维特根斯坦《哲学评论》

1、1.一个句子，不论是用了何种表达方式，只要它在语法上是完全清晰的，那么它在逻辑上就是完全可以分析的。我们所能做的和必须做的，就是把我们语言中本质的东西与非本质的东西区别开来这归根结底是一种现象学语言的结构。现象学就是物理学理论建立于其上的事实情况的语法。2.哲学的复杂性并不在于它的材料的复杂性，而在于我们疑窦丛生的理解的复杂性。3.如果逻辑学研究的是“理想的”语言，而不是我们的语言，那就太奇怪了！4.如果我说，我必须创造语法规则是因为例如颜色具有某种特性，这样我就能描述语法规则的目的，那么由此这些规则也就多余了，因为这样我也可以说出恰恰与这些规则不相容的东西。5.是否可以说，尽管小孩必须学习用

2、某种语言讲话，但是不必学习思维？6.语言的使用在一定意义上并不是教会的。7.语法规则不可能通过对被表述物的描写来说明：每一种这样的描写都是以语法规则为前提的。8.作为语言功能之基础的那种约定方式，就像是有人说：“当你听到枪声或看见我挥手时就跑开。”9.迄今为止，哲学家们是否总是说些废话？10.把句子理解为关于做模型的规定。为了使语言能够驾驭我的手，它必须具有所要求的动作的多样性。这种多样性也说明了否定句的本质。11.我如何能够知道，当我看见红色时我能认出它来？我又如何知道，这就是我所指的那种颜色？12.如果对颜色的想像与实际看到的颜色不一致，那该如何进行比较？13.语言具有信号机一般的多样性，

3、以便使行为与其句子相对应。14.只有使用才使棍棒成为杠杆。每一种规定都可以被理解为描写，每一种描写都可以被理解为规定。15.什么叫把一个句子理解为句子体系的一个环节？句子的错综复杂只有通过有目的的使用才能说明。16.我如何知道，我期待的正是这个？我如何知道，我现在称作“白色”的颜色就是昨天在这里看到的同一种颜色？是通过我对它的再认出。17.逻辑学是否应该关心，句子是自然而然地想出来的还是经过系统思考形成的？逻辑学感兴趣的是作为一种语言体系之部分的句子。18.我并不认为，逻辑学所说的句子与我们说“这里写着一个句子”时所谈论的句子具有不同的意义。19.句子与现实的一致。对再认出就像对记忆可以有两种

4、不同方式的理解：理解为过去概念和同一性概念的来源，或者理解为对已过去的事物和同一性的检验。20.如果把意向的因素从语言中分离出来，那么语言的全部功能将由此瓦解。21.（意向的）图像观同罗素的观点的本质区别在于，前者把再认出视为对一种内在关系的认识。语言与行为之间的因果关系是一种外在的关系。22.罗素的理论可以归结如下：如果我给某人一个指令，他依照这个指令之所为使我愉快，那么他就是执行了这个指令。23.如果在学习语言的同时建立起了语言和行为的联系，这种联系也许会断裂吗？如果会断裂，我究竟有何种手段，把原来的规定同后来的行为相比较？24.意向现在已经通过我此刻如何拿这幅图像同现实相比较表达出来了。

5、25.期待P是某情况，必然与期待之一期待的实现相同。26.仅有外部联系，是根本无法对联系作出描述的，因为我们只有借助内在联系才能描述外部联系。27.问题的含义在于其回答的方法。告诉我，你是如何探求的，我将告诉你，你在探求什么。28.期待和探求相联系。我知道我在探求什么，而我所探求的东西并非一定真正存在。取代期待的事件是对期待的回答，这就是说，期待必须与被期待的对象在同一空间之中。29.期待不可能通过对被期待对象而外在地加以描述；通过有待描述的东西来描述期待是一种内在的描述。30.当我说“这就是我所期待的同样的事情”和“这就是也发生在那个地方的同样的事情”时，这里“同样的”这个词在两句话中意思不

6、同。31.语言与意图。当人们说“这是刹车杆，但是它失灵了”时，所论及的是意图。32.只有发声表达出来的东西我才称之为想法或者也可以称之为期待、愿望等等。33.人们如何探求，在一定程度是表达了人们期待的是什么。期待准备了一个用来衡量事件的尺度。假如期待与现实相脱离，那么人们所期待的就可能是一件荒唐事。34.当我说，描述必然涉及我的世界时，人们不能说，“因为否则我就不能证实这一描述”，而是说，否则这一描述一开始就对我没有意义。35.奇怪的是，我们知道，这是一种期待。这表明，期待直接与现实有联系。我们必须能够对期待和现实作出对比性的描写。36.我当初称为“对象”的东西，简单地说就是那个我们可以说它始

7、终如是的东西。“我期待着三下敲门声”，就像我回答说：“你怎么知道有三下敲门声？”37.这个现在在周围看不到任何红色东西的人是不是同那个没有能力看见红色的人处于同一状态？如果前者想像着红色，那么那不是所见到的的红色。38.回忆和事实必须在一个空间中。同样，想像和现实也在一个空间中。39.如果我只是看见一些黑的东西并且说，这不是红的，如果不是因为红色正好是这个有黑色刻度的标准尺上的另一种刻度，那么我如何知道，我说的不是废话，也就是说，它可能是红色的，存在着红色？40.如果同标准尺的比较是正确的，那么，蓝色这个词肯定向我指明了从黑到蓝的方向。但是这些不同的方向如何在语法上表达呢？41.红绿色盲者的辨

