两个随机过程分别表示两个随机过程（1）互协方差定义）互协方差定义 （2）互相关函数定义）互相关函数定义 如果如果t2 t1，并令，并令t2= t1+，即即是是t2与与t1之间的时间间隔，则相关函之间的时间间隔，则相关函数数R（t1，t2）可表示为可表示为R（t1，t1+）。这说明，相关函数依赖于。这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）起始时刻（或时间起点）t

8、1及时间间隔及时间间隔，即相关函数是，即相关函数是t1和和的函的函数。数。 (3.1-10)(3.1-11)第 3 章3.2 平稳随机过程1 狭义平稳随机过程：狭义平稳随机过程：随机过程的任何随机过程的任何n维分布函数或维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关。概率密度函数与时间的起点无关。nfn(x1 x2 xn;t1, t2, tn) = fn(x1 x2 xn;t1+ , t2 + , tn + ) (3.2-1)含义含义：指随机过程的统计特性不随时间的推移而变：指随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过

9、程的所有有限维分布函数不变。且有：程的所有有限维分布函数不变。且有：n一维分布则与时间无关：一维分布则与时间无关：f1(x1,t1)=f1(x1)n二维分布只于时间间隔二维分布只于时间间隔有关：有关：f2(x1,x2,t1,t2)=f2(x1,x2, )数字特征数字特征：n数学期望与方差与时间无关数学期望与方差与时间无关n自相关函数只与时间间隔有关自相关函数只与时间间隔有关R（t,t+ )=R()第 3 章2 广义平稳随机过程：广义平稳随机过程：随机过程的数学期望与方差与随机过程的数学期望与方差与时间无关时间无关,自相关函数只与时间间隔有关。自相关函数只与时间间隔有关。n通信系统中的信号及噪声

10、，大多数可视为平稳的随机过程。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。n(t)=(t)=, , 2(t)= 2nR(tR(t1 1,t,t1 1+ )=R()+ )=R() 注意：狭义平稳一定是广义平稳的，注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。反之不一定成立。第 3 章3、各态历经的平稳随机过程、各态历经的平稳随机过程 1）问题的提出）问题的提出 2）各态历经性）各态历经性 n“时间平均时间平均”代替代替“统计平均统计平均”n一个随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则一个随机过程的均值

11、和自相关函数都具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性。称该随机过程具有各态历经性。 设设x1(t)是是(t)的一个样本，若下列式子成立，则具有的一个样本，若下列式子成立，则具有各态历经各态历经性性的平稳随机过程的平稳随机过程 注意：注意：只有平稳随机过程才具有各态历经性只有平稳随机过程才具有各态历经性即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。经的。 第 3 章3.2.3 平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1、自相关函数、自相关函数 平稳随机过程的自相关函数和时间平稳

12、随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔无关，而只与时间间隔有关，有关，即即R()E(t)(t+) (3.2-8)2、自相关函数的性质、自相关函数的性质 设设(t)为实平稳随机过程为实平稳随机过程R(0)=E2(t)=s （3.2-9） R(0)为为(t)的均方值的均方值(t)的平均功率的平均功率)。自相关函数在自相关函数在=0处的数值等于该过程的平均功率处的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功包括直流功率和交流功率率和交流功率)。 对偶性对偶性 R()=R(-) 自相关函数自相关函数R()是是的偶函数的偶函数 证明：证明： 第 3 章|R()| R(0) 当当0时时,自相关函数取最

13、大值自相关函数取最大值 证明证明: R( )=E2 (t) （3.2-10） R( )是是(t)的直流功率，在时间的直流功率，在时间间隔很大的时候间隔很大的时候,可将二者看成可将二者看成是相互独立的。是相互独立的。 R(0)- R( )=2 方差，方差，(t)的交流功率的交流功率R()R(0)R(0)- R( )R( )利用利用R()的图形就可以求出该过程的各种的图形就可以求出该过程的各种成份的功率成份的功率(直流功率直流功率,交流功率交流功率,总功率总功率) 第 3 章3、功率谱密度、功率谱密度概念：从频率的角度描述概念：从频率的角度描述(t)的统计规律的最主要的数字特征。它的统计规律的最主

14、要的数字特征。它的物理意义的物理意义表示表示(t)的平均功率关于频率的分布的平均功率关于频率的分布。 设设(t)一次实现的截断函数为一次实现的截断函数为T(t)，T(t)的付氏变换为的付氏变换为FT()，则，则该样本函数的功率谱为该样本函数的功率谱为 整个随机过程的平均功率谱为整个随机过程的平均功率谱为 该随机过程的平均功率为该随机过程的平均功率为 T |FT()|2 TP T( )= lim(3.2-14) 第 3 章平稳过程的自相关函数与其功率平稳过程的自相关函数与其功率 谱之间为傅立叶变换关系。谱之间为傅立叶变换关系。根据上述关系式及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：根据上述关系式

