简单的三角恒等变换(一）

1、简单的三角恒等变换(一)一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值.二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用.三、教学过程：(-)主要知识：三角函数式的求值的类型：(1) “给角求值"：给出非特殊角求式子的值。(2) “给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。(3) “给值求角转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。(4) “给式求值给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响， 对角的范围要讨论(二) 主要方法：1. 寻求角与角之间的关系，化非特殊

2、角为特殊角；2. 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3. 常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等.(三) 例题分析：例 1、计算 sin 40°(tan 10°-v3)的值。点评“给角求值”观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。注意特殊值 象1、厅等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。练习:tan20° +4sin20°例 2、己知 sin弓x) = & 0<x£,a cos2x求cos(+ x)4的值。点评“给值求值”角之间的关系:z 71、

3、 z 71、71 71 兀 、（二_工）+ （二 + "）=二 及；_2x = 2（ _x）, 44224利用余角间的三角函数的关系便可求之。练习：设 cos（a _§） = _；, sin（号-仞号，且2271例 3、若q,/?e(0,/r), coscr = - ,tan” = 一一，求 a+2 6。 a/503点评“给值求角求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时, 要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。练习:己知a, b为锐角，tana=l/7 sin眼普求2a + b的值例 4、己知sin

4、(4 +/?) =,sin(力_/?) =，,求 tana :tanb 的值。3点评“给式求值”：注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。练习:己矢口 sin a +sin b = in, cos a +cos 3 = n (mnto).求(l)cos( a - p ) ； (2)sin(a+b)；(3)tan( a + 0 )（四）达标练习l下列各式中，值为捉是（）a.sinl5° cos 15°兀b.2cos2 1c.1 + cos 30°2d tan 22.5°"1-tan2 22.5°2.设 6f=sinl4° +c

5、osl4° , z?=sinl6° +cosl6° , c=-,则。、6b.a<c<bd.b<a<ca.a<h<cc.b<c<eib、c的大小关系是3.若/ (tanx) =sin2x,则/ ( 1)的值是(a. sin2b.-ld.l4若 cos 3,且 e (0,：),则咛d.lb.-l5、tan 70° cos 10°(>/3 tan 20° -1)等于(b、2a、1c、d、一26. （2005年春季北京，ii）已知sim+cos'号，那么血。的值为cos2。的值为7

6、.若 8« +兀a ) cos ( 。)=1,贝lj sin4 a +cos4 a =48.若 taar= v2 ,2 cos2 -sinx - 1 则一二sinx + cosx9.已知 sm ( x) =， 0<x< , 求的值.4134兀 、cos( + x)410. （2005年北京西城区抽样测试）已知sin2a = - ,(,).542(1)求cos a的值;（2）求满足血（n（ 5 +2e=-*的锐角简单的三角恒等变换（一）答案例l原式祯40。(、-、)祯时_s”。cos 10cos 60cos 10 cos 60 sin 80°2cosl0°

7、; cos60。练习：原式或20°+2，吊40。2sin30°cosl0°+sin40。sin80°+sin40。cos20°cos20°cos 20 °2sin60°cos20°cos 20°7171.一， cos( 一 +x)=sin( 一 -x)24471i4 ，tt7t例 2【解法 1j : (x) + (h x)44兀兀兀兀乂 cos2x=sin( -2x)=sin2( -x)=2sin( -x)cos( -x)2444cos2x71=2 cos( -x)=2 ,12 _ 24 c。&

8、quot;4【解法 2】cos2x = cos x-sin x = (cos x + sin x)(cos x - sin x)v2 sin(x + )cos(x + )442sin(x + )cos(r + )44_ = 2sin( + x)cos2xcost + x)4 下同解法1。cost+ x)4练习5 号 5- )7际zf239729对角的范围要讨论.，.cos(a+8)= 2oc + (3 cos 乙一_例 3：a./3 g (0,4)，cosa =t=v50 tan。= -| e (一乎0), tan； e (乎0),5 yr5ti/ a, p e (,兀)，a +2 6 c (

9、,3),6 2又即2片卫吗-=-tan(a + 2/?)=主心也玄=-1,1 - tarr /?41 - tan cr tan 23a+2 3 =2,jt练习：由已知。25项，求得c°s(25) = e或tan(25)=l.得25=彳sin a cos b -cos a sin b =1/3(2)例 4：由已知，sin a cos 8 +cos a sin b =1/2(1),(d+得tana : tan b =5:1练习：两式平方相加得：2+2 (cos a cos b +sin a sin b ) =m2+n222ncos(a /?)=-1-c a + /?a-b2sin cos

10、-22(2)sin a + sin j3cosa + cosy? c a + /? a- p 仁 2cos cos2由万能公式:2竺sin( a + b ) =rzmy2mn2 22 (3)tan ( a + b )='m、22mnn2 -m21-达标练习:15 dbbcd68、2v2-39 解：.3r) + (&)=,/.cos ( -+x)=sin ( - x).44又 cos2x=sin ( 2x)2=sin2 (- x) =2sin ( - x) cos (-444cos2x =2cos (-x) =2x11 = .ck + x)41313410解：(1)因为买v q v丑，4