8、色系统不同于常人的。现在的问题是不是这样：这个不能辨别红和绿的人真的能看见我们称之为“蓝”和“黄”的东西吗？42.灰色肯定已经被想像处在从深到浅的空间之中。肯定已经用一个尺度衡量过了：我不可能在内在的听觉和内在的耳聋之间作选择。43.一个问题总是有一种探求方法与之相对应。如果人们不能把一种图像作为尺度来测量现实，那么就不能将这种图像同现实进行比较。44.怎样使一个“正式得到证明的命题”成为可能？尺度的使用并不以被测量的客体的长度为前提。由此我可以再一般意义上学会测量。45.但是，言词与用言词描述其长度的客体是否处于同一空间呢？因为，单位刻度属于符号体系；它包含了特殊空间的因素。46.一种语言使

9、用一个坐标系。不带坐标系的文字符号是没有意义的。47.如果我们环视四周，在空间里走来走去，感觉我们自己的身体，等等，等等，我们并不觉得有什么异常，因为这与我们的世界的形式并无矛盾。世界的理所当然正表现在，语言只是意喻它，也只能意喻它。48.生命之流，或世界之流，在滚滚向前，而我们的句子，可以说只是在瞬间被验证。那么，它们就是与当前有公约性的。49.也许全部的困难就在于把物理时间的时间概念转用于直接体验的进程中。我们并没有谈论当前的、过去的和将来的观念。50.“我看见的不是过去，而是过去的图像。”但是我从何处知悉，它是过去的图像？51.这样在电影胶片上就有一个当前的图像以及若干过去的和将来的图像

10、；而在银幕上却只有当前。52.如果人们用“时间”来指称变化的可能性，那就不能说，“时间在流逝”。在我们看来，回忆似乎是我们当初很清楚地看到的东西的比较弱的图像。在物理学语言中这是对的。53.但是还可以有另外的说法；这一点很重要。例如“视觉错觉”的表述就给出了错误这一观念，即使原本并没有什么错误。它使人想到一种绝对如实对的语言。54.只有我们还能作另外想像的东西，语言才能说。万物流逝，只能在语言的使用中表述出来。如果说，只有当前经验具有现实性，那么这里“当前”这个词必然是多余的。55.某些描述经验的重要句子，也可以是另外的样子，例如，我的视觉图像几乎不间断地处于变化之中。56.当我说出“尤利乌斯

11、.凯撒翻过阿尔卑斯山”这一句子时，我是否只是以此描写了我当前的精神状态？这个句子说出了我的想法。如果我想知道这是什么，那么最好是问一问，我为什么这样想。57.我们语言中的一个引起歧义的表达方式，是“我”这个词的使用，特别是在表达直接经验的地方。如果这种经验不借助于人称代词来表达，会怎么样呢？58.大概是这样：如果我L.W.牙疼，就说“牙疼”。另一种情况是：“当牙疼时，A的表现同L.W.一样。”这种语言可以把任意一个人作为中心。语言的以我为中心，在于它的使用。这种特殊地位是不可表达的。无论我说，被表述物不是许多事物之一；或者我不可能说出我的语言的优点这二者都会导致同一结论。59.要人们相信无法通

12、过某种方式证实的东西，这是不可能的。如果我认为某人在悲伤，这我能做到。而我却不能认为，我在悲伤。60.说两个人有同一个身体，这有意义吗？61.如何区别他的和我的牙疼？62.“如果我说，他牙疼，那么我的意思是指，他现在有我曾经有过的感觉。”但是，这是不是一种关系，即牙疼曾经与我有过的、而现在与他有的关系？63.在似乎有可能感觉到他人嘴中的牙在疼这一意义上，我或许可以谈论别人的牙的牙疼（感觉事实）。64.当我说“A牙疼”时，我使用的是疼痛感的想像，其方式正如我说电流的流动时使用流动这一概念一样。（1）其他人有牙疼，（2）其他人与我有同样的举止但并不牙疼，这两种假设就其意义来说可以是一致的。65.我

13、们的语言使用“我的疼痛”和“他的疼痛”这种表达，以及“我有（或感到）疼痛”这类表达。而“我感到我的疼痛”和“我感到他的疼痛”的表达是无意义的。66.假若我有两个身体，也就是说，我的身体由两个彼此分开的肉体组成，那情况会怎么样呢？认为在思想中可以同时延展体验的哲学家们应该想到，通过电话只能传送话语，不能传播麻疹。67.假设，我的记忆力很好，我可以回忆起我全部的感觉印象；我可以描写这些感觉印象，例如，我可以用雕塑来表达视觉图像，但仅限于我真实地看到过并通过一个机械装置活动的视觉图像。68.当我描述一种语言时，我描述的是一些物理的东西。但是一种物理语言如何能够描述现象呢？69.现象（似是而非的当前）

14、包括时间，但并不在时间之中。而语言的进行是有时间性的。70.我们需要一种可以用来孤立地描述视觉空间现象的表达方式。71.只有在物理空间的语言中，视觉空间才叫做主观的。重要的是，视觉空间的描述表现的是一个客体，不包括主体的暗示。72.我如何知道我是通过我的眼珠的瞳孔看世界的？这与我通过窗户看世界没有本质区别。73.在视觉空间中没有一个东西属于我的眼睛，也没有东西属于他人的眼睛。仅有空间本身是不对称的。74.我的身体在视觉空间中的特殊地位仅仅起因于其他感觉，而不是起因于某种纯粹视觉。75.孤立的“视觉”现象的时间是我们日常物理学表达方式的时间吗？我想像我的视觉空间中的变化是有节奏的，并且和节拍器的

