第一章 数字电路基础

1、第一章基础知识第 1 页 共 19 页第一章第一章基础知识基础知识一、四种数制及其转换1、四种数制的表达式：式中：Ki 为第 i 的系数，取值为 0N-1N 为计数基数，取值为 2、8、10、16Ni为权2四种进制数的转换关键：1）二十进制转换2）二进制数以小数点为基准的分组问题。 二十进制转换把二进制数转换成等值的十进制数称为二十进制转换。 转换时只要按加权系数式展开，再把各项的数值相加即为十进制数。例如：（）232101-2-（ ）10 十二进制转换指将十进制数转换成等到值的二进制数。可分为整数部分和小数部分转换两种情形。对整数部分可采用连除法，即所谓“除取余作系数，从低位到高位”的方法。

2、小数部分的转换可采用连乘法，即所谓“乘取整作系数，从高位到低位”的方法。例如：将（）10化为二进制数；将（）10转换为二进制数：故（）10（）2（）10（）2 二十六进制转换若将二进制数转换成等值的十六进制数，只要从低位到高位将位二进制数分为一组，不足四位的补 0，代之以等值的十六进制数，得到的即为十六进制数。例如：将（）2化为十六进制数： 十六二进制转换若将十六进制转换成等值二进制， 只需将十六进制每一位用等值的位二进制数代替即可。iiiNKD第一章基础知识第 2 页 共 19 页例如： （）16转换为二进制数二进制数转换成八进制数采用“三位一组”的方法，即从待转换数的小数点开始，分别向左、

3、向右将二进制数按每三位一组分组，不足三位的补 0，然后按每组对应一位，写出每一组等值的八进制数。十六进制数转换为八进制数采用先转成二进制，再转成八进制的方法。 二进制码的运算二、码制码制是指用二进制数表示数字符的编码方法。例如用位二进制数码表示一位十制数的这十个状态，使其可在数字电路中运行时，有很多种不同的码制，见表 1.1 所示。通常将用位二进制码表示十进制的编码方法叫做二十进制码，简称为码。1、 BCD 码1概念用 4 位二进制数码表示 1 位十进制数的代码。 种类8421 码、2421 码、余 3 码、余 3 循环码、BCD 格雷码等等。常用的 BCD 码编 码 种 类十进制数8421

4、码余 3 码2421 码余 3 循环码BCD 格雷码000000011000000100000100010100000101100001200100101001001110011300110110001101010010401000111010001000110501011000010111000111601101001011011010101701111010011111110100810001011111011101100910011100111110101000权值或特点权值 8，4，2，11无权码2由 8421 码加 0011 （ 即310）而得权值 2，4，2，11无权码2相邻码仅一

5、位不同循环码，即相邻码仅一位不同38421BCD 码和十进制数之间的转换8421BCD 码和十进制数之间的转换是直接按位转换。例如：（13.9）10(00010011.1001)8421BCD（10011.1001）8421BCD第一章基础知识第 3 页 共 19 页(11011000010000)8421BCD(0011,0110,0001,0000)8421BCD(3610)10(128)10=(1000 0000)2(128)10=(0001 0010 1000)8421BCD 其他编码 ISO 码 ASCII 码三、逻辑代数基础1、 逻辑变量与逻辑函数 逻辑自变量在研究事件的因果变化关

6、系时，决定事件变化的因素称为逻辑自变量。 逻辑函数而与之对应的事件的结果称为逻辑结果， 以某种形式表示的逻辑自变量与逻辑结果之间的函数关系称为逻辑函数。2、基本逻辑运算基本的逻辑关系有三种，即逻辑与、逻辑或、逻辑非；与之相对，在逻辑代数中，基本的逻辑运算也有三种：与运算、或运算、非运算。若把开关的闭合作为条件，开关打开为 0，开关闭合为 1；把灯泡的亮暗作为结果，灯灭为 0，灯亮为 1，那么以下三个图代表的逻辑关系如下：（a）图表示只有决定事件结果的全部条件均具备时结果才发生，这种逻辑关系叫逻辑与、与逻辑或逻辑相乘。(b) 图表示决定事件的所有条件中只要一个满足，结果就能发生，这种逻辑关系叫逻