15、及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：n对功率谱密度进行积分对功率谱密度进行积分,可以得到平稳过程的总功率可以得到平稳过程的总功率;n各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度;n功率谱密度具有非负性和实偶性功率谱密度具有非负性和实偶性. P（）0 0，非负性，非负性 P（-） P（），偶函数），偶函数单边功率谱密度：单边功率谱密度： P1（）2 2 P（） =0=0P ( ) R()de )(R)(Pjf)f()()(dePdeP21Rf2 jjf)f()(dP0R第 3 章（3.3-1） 3.3 高斯过程1、高斯

16、分布定义、高斯分布定义（又称正态随机过程）（又称正态随机过程） 若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维概率密度函数都服从正态分布，则称维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。它为高斯过程。其中其中: 第 3 章2、一维概率密度函数和分布函数、一维概率密度函数和分布函数 )2)(exp(21)(22xxf均值，均值， 2方差方差（3.3-2）第 3 章 x f(x) f(x)对称与对称与 x=直线，即直线，即f(+x)=f(-x)f(x)在在 内单调上升，在内单调上升，在 内单调下降，且在内单调下降，且在点点 处达到极大值。处达到极大值。 且有且有 表示分布中心表示分布中心, 表示偏

17、离程度表示偏离程度. 对不同的对不同的，表现为，表现为 f(x)的图的图形左右平移；对不同的形左右平移；对不同的， f(x)的图形将随的图形将随的减小而变高和的减小而变高和变窄。变窄。另外另外,当当a0,1 时时,则称为标准高斯则称为标准高斯(正态正态)分布分布. ,1)(dxxf21)(dxxf21)(dxxf21第 3 章3、误差函数、误差函数(互补误差函数互补误差函数)与概率分布函数的关系与概率分布函数的关系 N(0,1/2)误差函数的定义：误差函数的定义：它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数：erf(0)=0, erf()=1, 且且erf(-x)=-erf(x)互补误差函数的定

18、义：互补误差函数的定义：它是自变量的递减函数：它是自变量的递减函数：erfc(0)=1, erfc()=0, 且且erfc(-x)=2-erfc(x)当当x1时，有时，有（3.3-3） （3.3-4） 2xex1)x(erfc第 3 章对式（对式（3.3-2)进行变量代换，令新的积分变量为进行变量代换，令新的积分变量为则则 ，并利用式（，并利用式（3.3-3)和和(3.3-4)，则分布函数可表示为：，则分布函数可表示为：2/ )z(tdt2dz)()()(2xerfc2112xerf2121xF)()2exp(21)(2xdzzxFx4. 概率积分函数概率积分函数xdzzx)2exp(21)(

19、2xxerfc222)( x 时：时：122)(xxerf x 时：时：第 3 章3、重要性质、重要性质n高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。方差和归一化协方差。n高斯过程若是广义平稳随机过程，则又是狭义平高斯过程若是广义平稳随机过程，则又是狭义平稳随机过程；稳随机过程；n若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是相互独立的；也是相互独立的；n若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；n高斯过程经过线形变换后的过程仍是高斯过程。高斯过程经

20、过线形变换后的过程仍是高斯过程。第 3 章3.4 随机过程通过线形系统一、一般分析一、一般分析(经典系统分析的经典系统分析的回顾回顾) 1、 时域时域(考虑到物理可实现性考虑到物理可实现性)确定性信号经过线性系统确定性信号经过线性系统（如图（如图3.4-1所示）的输出为所示）的输出为 2、 频域频域 3.谱密度之间的关系谱密度之间的关系3.4-1（3.4-1）（3.4-2）（3.4-3）第 3 章3.4 随机过程通过线形系统二、输入是平稳随机过程二、输入是平稳随机过程 如图如图3.4-2所示，随机过程经所示，随机过程经过线性系统的过程中，过线性系统的过程中， 这里只能理解成对随机过程的一个样本

21、函数积分，而不是对这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过程积分。随机过程积分。 在此，需要解决两个问题：在此，需要解决两个问题：a、输入平稳、输入平稳.输出平稳否输出平稳否?b、输入、输出功率谱密度之间的关系、输入、输出功率谱密度之间的关系。 首先解决第一个问题。首先解决第一个问题。条件假设：条件假设：i(t)平稳，平稳，Ei(t)为已知，为已知，h(t)为已知为已知,问题：问题：o(t)平稳否。平稳否。思路：首先判定思路：首先判定o(t)是否广义平稳是否广义平稳: 3.4-2（3.4-4）第 3 章3.4 随机过程通过线形系统假定输入假定输入i(t)是平稳随机信号，现在来