15、拍打在时间上是合拍的。这样我就可以描写它，而且把这一描写同真实发生的事相比较。我的记忆出了错误吗？不，一个原则上不能被发现的错误，就不是错误。在这里，我的记忆中的时间恰恰是我所描写的时间。76.红色和绿色同时在一个地方是不可能的。什么是红和绿的混合色？不同程度的红色也是不能彼此相容的。尽管如此，我仍然可以说：“还有比这两种红蓝色中较红的那一种更红的红蓝色。”也就是说，我可以从已有中建构出尚未有的。在元句子内部不借助于真值函项也具有从一个句子到另一个句子的逻辑推导作用的结构是可能的吗？这样两个元句子可能会彼此矛盾。77.这是同完全性描述的思想相关联的。78.r（红）和g（绿）完全地填满了f（颜色

16、）这一点在我们的指号（Zeichen）中并没有显示出来。如果我们观察的不是指号而是符号（Symbol），那它肯定就显现出来了。因为符号包含着对象的形式，因此在这种形式中，就肯定会显示出“f（r）f（g）”的不可能性。79.我能并列写出某两个句子，但是却得不出它们的逻辑结果吗？人们可以说，这里的“·”有另外的含义。80.一种蓝和红的混合色，或者蓝和红的中间色，是通过与红和蓝的结构的内在联系得到的。这种内在联系是原本的。也就是说，它并不在于，“a是红蓝色”这个句子是“a是蓝色”和“a是红色”的逻辑结果。81.颜色的情况与声音或电荷的情况是一样的。始终是对一个点的或在同时间内的某一状态的完

17、全描述。但是我如何才能表达，例如，完全地描述这种颜色呢？怎么会导致相同形式的第二个句子与第一个句子相矛盾呢？两个元句子是不可能相互矛盾的。82.有关于真值函项的规则，这些规则也涉及句子的基本部分。在这种情况下，这些句子就变得更像是尺度。一个量度的规定很自动地排除了所以其他的量度。我不是用句子而是用句子系列作为尺度去衡量现实。否定的描述：没有这个尺度，也就不可能有它的零点。83.描述的独立坐标的概念。这些诸如通过“和”而相互联结的句子并非彼此独立，它们构成了一个图像并且可以检验其一致或不一致。84.每一种陈诉都取决于一定数量的尺度的调配，把一个尺度同时调到两个刻度上是不可能的。85.一切句子都包

18、含着时间，与真值函项适用于一切句子相比较，前者在我们看来是偶然的。86.句法不允许有“a是绿的，a又是红的”这样的构成，但是对于“a是绿的”来说，“a是红的”这个句子可以说并不是另外一个句子，而是同一个句子的另外一种形式。由此，句法把具有同一规定的句子联系在一起。87.一般的句子（我看见红底色上的一个圆）是一个有各种可能性的句子。这种一般性同物体的总和又有什么关系呢？因此这一意义上的一般性被纳入元句子原理。88.当我只是描述视野的一部分时，我的描述却必须包含整个视觉空间。色斑的这种形式（逻辑形式）事实上是以整个空间为前提的。89.我是否可能在一个句子中悬置一个规定而不同时详细说明悬置的可能性是

19、什么？“一个红圆在正方形中。”我究竟如何知道这样一个句子？我是否可以总是把它理解为无穷的析取式？90.一般性与否定性。“有一个不在正方形之中的红圆。”在表达“这个圆不在正方形中”这个句子时，我不能把“不”放在句子前面。与此相关联的是：为一个圆确定一个名称，这是无意义的。91.“所有的圆都在正方形中”或者只能意味着“一定数量的圆在正方形中”，或者意味着“没有一个圆在外边”。“没有一个圆在外边”这一句子是对一种一般性的否定而不是对一种否定的一般化。92.词类通过对一个词有效的全部语法规则才得到规定，如此看来，我们的语言有许多不同的种类。93.主谓形式还不是逻辑的形式。“这个盘子是圆的”，“这个男人

20、是高大的”，“这个斑点是红色的”，这些句子在形式上并没有共同的东西。概念与对象，就是谓语与主语。94.谁一旦开始进行算术，他关注的就不再是函数与对象。描述对象不能表述出什么对于对象的实际存在是本质性的。95.如果我给三个看到的、同样大小的圆起了专名不管怎样我总是（直接或间接地）指定了一个位置。“这是”这类句子的特征只在于：在所谓信号系统之外的现实以某种方式进入了符号。96.当形式和颜色变换后，还留下什么呢？因为方位是形式的一部分。很清楚，在这里“特征之载体”这一词使人们产生了一个完全的错误根本不可能的想像。97.附带提一下，一个圆的方程式就是圆的概念的符号。这就好像这里的圆心坐标相当于属于该概

21、念名下的物体。事实上，表述圆心坐标的一对数字不是物，而是表明圆的“不同性”的符号。98.给出这里并不能表明什么在这里。F（x）肯定是关于x的一种外延的描述。但是如果现在我说“这里是一个圆”，另一次又说“这里是一个球体”，这两个这里是同一种形式吗？99.数字和概念。谈论不属于同一概念的诸多对象的数目是否有意义？但是我们可以构造比如“a和b之间的项”的概念。100.数字是概念范围的图像。人们也许能够像考察一个物体一样考察概念范围，这个物体的名称只有在句子的联系中才有意义。在符号体系中作了实际的分类，而在意义中谈论的只是分类的可能性。101.在任何情况下我都可以在1+1+1+1+1+1+1的记号中区