7、辑或、或逻辑、或逻辑相加。(c) 图表示决定事件的条件满足时，结果便不会发生，而条件不具备时，结果反而会发生，这种逻辑关系叫逻辑非、非逻辑或逻辑求反。若以、来表示逻辑自变量，表示逻辑因变量，、取时表示开关断开，取表示开关闭合；取表示灯泡熄灭，取表示灯泡亮，即可列出因变量与自变量之间变化关系的图表，这种图表称为逻辑真值表。第一章基础知识第 4 页 共 19 页将上述三种基本逻辑运算的逻辑自变量与逻辑因变量之间的关系表示成逻辑函数的形式为：；与逻辑运算；或逻辑运算A；非逻辑运算式中的“”表示与运算，“”表示或运算，变量上面的“”表示非运算。同时，把实现与逻辑运算的单元电路叫与门，把实现或逻辑运算的

8、单元电路叫或门，实现非逻辑运算的单元电路叫非门。与、或、非逻辑运算不仅可以用逻辑函数的形式来表示，还用图形符号来表示，这些图形符号不仅可以表示有关的逻辑运算，还可表示相应的门电路。在实际的问题中，事件的因果关系往往比单一的与、或、非要复杂得多，不过它们均可用与、或、非组合来实现。我们将含有两个或以上基本逻辑的逻辑函数关系式称为组合逻辑函数。通常组合逻辑函数包含与非、或非、与或非、异或等。注意：以上分析均为正逻辑。图 13 组合逻辑函数的图形符号第一章基础知识第 5 页 共 19 页3、逻辑代数的基本定律公式基本A=A 运算定理交换律、结合律、分配律、反演律。4、逻辑代数常用公式和基本规则 常用

9、公式（1）A+AB=A(1-6)证明：A+AB=A（1+B）=A1=A（2）A+AB=A+B(1-7)证明：A+B=（A+B） （A+A）=AA+AB+AA+AB=A+AB+AB=A+AB（3）AB+AB=A(1-8)证明：AB+AB=A（B+B）=A1=A（4）A(A+B)=A(1-9)证明：A（A+B）=AA+AB=A(1+B)=A1=A（5 ）AB+AC+BC=AB+AC(1-10)证明:AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB1+AC1=AB+AC第一章基础知识第 6 页 共 19 页2其他公式A1=AA0=AAA=

10、0AA=1AB=BA( AB)C= A(BC)A(BC)=ABBCBA=AB 基本规则（1）代入规律将等式两边的同一个逻辑变量均以一个逻辑函数取代之， 则等式仍然成立， 这一规则称为代入规则。利用代入规则，可将前面所讲过的基本定律和常用公式推广，撑握这些推广的形式，对逻辑函数化简非常有用。（2）反演规则对于任意一个逻辑函数式 Y，若将其中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，0 换成 1，1 换成 0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，得到的函数式就是Y，这就是反演规则。利用反演规则可非常方便地求反函数Y。例：Y=AB求Y解：Y=AB=AB+ABY=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+A

11、B=AB例：Y=)(BA(C+D)求Y解：Y=)(BA(C+D)=(BA)+( DC)=A+B+CD注意：1）保证运算顺序问题。2）不是一个变量上的反号应保持不变。(3) 对偶规则对于任意一个逻辑函数式 Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，0 换成 1，1 换成 0，所行到的一个新的逻辑函数式，就是函数 Y 的对偶式，记为 Y，这就是对偶规则。可以证明，若两个逻辑函数相等，则其对应的对偶式也相等，利用这一结果，可先证明某一等式两边函数的对偶式相等，再得出两函数相等，这样可简化证明过程。5、逻辑函数的表示方法前面已经讲过， 任何一个因果事件均可用逻辑自变量与逻辑因变量之间关系式逻辑函数