22、分析系统的输出过程是平稳随机信号，现在来分析系统的输出过程0(t)的统计特性。的统计特性。1、 0(t)的数学期望的数学期望E0(t)E0(t)=E i(t) H（0）2、 0(t)的相关函数的相关函数R0（t1,t1+) R0（t1,t1+)= Ri()*h()*h(-) =R0（) 结论：结论：平稳随机过程经线性系统传输后平稳随机过程经线性系统传输后,输出仍然为平稳随机过程。输出仍然为平稳随机过程。推论：推论：(1)输入是各态历经的随机过程输入是各态历经的随机过程, 输出也是各态历经的随机过程。输出也是各态历经的随机过程。(2)输入是高斯过程输入是高斯过程,输出也是高斯过程输出也是高斯过程

23、,只是均值和方差发生了变只是均值和方差发生了变化。化。 第 3 章3、功率谱密度功率谱密度 P 0 ( )=F R0（ ） P 0 ( )= P i ( ) |H( )|2 平稳随机过程通过线性系统，输出过程是平稳过程，系统输出功平稳随机过程通过线性系统，输出过程是平稳过程，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度率谱密度是输入功率谱密度P i ( )与与|H( )|2的乘积。的乘积。4、输出过程输出过程0(t)的分布的分布如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。型的。第 3 章3.5 窄带随机过程一、引言一、引言 1.必

24、要性必要性2.窄带条件窄带条件 在通信系统中，许多实际信号和噪声都满足在通信系统中，许多实际信号和噪声都满足“窄带窄带”的假设，的假设，其频谱被限制在其频谱被限制在“载波载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。而这个中心频率离开零频率又相当远。-fcfc f f0fPs(f)s(t)频率近似为频率近似为 fc缓慢变化的包络缓慢变化的包络 (t) f 3时，时， Rice分布近似于高分布近似于高斯分布。斯分布。这两种分布图形如图所示。这两种分布图形如图所示。 第 3 章包络 相位同理还可以求出相位的同理还可以求出相位的pdf 令信噪

25、比令信噪比 当当 r 1时时, 上式中的第一项为上式中的第一项为0 ，所以，所以 用途：接收多相调相信号时推导误码率公式，用该结论。用途：接收多相调相信号时推导误码率公式，用该结论。 第 3 章应掌握的内容： 1.高斯过程高斯过程(定义定义,相互独立时的相互独立时的pdf)2.窄带高斯过程窄带高斯过程 1) 窄带条件窄带条件; 2) 表示方式表示方式(两种两种); 3) 统计特性，即统计特性，即f(c,s)，f(c)， f(s)，f(a)，f()；c(t),s(t)与与(t)的关系的关系;3.正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程,要求同窄带要求同窄带,重点重点 掌握掌握 f( z) 服从服

26、从 Rice分布分布;4.瑞利瑞利,莱斯莱斯,高斯分布的关系。高斯分布的关系。 第 3 章3.7 高斯白噪声和带限白噪声1、白噪声概念、白噪声概念:功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声。2、自相关函数、自相关函数 功率谱密度为功率谱密度为 P ( )=n0/2 ；n0是一个常数，单位：是一个常数，单位：W/Hz自相关函数自相关函数 R()= n0/2() )R()0 tn20P ( )20n物理意义物理意义：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是：表明该随机过程上任何两个随机变量之间都是不相关的，只有当不相关的，只有当0时例外。时例外。 高斯白噪

27、声高斯白噪声概念：满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声：概念：满足以下两个条件的噪声称为高斯白噪声：(1) Pn() n0/2(2)服从高斯分布。服从高斯分布。 本节主要内容：本节主要内容：*介绍白噪声的功率谱密度，自相关函数，及一个特例介绍白噪声的功率谱密度，自相关函数，及一个特例-带限白噪声的自相关函数和功率谱密度。带限白噪声的自相关函数和功率谱密度。第 3 章P (f )f20nf0-f0R()0-1/2f01/2f03、带限白噪声、带限白噪声 白噪声被限制在（白噪声被限制在（-f0,f0)之内，即在该频率区上有之内，即在该频率区上有P ( )=n0/2,而在该区间外而在该区间外P ( )=0，这样的白噪声称为带限白噪声。，这样的白噪声称为带限白噪声。常见的限带白噪声有两种常见的限带白噪声有两种：a.理想低通型白噪声理想低通型白噪声b.理想带通型白噪声理想带通型白噪声 P(f)= P (f ) |H(f )|2 =n0/2 （-f0,f0)理想低通型白噪声：就是白噪声经过理想低通滤波器。理想低通型白噪声：就是白噪声经过理想低通滤波器。 第 3 章带通型噪声的功率谱密度：带通型噪声的功率谱密度：接收滤波器解调n(t)ni(t)BPFBPFfni(t)的功率谱密度ffc0Pni(t)Pni(f0)Bnfc噪声带宽Bn0)()(cninnifP