第二章 二次函数-二次函数图像的对称（教学设计）-2023--2024学年北师大版数学九年级下册

第二章二次函数--二次函数图像的对称（教学设计）-2023-—2024学年北师大版数学九年级下册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容第二章二次函数--二次函数图像的对称（教学设计）

2023—2024学年北师大版数学九年级下册

内容包括：二次函数的标准形式、顶点坐标、对称轴、图像的开口方向与开口大小；通过具体例子，让学生理解并掌握二次函数图像的对称性；利用坐标变换和对称性，解决实际问题。二、核心素养目标分析本章节旨在培养学生数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养。通过探究二次函数图像的对称性，学生能够理解数学与实际问题的联系，提高解决实际问题的能力；同时，培养学生运用数学语言描述和分析问题的能力，以及通过图形变换进行逻辑推理的能力。三、学情分析针对九年级下册的学生，他们对二次函数已有初步的认识，能够根据给定的函数式描述函数的性质，但对于二次函数图像的对称性理解可能存在困难。学生层次上，部分学生可能对二次函数的概念理解不够深入，难以把握函数图像的对称性这一关键特征。在知识层面，学生对一次函数的图像和性质有较好的掌握，但二次函数的图像分析能力相对较弱。

在能力方面，学生具备一定的抽象思维能力，但面对复杂函数图像的解析时，可能缺乏有效的数学建模和逻辑推理能力。此外，学生的几何直观能力有待提高，对二次函数图像的直观感受和空间想象能力相对不足。

从素质角度来看，学生在合作学习、自主探究等方面表现良好，但在课堂上参与度上存在差异，部分学生可能因为缺乏信心而不敢提问或表达自己的观点。

这些学情特点对课程学习有如下影响：首先，需要通过多样化的教学方法和实践活动，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难。其次，教师应注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力，通过具体的实例和问题引导学生深入理解二次函数图像的对称性。最后，教师需关注学生的个体差异，提供个性化的指导，确保所有学生都能在课程学习中有所收获。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版数学九年级下册教材。

2.辅助材料：准备二次函数图像的示意图、图表，以及相关数学软件操作视频。

3.实验器材：准备坐标纸、直尺等绘图工具。

4.教室布置：设置分组讨论区，并布置黑板或电子白板，以便展示学生作品和教学演示。五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，今天我们要继续探索二次函数的奥秘。在上节课中，我们已经学习了二次函数的基本性质，今天我们将聚焦于二次函数图像的对称性，这是我们理解二次函数图像变化规律的关键。