12、来进行描述，但在实际使用中，逻辑函数的表示方法有多种，一般可用逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图及卡诺图等来表示。 逻辑真值表将逻辑自变量所有取值和与相对应的逻辑因变量的结果列成表格即得到真值表， 真值表可将事件的因果关系非常直观地表示出来。 逻辑函数式将逻辑自变量和逻辑因变量的关系用与、或、非等运算的组合形式表示出来，得到的即第一章基础知识第 7 页 共 19 页为逻辑函数式逻辑函数式对事件的因果关系表示非常简洁，也便于利用公式法对其进行化简。 逻辑图将逻辑函数式中的与、或、非等逻辑关系用对应的图形符号表示得到的即为逻辑图。逻辑图便于将事件的因果关系连成逻辑电路,因最终的逻辑功能均依靠电路来实现

13、。 逻辑波形图将逻辑自变量和逻辑因变量的关系用图形的形式表示出来，得到的即为逻辑函数的波形图。 逻辑卡诺图6、各种表示方法间的相互转换 从真值表到逻辑函数式由已知真值表，写出逻辑函数式的方法如下： 找出真值表中使 Y=1 的那些输入变量的组合； 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，取 1 的写成原变量，取 0 的写成反变量； 将这些乘积项相加，得到的即为逻辑函数式；例：已知一奇偶判断电路的真值表如下，试写出它的逻辑函数式。解：从真值表的变化规律可知，当变量 A、B、C 中有两个同时为 1 时，输出 Y 为 1，否则Y 为 0，而：故 Y 的逻辑函数式为上述三个乘积项之和： 由逻辑函数式列出真

14、值表将输入变量的所有取值组合代入逻辑函数式中，求出函数值，列成表格，即可得到真值表。例：已知 Y=AB+BC，求其对应的真值表解：将 A、B、C 的八种取值组合逐一代入函数式，得出函数值，列成表格，即可得到其对应真值表第一章基础知识第 8 页 共 19 页 由逻辑函数式画出逻辑图用图形符号逐一代替函数式的运算符号,即可得到逻辑图。例：已知 Y=AB+BC,试画出逻辑图解： 函数式 Y 的逻辑图如图所示 ： 由逻辑图写出逻辑函数式从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即可得到对应的逻辑函数式。例：己知某一函数的逻辑图如图所示，写出对应的逻辑函数式。解：Y=ABC+AC二、逻辑函数的代

15、数化简法1、最简与或表达式在分析逻辑问题时，我们会发现，同一个逻辑函数虽然它所实现的逻辑功能是确定的，但其表达形式却多样，例如：第一章基础知识第 9 页 共 19 页Y=AB+CD_与或表达式=CDAB =ABCD与非-与非表达式=(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD与或非表达式=CAADBCBD=(A+C)(A+D)(B+C)(B+D)或与表达式=)()()(DBCBDACA=DBCBDACA-或非-或非表达式所谓最简与或式，是指函数式的乘积项最少，且每个乘积项中的因子数也最少。2、逻辑函数的代数化简法所谓代数化简法,即指采用前面所讲的基本定律及常用公式对函数进行化简。现将常用的化简

16、法列于下表中。优点：利用公式进行化简。缺点：化简结果不易看出是否为最简结果。例：Y=A+AB+ACD=A+A(B+CD)=A+B+CD或 Y=A+AB+ACD=A+B+ACD=A+B+CD例：Y=ABC+A+B+C=BC+A+B+C=C+A+B+C=1+ A+B=1或 Y=ABC+A+B+C=ABC+CBA=ABC+ABC=1例：Y=ABC+ABC+ABC+ABC=B(AC+AC+AC+AC)=B(AC+AC)=B(CA+AC)=B例：Y=AD+BCD+(A+B)C= AD+BCD+AC+BC=AD+AC+C(B+BD)=AD+AC+BC+CD= AD+AC+BC+CD+CD= AD+C(A+

