北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试数学（文）试题解析（教师版）

1、（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分【试题总体说明】本套试卷的题型分布与2011年北京高考题没有区别，延续了北京的8、6、6分布。6道大题的考点与以往也没有什么不同，分别涉及了解三角形、立体几何、概率、导数、解析几何、集合新题型。所以可见，命题人在命题过程中是有考虑的，在试题整体上，没有过多变化，力求平稳。1命题覆盖面广，琐碎知识考察力度加大。这套前14道小题，几乎没有高中同一章节的内容，考察内容十分分散。其实，这是新课标的一个重要特点。新课标的理科教材与原大纲相比，内容有增无减，增加了算法、三视图、积分、几何概型、平面几何、参数方程极

2、坐标等许多内容，而这些内容一定要体现在高考试卷中。本套试题的小题1,2,3,4,5,6，9,10等试题难度较低，考查学生的基础知识掌握情况.2.中档题注重综合，难题注重新颖。这次试题中的8、14题都是综合问题，第8题是线性规划与集合综合、第14题是新概念的题目，考察学生综合运用知识的能力，稍有失误就会失分。这套试卷的小题有很鲜明的特色，活而不难。3.解答题构思巧妙，体现知识的综合性，考查学生的素质和能力.这次解答题的命题点与以往是没有变化的，变化的只是具体的题目。第17题立体几何，考查探索性问题。15解三角形和向量结合，试题比单独考查三角函数便增加了难度. 18题的背景较为新颖，需读懂题意，考

3、查基古典概率问题。第20题，以数列为背景考查学生的综合素质,难度较大。第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则等于（ ）ABC D【答案】D【解析】.2.已知平面向量，且，则实数的值为 （ ）A B C D【答案】B【解析】因，可得3. 函数的图象大致是 （ ）- 1 - / 19【答案】B【解析】当函数的图象是抛物线；当只需把函数的图象在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故图象大致为B.4. 设数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则

4、的前项和等于 （ ）A B C D【答案】A【解析】因成等比数列，故5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】程序运行一次：T=1，S=0;运行两次：T=1，S=-1;运行三次：T=0，S=-1; 运行四次：T=-1，S=0，输出S=0，程序结束.6. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由条件可知7. 已知函数，设，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，所以8. 已知集合, .若存在实数使得成立,称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是 ( ) A. 0 B.

5、1 C. 2 D. 无数个【答案】A【解析】要使成立,首先函数的图象与函数的图象必须有公共点，由可得若点在区域C内，则必有代入（1）可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量，满足约束条件 则的最大值为 . 【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：且A(1,1), 在点处取得最大值.10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有 辆.【答案】80【解析】在上的数据的频率为则时速在的汽车

6、大约有辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .【答案】【解析】原几何体是一个侧放的三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为3，故该几何体的体积为12. 设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是 . 【答案】【解析】由条件可知圆心为（1,2）到直线的距离为13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润（万元）与机器运转时间（年数，）的关系为.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.【答案】5,8【解析】当每台机器运转年平均利润为当且仅当时，年平均利润最大为8万元.14. 已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取

7、两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若，经过6次操作后扩充所得的数为（为正整数），则的值分别为_. 【答案】(1)255 (2)8 13【解析】(1)操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为（2）操作一次得到新数操作两次得到新数操作三次得到的新数为同理操作四次得到的新数为操作五次得到的新数为操作六次得到的新数为故的值分别为8 ，13.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本题满分13分）在锐角三角形中，分别为内角，所对的边，且

8、满足（）求角的大小；（）若，求的值；二是坐标式.定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解方法灵活多样，一般通过具体的图形可确定，因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解.即向量问题“坐标化”，使得问题操作起来容易、方便.第二问利用余弦定理求边和角，然后借助数量积的定义式求解.解：（）因为， 所以， 2分因为，所以. 3分 又为锐角， 则. 5分（）由（）可知，因为， 根据余弦定理，得 ，7分整理，得 由已知 ，则 又，可得 ， 9分于是， 11分MSDBCAPQ