22、分3和4。102.数字只能由式子形式来定义，而不依赖于式子的真假。把这四个苹果归结为两两相加的可能性涉及的是意义，而不涉及一个式子的真实性。103.PM表示法中的命题（A）能够给出5+7=12的意义吗？但是如果我不知道，右边括号中的数目记号是由左边两个括号中的数目记号相加而得出的，那么，我究竟如何得出右边括号中的数目记号？104.使我们知道5条线和7条线恰好合成12条线的，始终只是对结构的内在关系的认识而不是逻辑的思考。105.外延是一个句子之意义的特征。106.除了算术范式以外，A所包含的只能是范式的应用所必需的东西。但是，根本没有什么对此必需的东西。107.能够得出3+2=5的，不是对概念

23、的探讨；就像不能从概念的思考中得出，A是重言式。数必须具有我们表述它们的方法的性质。108.算术是数的语法。109.数学的每次运算都是它本身的一次应用，也只有作为数学运算才有意义。由此也就不必在这里谈论逻辑运算的一般形式。算术是一种更一般的几何学。110.同时，人们感到奇怪，这些数字能离开它们的定义而运作得如此正确；这同几何学的内在无矛盾性相联系。算术应用的一般形式似乎可以这样表述，即“对此什么也没有说。”111.算术的结构同几何结构一样是独立的，因此它们本身保证了其可应用性。112.如果纸上的三条线是3的指号，那么人们就可以说，这个3的用法像三条线的用法一样。（参见第78条。）113.关于一

24、个概念之范围的数字说明是一个命题，关于一个变量之范围的数字说明却不是命题因为对一个变量之范围的数字说明我可以从其本身得到。114.我是否以知道房间里有6个人的相同方式知道3个要素有6种排列呢？不是，所有后一个命题与前一个命题是不同的类型。115.数字说明并不总是包括一般性和不确定性。例如：“我看见3个同样大小的圆等距离排列。”不确定的似乎是：我知道，三个物体具有特征E，但却不知道是哪些特性。这里，说我不知道是哪些圆，则是荒谬的。116.没有“纯色”的概念。排列的情况与此相类似。当人们说，AB有两种排列时，这听起来就像是人们作出了一个一般的陈述。但是“可能有两种排列”这一句子的含义，并不少于AB

25、，BA范式的含义，即说出比后者更一般的东西。它们不是一个概念的延伸，它们就是概念。117.“4要素有多少种排列？”是一个数学问题，正如“25×18等于多少？”一样。因为存在着一种解答两个问题的一般方法。118.在罗素的理论中，只有实际的对应才表明两个集的“相似性”。而不是对应的可能性，因为这种可能性恰恰存在于数目的相同之中。119.3个圆同两个十字一一对应的不可能性具有何种类型？说度有这个或那个数，这是无意义的，因为数是度的一种内在特性。120.拉姆塞把符号“=”解释为：x=x是重言式，x=y是矛盾，那么符号“定义”同“=”又有什么关系呢？人们只能把数学方程式同意义完整的命题相比较，

26、而不能同重言式相比较。121.一个方程式就是一个句法规则。符号规则可以理解为命题，但并不是必须把它理解为命题。“异质的”矛盾。122.一个数学论断的一般性，不同于已被证明的命题的一般性。一个数学命题就是对一个证明的提示。一般性，只有当它即变量的一切值被完全确定的时候，才有意义。123.我用与把握一条无终点的线路不同的方式把握一条无限的线路。关于这条线路的命题不能通过无止境地想像的前行来证明，而只能一步证明。124.逐渐地把握全体数不仅“对我们人”而言是不可能的，而且是无意义的。整体只能作为概念而存在。125.通过逻辑概念（1，+1）给定某对象物的存在这一事实表明，概念决定对象物的存在。其基础不

27、过是一种运算的重复。1的三次相加产生且等于3。126.现在看来，对数的一般性表述似乎是无意义的。127.如果一个命题不通过任何有限的结果而成为真的，这等于说，它不通过任何结果而成为真的。因而它不是一个逻辑的结果。128.我是否能够知道，一个数字满足方程，而不必为这个数字在无限序列中的出现限定某个有限范围？129.一个涉及所有命题或所有函数的命题是不可能的。数学的普遍性通过归纳得到说明。130.狄得金德（Dedekind）对无限性概念的解释中的错误（圆圈）在于形式内涵中对“所有”这一概念的应用。与我们所意指的东西真正相符的不是一个命题，而是从x到x的结论如果这个结论成立的话但是这个结论不是通过一

28、个命题表述的。131.欧几里得几何的一般性。奇怪的是，对一个三角形适用的就该对所有其他的三角形都适用。然而，证明的构思又不是实验，而是，对这一构思的描述就足够了。凡是被论证的东西，都不可能通过一个句子来表述。132.“有朝一日，世界将毁灭”等于什么也没说，因为这与世界在任何既定的一天里还存在相一致。“在的展开中3.1415后面紧跟着多少个9？”如果这个问题与延展有关，它就不具有我们所感兴趣的问题的意义。（“把握一条无限的直线的方式不同于把握一条无终点的直线。”）133.应用简单原理的困难使人对这些原理本身产生了迷惑。134.“我看到直尺从切线t1向t2的运动，因而我也一定在t中看到这把尺”。如

29、果我在这里似乎是从一个普遍的命题推论一种特殊的情况，那么这一普遍性命题的来源就不是经验，这一命题实际上也不是命题。135.“我们只能从描述中认识无限性。”那么存在的也只是这一描述，别无他物。136.对于无限的表示是否以无限的空间和无限的时间为前提？据此，这样一个假设的可能性似乎必然预先存在于任何地方。肉眼可见的最小差别的问题。137.如果我不再能够在可视范围内划分线段，那么我也不可能进行这种划分的尝试，因此也就不可能目睹这样一种尝试的失败。我们视野中的连续性在于，我们看不到间断。138.作为对事实之体验的经验给我以有限性；对象则包含无限性。当然这并非指一种同有限之体验相竞逐的量的大小，而是指一