17、B+D+D)第一章基础知识第 10 页 共 19 页=AD+C三、逻辑函数的卡诺图化简法1、卡诺图化简法概念 最小项（1）定义：设有 n 个逻辑变量，组成具有 n 个变量的与项，每个变量以原变量或反变量在与项中出现且仅出现一次，这个与项就称为最小项，记作 m。在 n 变量的逻辑函数中， 若其与或表达式的乘积项包含了 n 个因子， 且 n 个因子均以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次，则称这样的乘积项为逻辑函数的最小项。（2）最小项个数：n 个变量，共有n2个最小项。（3）最小项编号：在逻辑函数的最小项表达式中，为了方便起见，常以 mi的形式表示最小项，m 代表最小项，i 表示最小项的编号。

18、i 是 n 变量取值组合排成二进制所对应的十进制数，若变量以原变量形式出现视为 1，以反变量形式出现视为 0。例如：如下表所示。=m6+m7+m3=变量取值最小项ABCM0M1M2M3M4M5M6M70001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001 最小项表达式如果一函数式的与或表达式其与项均为最小项，则此函数式称为逻辑函数的最小项表达式。例如：A.B.C 三变量的最小项有n2个：可以证明，任何逻辑函数均有其最小项表达式。如： 最小项的特点1）每个变量都是每一项的一个

19、因子。 （不能重复）2）每项中都包含所有的变量。BCAABCCABBCABYBCAABCCABBCABYABCCABCBACBABCACBACBACBA,)7 , 6 , 3(m第一章基础知识第 11 页 共 19 页3）每个变量均以原变量或反变量的形式出现。 最小项的特点1）对于其中任意一个最小项，只有一组变量取值使它为 1，其他均为零；最小项不同，使之为 1 的那组变量的取值也不同。2) 任意两最小项之积为 0。3) 全体最小项之和为 1。4) 若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。.具有相邻性的最小项之和可合并成一项并消去一对因子。 逻辑函数的卡诺图表示法卡诺图是逻辑

20、函数的图形表示法。这种方法是将 n 变量的全部最小项各用小方块表示， 并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为 n 变量最小项的卡诺图。本质：最小项的图形表示。要求：卡诺图上的相邻项必须具有相邻性。(a) 二变量(b) 三变量(c) 四变量图二、三、四变量最小项卡诺图.卡诺图两侧所标的 0 和 1 表示对应小方块中最小项为 1 的变量取值。 另外， 为了确保卡诺图中小方块所表示的最小项几何上相邻时逻辑上也有相邻性， 两侧标注的数码不能按从小到大的规则排列。除几何相邻的最小项有逻辑相邻的性质外， 图中每一行或每一列两端的最小项也具有逻辑相邻性，故卡诺图可看成一个上

21、下、左右闭合的图形。当输入变量的个数在五个或以上时，不能仅用二维空间的几何相邻来代表其逻辑相邻，故其卡诺图较复杂，一般不常用。2、卡诺图化简法 逻辑函数卡诺图表示法将逻辑函数表示为最小项之和的形式，逻辑函数中有哪些最小项，就在相应方格填，而其余方格填。如果根据真值表画图，凡使 Y1 的变量取值组合在相应方格填，其余填。2化简过程：（1）将逻辑函数用卡诺图表示。-填图（2）按合并最小项规律，将相邻 1 方格圈起来，直到所有 1 方格被圈完为止。-画圈（3）将每个圈所表示的与项相加，得逻辑函数最简与或式。-写表达式根据卡诺图的相邻性， 两相邻方格所表示的最小项能够合并为一项并消去一个互反 （也第一