（学生）老师，什么是二次函数的对称性呢？

（教师）好问题，我们先通过一个简单的例子来感受一下。请大家看屏幕上的二次函数图像，观察它的对称性。

二、新课讲授

1.理解对称轴

（教师）同学们，首先我们要明确什么是二次函数的对称轴。请大家拿出教材，我们一起来看一下。

（学生）老师，对称轴是函数图像的一条直线，对吧？

（教师）没错，对称轴是二次函数图像上的一条特殊直线，它将函数图像分为两个完全相同的部分。

（教师）现在，请同学们观察屏幕上的图像，找出它的对称轴。

（学生）老师，我发现这条直线正好穿过函数图像的顶点。

（教师）非常好，顶点就是对称轴的交点。对称轴的方程通常可以通过顶点坐标来求得。

2.探究对称性

（教师）接下来，我们来探究一下二次函数图像的对称性。请大家以小组为单位，讨论以下问题：

（1）二次函数图像在对称轴两侧的形状是否相同？

（2）如果我们将图像沿对称轴翻转，图像会怎样变化？

（3）如何根据对称轴的位置判断函数图像的开口方向？

（学生）（小组讨论）

（教师）请大家分享一下你们的发现。

（学生）我们发现，二次函数图像在对称轴两侧的形状确实相同，而且沿对称轴翻转后，图像保持不变。

（教师）很好，这正是二次函数图像的对称性。那么，如何根据对称轴的位置判断函数图像的开口方向呢？

（学生）老师，如果对称轴在y轴的左侧，函数图像开口向上；如果对称轴在y轴的右侧，函数图像开口向下。

（教师）回答得非常准确。接下来，我们来做一个练习题。

3.练习巩固

（教师）请同学们完成以下练习题：

（1）给出一个二次函数的图像，判断它的开口方向和对称轴。

（2）已知一个二次函数的顶点坐标和对称轴，写出它的函数表达式。

（学生）完成练习题

（教师）请大家展示一下你们的答案，并说明你们的解题思路。

（学生）展示答案并说明思路

（教师）很好，大家的答案都很正确。现在，我们来总结一下本节课的重点内容。

三、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了二次函数图像的对称性。我们了解到，对称轴是二次函数图像的一个重要特征，它将图像分为两个完全相同的部分。我们还学会了如何根据对称轴的位置判断函数图像的开口方向。

（学生）老师，我们学会了如何利用对称轴和顶点坐标来分析二次函数图像。

（教师）是的，这是本节课的重点。希望大家能够通过练习，巩固所学知识。

四、布置作业

（教师）请大家课后完成以下作业：

（1）回顾本节课的内容，总结二次函数图像的对称性。

（2）完成教材中的相关练习题。

（3）思考：如何利用二次函数图像的对称性解决实际问题？

（学生）明白

五、课后反思

（教师）本节课，我们通过实例、小组讨论和练习，让学生理解并掌握了二次函数图像的对称性。在教学过程中，我注意到学生们对对称轴的概念比较容易理解，但对于如何根据对称轴判断开口方向还需要进一步的练习。在今后的教学中，我将更加注重培养学生的数学思维能力和问题解决能力，让他们能够更好地应用所学知识。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数图像的几何意义：探讨二次函数图像与实际几何图形的关系，如抛物线与平面几何中的曲线。

-二次函数在实际生活中的应用：收集并展示二次函数在物理学、工程学、经济学等领域的实际应用案例，如抛物线运动、建筑设计、经济模型等。

-二次函数与方程的关系：介绍二次函数与二次方程的联系，包括二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。

-二次函数图像的变换：研究二次函数图像的平移、旋转、缩放等变换规律，以及这些变换对函数性质的影响。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍或资料：推荐学生阅读关于二次函数图像和应用的数学书籍，如《数学分析》等，以加深对二次函数的理解。

-观看科普视频：鼓励学生观看与二次函数相关的科普视频，如“二次函数的应用”等，以直观了解二次函数在实际生活中的应用。

-参与数学竞赛或活动：引导学生参加数学竞赛或相关活动，如“数学建模竞赛”等，以提升学生的数学思维能力和实际应用能力。

-设计二次函数问题：鼓励学生设计自己的二次函数问题，并尝试用所学知识解决这些问题，以培养学生的创新思维和问题解决能力。

-制作二次函数图像：利用计算机软件或手工绘制二次函数图像，让学生亲自动手，更直观地感受二次函数图像的变化规律。

-探究二次函数与导数的关系：引导学生探究二次函数的导数与函数图像的关系，如顶点、拐点等，以加深对二次函数性质的理解。

-组织小组讨论：鼓励学生以小组形式讨论二次函数相关的问题，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

-设计二次函数教学案例：让学生尝试设计二次函数的教学案例，通过教学实践提升学生的教学设计和实施能力。七、内容逻辑关系①本文重点知识点：

-二次函数的标准形式

-顶点坐标

-对称轴

-开口方向与开口大小

②本文重点词句：

-“二次函数的图像是一个抛物线。”

-“对称轴是抛物线的对称轴，它垂直于抛物线的开口方向。”

-“顶点坐标是抛物线的最高点或最低点，它位于对称轴上。”

