Z 椭圆知识精讲

1、高二数学椭圆知识精讲（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。（4）下面我们对椭圆

2、进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准

3、方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：几点说明：（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0<e<1，离心率反映了椭圆的扁平程度。由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。（3）观察下图，所以，所以椭圆的离

4、心率e = cosOF2B2（三）直线与椭圆： 直线：（、不同时为0） 椭圆：那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下， （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐

5、标分别是（4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，2），（0，2），并且椭圆经过点（，）；（3）焦点在坐标轴上，且经过点A（，2）和B（2，1）分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1（ab0）2a10，2c8，a5，c4b2a2c252429所以所求的椭圆的标准方程为1（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1（ab0）由椭圆的定义知，2a又c2，b2a2c21046所以所求的椭

6、圆的标准方程为1（3）解法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为1（ab0）由A（，2）和B（2，1）两点在椭圆上可得：解之得若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为1（ab0），同上可解得，不合题意，舍去。故所求的椭圆方程为1解法二：设所求椭圆方程为mx2ny21（m0，n0且mn）。由A（，2）和B（2，1）两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方程为1点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。（2）第（3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2ny21（m0，n0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例2已知B、C是两个定点，

7、|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如图所示，由ABC的周长等于16，|BC|6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16610，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析：如图所示，建立坐标系，使x轴经过点B、，原点与BC的中点重合。由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c6，2a10，c3，a5，b2523216。由于点A在直线BC上时，即y0时，A、

8、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是1（y0）。点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。例3一动圆与已知圆O1：（x3）2y21外切，与圆O2：（x3）2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为O1（3，0），r11；O2（3，0），r29设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10由椭圆的定义知：

9、M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a5，c3。b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1。点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。例4已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230°，求PF1F2的面积。分析：如图所示，已知P30°，要求PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30&

10、#176;角的两边的乘积。解析：由方程1，得a5，b4，c3，|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230°在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos30°即62|PF1|22|PF1|·|PF2|PF2|22|PF1|·|PF2|·|PF1|·|PF2|（2）|PF1|·|PF2|（|PF1|PF2|）2361003664，|PF1|·|PF2|64（2）|PF1|·|PF2|·sin30°&#

11、183;64（2）·16（2）例5椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点，若|PQ|2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解析：由得（ab）x22bxb10设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1x2，x1x2|PQ|·ab 又PQ的中点C（，1），即C（，）kOC 由得a，b所求椭圆方程为1例6中心在原点的椭圆C的一个焦点是F（0，），又这个椭圆被直线l：y3x2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。分析：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”。解析：

12、据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为1（ab0）设直线l与椭圆C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：1，两式相减得：0即3 a23b2 又因为椭圆焦点为F（0，） c则a2b250 由解得：a275，b225该椭圆方程为1例7设P是椭圆（ab0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且F1PF2=90°，求证：椭圆的离心率e证明：P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a 在RtF1PF2中， 由2，得|PF1|·|PF2|=2（a2c2） 由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程

13、z23az+2（a2c2）=0的两根，则=4a28（a2c2）0，（）2，即e1. 如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A. （0，）B. （0，2）C. （1，）D. （0，1）2. 已知椭圆1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成角（0，则F2CD的周长为A. 10B. 12C. 20D. 不能确定3. 椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. ±B. ±C. ±D. ±4. 设椭圆1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1PF2，则|PF

14、1|PF2|等于A. 6B. 2C. D. 5. 直线yx与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|等于A. 2B. C. D. 6. 点P是椭圆1上一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260°，则F1PF2的面积为_。7. ABC的两顶点B（8，0），C（8，0），AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，则顶点A的轨迹方程为_。 8. F1、F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则M点的轨迹是_。9. 以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，4）和Q（，3），则此椭圆的方程是_。10. 在椭圆1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是_。11

15、. ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。12. 在面积为1的PMN中，tanM，tanN2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。参考答案1. 解析：将方程x2ky22化为椭圆的标准方程为1，又焦点在y轴上，>2，解之得0<k<1。2. 解析：由椭圆方程知a5，|CF1|CF2|2a10，|DF1|DF2|2a10，则F2CD的周长|F2C|F2D|CD|CF1|CF2|DF1|DF2|101020。3. 解析：由椭圆的标准方程易知c3，不妨设F1（3，0）、F2（3，0），因为线段PF

16、1的中点在y轴上，由中点坐标公式知xP3，由椭圆方程1解得yp±，故M点纵坐标为±。4. 解析：从方程中可得a3，b2，c5|PF1|PF2|2a6，（|PF1|PF2|）2180即|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|180由已知PF1PF2，|PF1|2|PF2|2（2c）2100代入上式得2|PF1|·|PF2|80（|PF1|PF2|）2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|20|PF1|PF2|2 答案：B5. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）由方程组得1x±y±，即A（），B（，）由

17、两点间距离公式可得|AB| 6. 解析：设|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理有m2n22mncos60°|F1F2|2122，即m2n2mn144 由椭圆定义知mn20，则m2n22mn400 由得，3mn256，故mn因此，7. 解析：如图所示，设B、C为BC的两个三等分点，则B（24，0），C（24，0），连接AB，AC，设A（x，y），BM、CN又分别为ACB与ABC的中位线。|AB|2|BM|，|AC|2|CN|AB|AC|2（|BM|CN|）60由椭圆定义，动点A到两定点B、C的距离的和为定长60，所以点A在以B、C为焦点，中心在原点的椭圆上运动。2a60，a30由|BC|48，得c24b2a2c2900576324 则点A的轨迹方程是1（y0） 8. 解析：尽管动点M满足|MF1|MF2|2a6，但2a|F1F2|，M点轨迹应为F1、F2两点间的线段。答案：F1、F2两点间的线段9. 解析：设此椭圆方程为mx2ny21（m>0，n>0，mn），把P（，4），Q（，3）代入得解得m1，n，故椭圆方程为x21。10. 解析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有1，1两式相减得即