22、章基础知识第 12 页 共 19 页称互补）变量；四相邻方格合并为一项同时消去两个互补变量；八相邻方格合并成一项同时消去三个互补变量。本质：利用最小项的相邻性消去一个变化的因子。例：第一章基础知识第 13 页 共 19 页 合并最小项的要点（1）圈越大越好：圈越大消去的变量越多，与项中的因子就少。（2）圈的个数越少越好：圈越少，与项的个数越少。（3）每个圈中必须、至少有一个 1 是第一次被圈。 不能漏掉任何一个是 1 的方块.注意：圈所圈住的相邻最小项（即小方块中对应的）的个数应为、个等，即为n个。如图所示第一章基础知识第 14 页 共 19 页例：Y=BC+ABC+AC+BCY=C+AB例：

23、Y=BCD+BC+ACD+ABCY=BC+ABD+ABC第一章基础知识第 15 页 共 19 页四、具有约束项的逻辑函数的化简1约束项与约束条件在实际逻辑问题中，输入逻辑变量的取值组合有时受到一定条件的限制，通常，这种限制条件称为约束条件，不会出现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。注意：约束项的取值恒为零。由于约束项所对应的变量取值组合不会出现， 所以把这些变量取值组合所对应的逻辑函数值看作 1 或者 0，对函数值不会产生影响，在卡诺图中用表示。2、具有约束项的逻辑函数的化简由于约束项所对应的逻辑函数值取 0 或取 1，对函数值没有影响。因此，在化简过程中合理利用约束项，将使逻辑函数化简

24、结果更加简单。注意： （1）因为约束项不能构成输入，因此与函数值无关，所以用卡诺图化简时不能单独圈。（2）利用约束项化简可使逻辑电路简单，但对输入变量也提出了要求，即输入变量必须满足给定的约束条件。化简时具体步骤是：（1）将函数式中最小项在卡诺图对应小方块内填，无关项在对应小方块内填，其余位置补（2）画圈时将无关项看作是还是，以得到的圈最大，圈的个数最少为原则。（3）圈中必须至少有一个有效的最小项，不能全是无关项。例：表 1.13 是一个用于判断用二进制码表示的十进制是否大于等于的真值表，试写出其最简的与或表达式解：根据真值表，可画出的四变量卡诺图如图所示。 经化简后可得：Y=A+BD+BC例

25、：DCBADCBADCBADCBADABCDBCADCBADCBADCBAY第一章基础知识第 16 页 共 19 页、)mmmmmmmm(mD)C,B,Y(ABCD00011110000111101111111110000000Y=CD+BD+BC+AD例：Y=ABC+BC+ABCY=AC+BC若有约束项：ABC+ABC=0则：Y=B+C例：Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ ABC+ ABC+ ABCY=A+B+C若有约束项：ABC=0则：Y=1例：Y=m（2、5、6、9、13）Y=BCD+ACD+ACD若有约束项：d（3、7、10、11、14、15）则：Y=BD

26、+AD+C例：Y=m（4、6、9、13）Y=ACD+ABD若有约束项：d（1、5、7）则：Y=AB+CD例：Y=m（2、3、5、7、8、10、12、13）Y=ABC+ABD+ABC+ ABD若有约束项：d（0、1、4、15）则：Y=BD+ BC+AD五、二极管、三极管、场效应管的开关特性1、二极管的开关特性第一章基础知识第 17 页 共 19 页二极管由导通变为截止， 或由截止变为导通需要时间。 由导通状态进入截止截止状态所需的转换时间称为反向恢复时间， 由截止进入导通的转换时间称为开通时间。 开通时间远小于反向恢复时间。2、晶体管的开关特性 截止条件及等效电路可靠截止条件为： 饱和条件及等效电路晶体管由截止到导通， 或由导通到截止， 即晶体管内部电荷的建立和消散都需要一定的时间，输出电压的变化滞后于输入电压的变化。3、MO