30、种内在性。（无限的可能性不是量的大小。）空间没有延伸，只有空间之对象才能延伸，但是无限是空间的一种特性。139.无限的可分性：每个关于部分的有限数是可想像的，但无法想像一个关于部分的无限数；然而恰好就在其中却存在着无限的可分性。一块斑点在视觉空间中可以被分成3部分，意味着，表述这样一块被分之斑点的句子有意义。与此相反，无限的可分性并不意味存在着一个描述可分成无限多部分的线段的命题。这种可能性并非凭借符号的现实性来表现，而是通过符号本身的其他形式的可能性来表现。140.时间现在就在自身中包含整个未来的可能性。人的运动空间如同时间一样是无限的。141.关于数制的规则例如十进位制包含着有关数的一切无

31、限的东西。所有这一切归诸于现实性和可能性的句法。m=2n内含了把每个数与另一个数对应的可能性，但是它并没有把所有数与其他数对应。142.“这一方向上可能有3样东西”和“这一方向上可能有无限多的东西”这两个命题只是看起来是同样构造，但是事实上它们具有不同的结构。也就是说，第二个命题中的“无限多的”并不发挥第一个命题中的“3”的作用。143.空洞的无限的时间只是那刚成为现实性的事实的可能性。如果存在一种无限的现实，那么也就存在着处于无限中的偶然。例如，因此也可以说存在着不是通过规则而产生的无限的十进制数。无限性内在于时间之本性中，它绝非时间的偶然的延伸。144.无限的数列仅是有限数列的无限的可能性

32、。符号本身中只存在可能性而不存在重复的现实性。数学不能去尝试谈论其可能性。如果数学试图表述其可能性，亦即如果它把可能性与现实性相混淆，那么人们就会让数学退回其界限之内。145.无规律的无限小数。“在一个人无止境地投掷的情况下所产生的数字”，这看起来是无意义的。一个无限的树列。如果有一个法则，树高都是按这个法则而变化，那么这个树列就是由这个法则所确定，并且可以通过这个法则来设想。如果我现在设想可以有一个无规律的序列，那么我对这个序列的本质所能了解的无异于我对其一无所知。146.乘法原理。人们在诸集中的一种有限集的情况下可以确实地产生出一种选择。但是，在无限多分集的情况下，我只能认识一种选择的形成

33、规则。在此，这种无限性仅仅内含于定律之中。147.导致我们相信也许存在无限多东西的因素仅仅是，我们将物理事物同认识因素相混淆了。对“斑点位于a和b之间的任意一点”的分析：这里并没有表述该位置的无限可能性。一种无限假说的假象，在这里人们把物质的部分与简单的物体相混淆了。可被想像为无限增加着的东西是事物按照其无限可能性形成的组合，但永远不是事物本身。148.尽管我们不知道如何去证明某个命题，但可以问“这个命题可以证明还是不能证明”。人们不可能有逻辑计划地去求索自己所不了解的那种意义。命题必然通过其意义表明，我们应该如何证明这个命题是真实的还是虚假的。149.对这种适用关系的证明似乎是这样一种证明，

34、它并不得出命题，而是指出了一种方法的形式，据此我们能够检验这个命题。150.我对一般（代数）命题能像对3×3=9或3×3=11这种等式那样或给以十分肯定或不予肯定。一般性的解答方法本身就是一种对方程式本性的理解。在单个情况下我又是只看见规则。“这方程式得出a”表明：如果我根据一定规则变换这个方程式，我将得到a。但是对我来说这些规则必须是在“得出”这个词有所指并且这一问题有意义之前就已经给定了的。151.在数学中，只有在答案是“我肯定能计算出来”的地方，才可以发问。“这个方程式有多少个解”这一问题是掌握解方程的一般方法。而这正是数学中的一个问题所意谓的东西，这就是：掌握一种一

35、般方法。152.只有当我看见“圆规和直尺”体系被包容进了一个更大的体系，在该体系中这个问题有了一个意义的时候，我才能问，角的三等分是否可能。确定一种计算的规则体系，也就由此确定了这种计算符号的“意义”。如果我改变了规则，那么我也就改变了形式，即意义。在数学中不能一般地谈论体系，而只能在体系中谈论。153.数学证明是对数学问题的分析。说“p是可证实的”，这是不够的，而要说：“可以根据一个确定的体系加以证明。”“理解p”意味着理解它的体系。154.我可以问“这一方程有哪些解”，但我却不能问“它有解吗”。不可能发现适用于我们所熟悉的形式的新规则。“p适合于全体数尽管并非必然这是可能的”这一句子是无意

36、义的。因为在数学中“必然”和“全体”是一回事。155.新体系的发现（例如舍费的发现）。人们不能说：所有这些结果，我早就已经有了，现在我只是找到了一条通向所有结果的更好的途径。这条新途径构成了一个新体系。156.数学中的解结。只有当清楚地看到结的结构的时候，才可以谈得上真正地尝试去解结。157.人们不能写数学，而只能做数学。假设，我偶然碰上了一个正确的五角形构建方法。但是，如果我不理解这种构建，那么这种构建对我而言还完全不是一种五角形的构建。我能这样做的方式就消融在我所理解的东西之中。158.过去不为人知而现在已被知晓的联系所在的地方，过去并不是一块空白，一个现在已被填满的空缺。归纳法：如果我能