③本文逻辑关系：

-首先，介绍二次函数的标准形式，包括一般式和顶点式，为学生建立二次函数的基本概念。

-其次，讲解顶点坐标的概念，并说明如何通过顶点坐标确定抛物线的位置和形状。

-然后，重点阐述对称轴的定义和性质，以及如何通过对称轴判断抛物线的开口方向和开口大小。

-最后，结合实例，让学生通过观察和分析二次函数图像，理解对称轴在图像中的作用和意义。八、课堂1.课堂评价

（1）提问与反馈

在课堂教学中，我将通过提问来检验学生对二次函数图像对称性的理解。以下是一些具体的提问方式：

①提问学生关于二次函数标准形式和顶点坐标的基本概念。

②观察学生对对称轴的定义和性质的掌握程度。

③鼓励学生解释如何通过顶点坐标和对称轴来判断抛物线的开口方向和开口大小。

对于学生的回答，我将及时给予反馈，以帮助他们纠正错误并巩固知识点。

（2）观察与记录

（3）测试与评估

在课程结束后，我将设计一份小测验，涵盖本节课的主要知识点，以评估学生的整体学习效果。测试将包括选择题、填空题和简答题，以全面考察学生的理解、应用和创新能力。

2.作业评价

（1）作业设计与批改

我将设计一系列作业题，包括应用二次函数图像对称性解决实际问题的题目。作业将要求学生独立完成，并在课后提交。

在批改作业时，我将仔细检查以下几个方面：

①学生是否正确理解并应用了二次函数图像对称性的概念。

②学生在解决问题时是否能够清晰地表达思路。

③学生是否能够独立思考并解决具有一定难度的题目。

（2）反馈与鼓励

对于学生的作业，我将提供详细的批改和个性化的反馈。以下是一些反馈的具体内容：

①对于正确答案，我会给予肯定和鼓励，并指出学生在解题过程中的亮点。

②对于错误答案，我会指出错误原因，并提供正确的解题方法。

③对于有挑战性的问题，我会鼓励学生尝试不同的解题思路，并给予必要的指导。

（3）持续跟踪

我将持续跟踪学生的作业完成情况，以了解他们的学习进度和困难。对于表现不佳的学生，我将提供额外的辅导和帮助。重点题型整理1.题型一：求二次函数的对称轴

题目：已知二次函数的解析式为y=-2x^2+4x+1，求该函数的对称轴方程。

答案：对称轴的方程为x=-b/(2a)，其中a是二次项系数，b是一次项系数。对于给定的函数，a=-2，b=4，所以对称轴方程为x=-4/(2*(-2))=1。

2.题型二：判断二次函数图像的开口方向

题目：已知二次函数的解析式为y=x^2-6x+9，判断该函数图像的开口方向。

答案：二次函数的开口方向由二次项系数决定。由于二次项系数为正（a=1），因此函数图像开口向上。

3.题型三：求二次函数的顶点坐标

题目：已知二次函数的解析式为y=2(x-3)^2-1，求该函数的顶点坐标。

答案：二次函数的顶点坐标可以直接从顶点式中读出。对于给定的函数，顶点坐标为(3,-1)。

4.题型四：利用对称性求解函数值

题目：已知二次函数的解析式为y=-3(x-2)^2+5，求函数在x=1时的值。

答案：由于对称轴为x=2，所以当x=1时，与x=3关于对称轴对称。因此，y(1)=y(3)。将x=3代入函数得y(3)=-3(3-2)^2+5=-3+5=2。

5.题型五：二次函数图像与坐标轴的交点

题目：已知二次函数的解析式为y=x^2-4x-12，求该函数图像与x轴的交点坐标。

答案：要求函数与x轴的交点，即求解y=0时的x值。设x^2-4x-12=0，解这个二次方程得到x的值。通过因式分解或使用求根公式，得到x=6或x=-2。因此，函数图像与x轴的交点坐标为(6,0)和(-2,0)。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.多媒体辅助教学：在课堂上，我尝试运用多媒体技术展示二次函数图像的动态变化，让学生更直观地理解对称轴和顶点的概念。

2.实例教学：结合实际生活中的例子，如抛物线运动、建筑设计等，让学生体会二次函数的实用价值，激发他们的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对二次函数图像的理解不够深入：部分学生在学习二次函数图像的对称性时，对概念理解不够，需要进一步加强。

2.教学方法单一：课堂教学中，我主要采用讲授法，缺乏互动性和趣味性，可能影响学生的学习积极性。

3.评价方式单一：目前主要依靠测试和作业来评价学生的学习效果，缺乏对学生综合能力的全面评估。

反思改进措施（三）改进措施

1.深化概念教学：针对学生对二次函数图像理解不够深入的问题，我将通过设计更多实例、练习题和讨论，帮助学生更好地理解对称轴和顶点的概念。

2.丰富教学方法：为了提高课堂的互动性和趣味