9、83;所以16. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面四边形为正方形，且 为的中点，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）若，为中点，在棱上是否存在点， 使得平面平面，并证明你的结论.【命题分析】本题考查线面平行和垂直的证明、探索性问题等综合问题。考查学生的空间想象能力。线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.本题的第一问利用（3）进行证明。关于线面平行的证明常见的途径有线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（

10、2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.、本题第二问利用方法（2）证明；探求某些点的具体位置，使得线面满足垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.本题第三问主要采用假设存在点，然后进行证明.证明：（）因为四边形为正方形，则. 1分又平面平面，且面面， 所以平面. 3分（）存在点为中点，使得平面平面 11分连接交于点，连接、，因为，并且，所

11、以四边形为平行四边形，所以.又因为为中点，所以12分因为平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面， 13分又因为平面，所以平面平面14分17. （本题满分13分）553232A如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）（）请列出一个家庭得分的所有情况；（）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏

12、的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品请问一个家庭获奖的概率为多少？ 【命题分析】本题考查古典概率问题.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)求出事件A的概率这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏例如本题第二问中，符合获奖条件的得分共有多少种情形必须找准找全.解：（）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为， 7分 （）记事件A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括 ，共5种， 11分 所以 所以一个家庭获奖的概率为 13分18. （本题满分13分）设函数.（）当时,试求函

13、数在区间上的最大值;（）当时,试求函数的单调区间.【命题分析】本题考查函数的最值和函数的单调区间，考查学生利用导数法求解函数性质的解题能力。解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；求解函数的最值，一般思路是明确函数的定义域，利用求导判断函数的单调性，然后再给定的区间上判断函数的最值。本题的第一问严格按照这种思路进行解答；求解函数的单调区间，一般方法是利用求导的思路进行解答，例如本题的第二问，需要对参数a进行分类讨论得到不同情形下函数的单调区间，分类标准是a与0,1的比较，注意体会分类标准是如何得到的.解: （）函数的定义域为. 1分当时, ，因为， 3分所以函数在区间上单调递增，则当时,函

14、数取得最大值 . 5分（）. 6分当时,因为，所以函数在区间上单调递减；7分当时，当时，即时，所以函数在区间 上单调递增； 9分当时，即时，由解得， ，或. 10分由解得； 11分所以当时，函数在区间上单调递增；在上单调递减，单调递增. 13分19. （本题满分13分）已知椭圆的离心率为，且过点，为其右焦点.（）求椭圆的方程； （）设过点的直线与椭圆相交于、两点（点在两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程.解：（）因为，所以，. 1分设椭圆方程为，又点在椭圆上,所以，解得， 3分所以椭圆方程为. 4分（）易知直线的斜率存在, 设的方程为， 5分由消去整理，得， 6分由题意知，解得. 7分设

15、，则， ， . .因为与的面积相等，所以，所以. 10分由消去得. 将代入得. 将代入，整理化简得，解得，经检验成立. 12分所以直线的方程为. 13分20. （本题满分14分）数列，（）由下列条件确定：；当时，与满足：当时，,；当时，.（）若，求，并猜想数列的通项公式（不需要证明）；（）在数列中，若(,且)，试用表示，；（）在（）的条件下，设数列满足， (其中为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.【命题分析】本题考查数列的通项公式、数学归纳法和不等式的证明，考查学生的自学能力和综合素质.试题难度较大。首先根据题意明确数列的性质，采用列举归纳猜想证明的基本思路进行求解数列的通项公式。在第二问中，通过构造等比数列进行表示；第三问中，通过数列的单调性和作差比较的方法进行证明不等式.（）解：因为，所以,.因为,所以,.因为,所以,.所以. 2分由此猜想，当时,，则，. 3分下面用数学归纳法证明：当时