37、认识螺线的规律，那么在许多方面，这就像是我认识了螺旋纹的整体一样。但不是完全类似这就是全部。159.全体质数是否有一个有限数目，这是一个问题吗？我能够写下质数的一般形式吗就好像比如：“除以更小的数得出一个余数”那么也就不存在有“多少”质数的问题了。但是，在我们掌握某种严谨的表达方式之前，我们可能就有“质数”这个词了，因此人们就可能错误地形成这样的问题。只是在我们的文字语言中才存在着数学中“尚未解决的”问题。160.无矛盾性的证明对于公理应用来说不可能是本质性的。因为这些是句法定理。161.极地探险和数学探索。在数学中，如何可能产生推测？我可以提出关于质数之分配的假说吗？那么我承认哪种类型的证明

38、适用呢？我不能推测证明。即使提供了证明，它所证明的也不是所推测的东西。162.舍费的发现。诸体系并不是在一个空间中，因此我似乎可以说，存在着带有3个和2个逻辑常数的诸多体系，现在我又力图以同样的方式来减少常数的数量。数学命题仅仅是整个证明体系的直接可见的外表，但这一外表却事先就限制着证明体系。163.结合律的证明？作为一个体系的基本规律是不能被证明的。通常的错误就在于把证明之应用的延伸与它原本所包含的东西相混淆。能否证明，通过(1+1)+1等等的形式的加法总是不断产生这种形式的数字？证明在这种规律之中，也就是说在定义之中。而不在任何其他地方。164.递推证明不过是对任意特殊证明的一种一般引导：

39、在这一序列上前行的一般形式。它的一般性不是那种所期待的一般性，而在于人们可以重复这种证明。我们从那个证明中所得到的东西是根本不能用一个命题来表示的。165.结合律的正确表达不是一个问题，而恰恰是这个命题的证明，这种证明并不是对法则作断定。我知道，特殊方程是对的，就像是我由始至终地把它引导出来一样。这样，它就被实际地证明了。一条螺纹加上给定的方程式的数字形式，就足够了。166.人们说，归纳是一种符号，表示这个或那个对全体数适用。但是归纳并不是某种不同于其本身的东西的符号。比较一下真正命题中的一般性与算术中的一般性。真正命题中的一般性是通过另一种方法来证明的，因而它是另一种一般性。167.归纳法并

40、不证明代数命题，但是归纳法从应用于算数的立场出发来论证代数方程式的列出。这就是说，代数方程式通过归纳才获得其意义，而不是由此获得其真理性。归纳与代数命题的关系不像证明与被证明物之间的关系，而是像被表示之内容与符号之间的关系。168.如果我们问“a+(b+c)=(a+b)+c对吗？”我们想表达什么意思？代数命题并没有说出一般性，而是，这种一般性表现在针对替代的形式关系中，这种替代作为归纳法序列中的环节而出现。169.每一个a×b=c形式的算术等式或它的反面都可以得到证明。这种可证明性的证明是一种归纳法的提示，这种归纳法使人们能看清这个梯子所导向的那些命题是什么类型的。170.集合论认为

41、，真正无限的东西不可能用算术符号体系来表示，它只能描述而不能表示，就像人们可以谈论一种结构，而不必用命题本身来表达它。这种方法如此处理每一个概念，以至于使它的形式消失了。171.一个函数的持续性的所有证明都必然要涉及到一种数制。主要在函数运算中表现出来的数字阶梯，是不会在一般性的观察中消失的。持续性是否可以被描述？一种形式不可能被描述而只能被表示。172.“一条曲线的最高点”并不意味着“这条曲线上所有点中的最高点”。同样，一个函数的最大值不是所有值中的最大的值。而是，我可以构造最高点，也就是说，从一个规则中得出它。173.当仅以前行中的无限可能性为前提时，“（n）”这一表达才有意义。布劳威尔（

42、Brouwer）。狄得金德式划分的解释，好像它是直观的：或者R有最后一节，L有第一节，或者其他等等。实际上这些情况中任何一种都无法想像。174.集合论（Mengenlehre）是建立在假设的符号体系亦即谬论之上的。就好像在逻辑学中有一些我们不可能知道、但又是可知的东西。当人们（如布劳威尔）说，在(x) ·x=x这种情况中除了是和否以外还存在着不可判断的情况，这就意味着，“(x)”被理解为延伸的，而且所有的x可能碰巧具有一个特性。175.假如我们按照罗素的意思把“x=0这一方程的根”视作一种描述，那么用句子“x+2=6这一方程的根”所表述的意思肯定不同于说等于4这样的句子。176.单纯

43、内在的一般性怎么能由于一种个别情况（即某种外在的东西）的出现而被驳斥呢？但是特殊情况对一般命题的驳斥是出自内部它反对内在的证明x²=x·x和x²=2x这两个方程之间的差别并不是其正确度的差别。177.在平面上的一个点通过一个数对来表示，在三维空间中的一个点通过一个三数聚合来表示，这已经表明，这里所表示的对象根本不是点，而是点的集合。178.作为句子句法的几何学涉及的是空间中的物体。在视觉空间中排列成行的东西，是先验地亦即按其逻辑本性处于这种秩序之中，几何学在这里简单地说就是语法。物理学家在物理空间的几何学中使之相互发生关系的东西就是仪表读数，这种仪表读数按其内在本

44、质都是不变的，不管我们是生活在一个直线空间还是生活在一个球体空间。179.我可以通过按照投掷硬币所示结果不断取半的方法无限地接近一条直线上的任何一个点。我是否能够以类似于根据投掷结果（头像或鹰）把0和1写成一个无限的二元小数的方式，把有理数分为两类？通过投掷的规定不可能描述出结果的规则；无限的不确定性并不决定数。180.是否可能在规定中从规则进行抽象，并且把延伸看做是被表述的本质的东西？假设我在不存在有理数的地方切断，那么肯定有一个这个切点的近似值。但是趋近谁？在数的领域内暂时还没有一个我可以趋近的东西。一条线上的所有点实际上可以通过算术定律来表达。在通过连续等分求近似值时，人们通过有理数来接

45、近每个点。181.说无理数是整体的，对此有什么标准？每一个无理数都沿着一个有理近似值序列前行，永远不会离开这个序列。如果我有除了以外的所有无理数的总体，现在把填入，我却不可能给出一个点是真正需要填入的，在每个点上都有一个伴随者。这清楚地表明，无理数不是一个无限小数的延伸，而是一个规则。如果是一个延伸的话，我们就永远不会经过我们永远不可能发现一个空缺。182. 2：带有一个例外的规则。必须先有数字规则，然后在数字规则中表达比如一个根。但是数序的这种表达只有在它是一个实数表达时才有意义。假如我们后来再去改变它，那只会把表达搞乱，却不会得出一个新的数字。183.假如2确实有什么意义的话，那就是与2完

46、全一样，只不过是另一种表达方式；在另一种系统中表达。2在处于一个系统中之前并没有固定值。对于2人们不能说，它是这个数序值的极限，就像我们不能说，投掷的规定是投掷结果的极限。184.人们可以应用规则，这一点也同样适用于投掷数字的规则，把与此相区别的只是在于，我们知道肯定存在着一个规则，按此规则在中会出现数字7，即使我们还不知道这一规则。暗示着一个未知的规则。185.接近一个值，只有一个规则。186. 这个字母代表一个位于算术空间的规则。而却并没有应用算术表达方式，因而它没有为规则指出在这一空间中的位置。因为用3代替7并不给法则补充任何内容，而且在这一体系中根本不是算术运算。187.为了确定一个实

47、数，必须有一个自身完全可理解的规则。也就是说，不允许在本质上不能判断：它的某个部分是否可以缺少。假如两个规则的延伸完全一致，我无法对这样的两个规则进行比较，那么这样定义的数就是无法比较的。188. 的展开同时是的本质及十进位制本质的表达。算术运算使用十进位制只是作为达到目的的手段。它可以翻译成任何一种其他数制而又不把任何一种其他数制语言作为其对象。一种一般运算规则通过它所引起的数的变化的一般性而获得其一般性。把十进位制作为其对象，因此现在仅能在延展的构成中应用十进位制已经不够了。189.除了费马规则不起作用的数字以外，p以一个规则穷尽全体数的序列。这一定律对实数其决定性作用吗？数F要利用螺线而

48、且按照一个原则来选择这一螺线的圈数。但是这一原则却不属于螺线。已经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。190.这里我们一再碰到人们可以称作“试算”的东西。质数也就是这样在寻找质数的方法中作为一次试算的结果而出现的。我是在定律中而不是在所得出的数之中认识了一种规律。191.数必须自己本身有比较。它如果不是自己有比较而只让有理数有比较，那么我们就不需要它。原来的展开是与一个有理数的比较从规则中引发出来的。192.实数可以同无线螺线的假定相比较，相反像F、P或等结构却只能与一条螺线的有限部分相比较。193.为了将有理数同2相比较，我必须求出它们的平方。于是它们

49、得到了a的形式，a在这里是一种算术运算。写进这样一个体系，有理数就可以同2相比较了，而且我觉得好像螺线在这里被压缩为一个点了。194.在以递归代替定义的地方试算仍然是可理解的吗？不，因为通过递归对每一个阶段从算术上都可以理解。195.证明a大于b，却不能证明这一差别是在什么地方表现出来的，这是不可能的。1.4它是2的根吗？不，它是1.96的根。这就是说，我可以立刻把它作为2的近似值写下来。196.如果某实数是有理数a，那么它的规则同a的比较必会得出这一点。也就是说，这一规则必须具有如下性质，即当它到达相应位置时，可以说也就与有理数相合了。例如，不可能发生这样的事情，即不能确定25是否真的到5止

50、住。197.如我所知的这样一条可以停顿在一个有理数点上的螺线，我能把它也称为一个数吗？缺少同有理数相比较的方法。展开到不确定之中，这不是方法，虽然这种展开会导致一个比较的结果。198.如果F同一个有理数相比较的问题没有意义，因为全部展开仍然没有给我们一个答案；那么在人们试图碰运气通过延展去判断这件事之前，这个问题也是没有意义的。199.不仅有必要能够说出一个已知的有理数是否就是实数，而且也有必要说出这个有理数与实数可能相距多远。这个距离的量级。小数制中的展开没有告诉我量级，因为我未能知道，诸如在一个展开到的小数位之后会有多少个9跟随。“e不是这个数”不说明任何问题，而必须说“离这个数至少还有这

51、段距离”。200.我们对于算术中的否定的兴趣看来只在于与一般性的联系。不可整除性和不等式我不写“(5×5=30)”，而写5×530，因为我并不是要否定什么，而是要确定5×5和30之间的一种关系（也就是某种正面的东西）。相类似的是，当我排除可整除性时，这与确定不可整除性的等同的。201.有些东西激烈反对有关被排除的第三种情况的命题在数学中的应用。寻找质数的规律。人们企图用质数的肯定标准去代替否定标准。但是这种否定不是逻辑中的否定，而是一种不确定性。等式的否定与句子的否定是如此相似又是如此不同，就像等式的肯定与句子的肯定一样。202.凡是在否定基本上相当于一个选言判断

52、或者相当于为了另一个逻辑顺序而排除某一逻辑顺序一部分的地方它在那个地方就必须与那个逻辑形式相一致，这样一来就仅仅是表面上的一个否定。203.然而，那些通过不等式所表达的东西，与通过等式表达的东西有着本质的区别。这样，人们就根本不可能把得出一个小数数位、并且进行不等式运算的规则同进行等式运算的规则作直接的比较。这里，我们有着完全不同的方法，因此有着不同种类的算术结构。204.人们能借助于质数定义无理数吗？就人们能够预见的质数而言，是可以的，此外是不行的。205.人们能说较小的斑点比较大的斑点简单吗？看起来，就好像人们不能把一个单色斑点看成组合的。较大的几何结构并不是由较小的几何结构组成的。“纯几

53、何图形”仅仅是逻辑的可能性。206.说“一个均匀的红色平面的这一部分是红的”是否有意义，这取决于是否有一个绝对的场地。我能够确定视野中一个场地的同一性，否则我就不能区分，一个斑点是否一直留在同一个场地。在视觉空间中有绝对位置，绝对方向，因此也有绝对运动。如果不是这样，那么在这种情况下谈论相同或者不同的地点就是毫无意义的。这表明了我们视野的结构：因为结构的判断标准在于，哪些命题对结构有意义。207.我可以说“我的视野的上半部分是红的”吗？并不存在居于一种颜色和一个地点之间的“所处”关系。208.在我看来，视觉空间结构中的距离概念是直接获得的。在视觉空间中测量。当组成部分的数目不同时（却看到）长度

54、相同。我能肯定我所数的数确实就是我所看到的数吗？209.假如人们不能说，在a和b中有同样数目的组成部分，那么我该如何来描写这个视觉图像呢？“模糊”和“不清楚”是相对的表达。假如我们确实看到a和b中有24个和25个部分，我们就不能把a和b看做是相等的。“同样”这个词对于视觉空间来说也是有意义的，而这个意义又证明以上表述是矛盾的。210.关键在于，当我们把欧几里得空间的推论方法应用到视觉空间时，必须把某些矛盾解释清楚。其原因就在于，例如，我们只看到这个结构的各个环节，却看不到作为整体的结构；不存在有这些单个视觉部件组成的视觉结构。211.人们一旦要把精确的测量概念运用到直接体验上，就马上会遇到直接

55、体验中所特有的模糊性。“大约”、“大概”等词当然只具有相对的意义，但是这些词是必要的，它们说明了我们的体验的本性。沙堆问题与欧几里得几何学中的视觉圆相对应的并不是一个圆，而是一个图形集。这里看起来要对不精确性作精确的界定是不可能的。人们要用一堵墙来隔开一个沼泽地，但是墙不是沼泽地的精确界线。212.视觉空间和欧几里得空间之间的关系。假如一个圆确实是我们所看到的东西，那么我们肯定能够看见它，而不仅仅是看见某种与它相类似的东西。如果我不能看见一个精确的圆，那么在这个意义上我也不可能看见一个近似的圆。213.我们需要新概念，我们总是不断采用物理语言中的概念。例如“精确性”。如果“我看见的不是一条清楚

56、的线”这句话是对的，那么一条清楚的线是可以想像的。如果“我从未看见一个精确的圆”这句话有意义，那么这就意味着，在视觉空间中一个精确的圆是可以想像的。“一样”这个词在完全不同意义上的使用。对视野边缘附近的色斑的描述。很清楚，那种不清晰性正是视觉空间的一个内在特性。214.视觉空间中有哪些区别？人们把物理界的百角形视作圆，这一事实并不是说有看见百角形的可能性。谈论一个视觉中的百角形是否有意义？215.我是否可以说“我也许会看见一个精确的圆，但我永远不可能知道这一点”？只有当人们能够确定，在什么样的情况下可以说某个测量比另一个更精确时，才能这么说。说圆只不过是一个理想，现实只能接近它，这是毫无意义的

57、。但可以是这样，我们把一个无限的可能性本身称为圆。就像对待一个无理数那样。那么测量的不精确性是否与视觉图像的不精确性是同一概念？肯定不是“看来是”和“表面现象”是模棱两可的：在一种情况下它是测量的结果，在另一种情况下它是另外的表面现象。216.“感觉事实”包含着这样的看法：既然说到“出现一棵树”，那么或者是我们把某个就是树的东西看做一棵树，或者把某个不是树的东西看做一棵树。但这种联系是存在的。217.人们可以尝试给出“视觉空间的正确映象”吗？不能把现象的模糊性转译为画的不精确性。视觉空间不是欧几里得的，这一点已经表明了两种不同的线和点的存在。218.简单的颜色作为心理学现象很简单。我需要一种纯粹现象学的颜色论，在这种颜色论中只论及真正可以感觉到的东西，而不出现假设的物体波、细胞等等。我能找到一种颜色格率学吗？说一种颜色从其所含红色的量来说处于另外两种颜色之间的中间，这有意义吗？219.在某种意义上，橙色是红与黄的混合色，在这种意义上，虽然黄色处于红和绿之间的区域内，它却不是红与绿的混合色。如果我想像青绿和黄绿之间的混合，我就会看到，这种混合根本不可能出现，而是必须先把一个组成部分除掉。220.“颜色A与颜色B之间的混合”这一表述的含义一般来说我是