七年级下册数学培优资料1第五章 相交线与平行线 教师版

1、七年级下册数学培优资料第5章 相交线与平行线例1如图(1)，直线a与b平行，1(3x+70)°,2=(5x+22)°,求3的度数。解：ab，34（两直线平行，内错角相等）1+32+4180°(平角的定义)12 (等式性质)则3x+705x+22解得x=24 即1142°3180°-138° 图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例2已知：如图(2)， abefcd，eg平分bef，b+bed+d =192°，b-d=24°，求gef的度数。解：abefcd b=bef，def=d

2、（两直线平行，内错角相等） b+bed+d =192°（已知） 即b+bef+def+d=192°2（b+d）=192°（等量代换）则b+d=96°（等式性质）b-d=24°（已知） 图(2)b=60°（等式性质） 即bef=60°（等量代换） eg平分bef（已知）gef=bef=30°（角平分线定义）例3如图（3），已知abcd，且b=40°，d=70°，求deb的度数。解：过e作efababcd（已知）efcd（平行公理）bef=b=40° def=d=70°（两直线平

3、行，内错角相等）deb=def-bef deb =d-b=30° 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例4平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2条直线产生1个交点，第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；则n条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例56个不同的点，

4、其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例610条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两

5、点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域； 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域推广：n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)块不同的区域思考：平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？直线的条数345.n对顶角的对数61220.n(n-1)邻补角的对数122440.2n(n-1)例7两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻

6、补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练习1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条a6b 7c8d92平面上三条直线相互间的交点个数是（）a3b1或3c1或2或3d不一定是1，2，33平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）a36条b33条c24条d21条4已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ） （a）9 （b）10

7、（c）11 （d）125若平行直线ab、cd与相交直线ef、gh相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）a4对b8对c12对d16对6如图，已知fdbe，则1+2-3=( )a90°b135°c150°d180° 第7题 7如图，已知abcd，1=2，则e与f的大小关系 ；8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还有 交点9平面上3条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知abcdef，psgh于p，frg=110°，则psq 。11已知a、b是直线l外的两点，则线段ab的垂直平分线与直线的交点个数是 。12平面内

8、有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，decb ，求证：aed=a+b14已知：如图，abcd，求证：b+d+f=e+g第13题 第14题15如图，已知cbab，ce平分bcd，de平分cda，edc+ecd =90°，求证：daab16一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？答案1 5个点中任取2点，可以作4+3+2+110条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+13条，共可作10-3+18（条）故选c2平面上3条直线可能平行或重合。故选d3对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线

9、共有9条不重叠的线段对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。故共有21条不重叠的线段。故选d4由个点中每次选取两个点连直线，可以画出条直线，若三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若四点不在一条直线上，可以画出6条直线， 整理得 n+90 选b。5直线ef、gh分别“截”平行直线ab、cd，各得2对同旁内角，共4对；直线ab、cd分别“截”相交直线ef、gh，各得6对同旁内角，共12对。因此图中共有同旁内角4+616对6fdbe2=agfagc=1-31+2-3=agc+agf=180° 选b7解：abcd （已知） bad=

10、cda（两直线平行，内错角相等） 1=2（已知）bad+1=cda+2（等式性质） 即ead=fda aefd ef8解：每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+16个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-3015个9可分7个部分10解 abcdefapqdqg=frg=110°同理psq=apspsq=apq-spq=dqg-spq=110°-90

11、6;=20°11 0个、1个或无数个1）若线段ab的垂直平分线就是l，则公共点的个数应是无数个；2）若abl，但l不是ab的垂直平分线，则此时ab的垂直平分线与l是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；3）若ab与l不垂直，那么ab的垂直平分线与直线l一定相交，所以此时公共点的个数为1个124条直线两两相交最多有1+2+36个交点13证明：过e作efba2=a（两直线平行，内错角相等）decb，efba 1=b（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=b+a（等式性质）即aed=a+b 14证明：分别过点e、f、g作ab的平行线eh、pf、gq，则abehpfgq

12、（平行公理）abeh abebeh（两直线平行，内错角相等）同理：hefefppfgfgqqgdgdcabe+efp+pfg+gdcbeh+hef+fgq+qgd（等式性质）即b+d+efg=bef+gfd15证明：de平分cda ce平分bcdedc=ade ecd =bce(角平分线定义)cda +bcd=edc+ade+ecd+bce=2（edc+ecd）180°dacb又cbabdaab18 直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19条直线 如图，已知直线l1l2，直线l3和直线l1、l2交于

13、点c和d，在直线cd上有一点p（1）如果p点在c、d之间运动时，问pac，apb，pbd有怎样的数量关系？请说明理由（2）若点p在c、d两点的外侧运动时（p点与点c、d不重合），试探索pac，apb，pbd之间的关系又是如何？问题1： 如图124所示a1+a2=b1，问aa1与ba2是否平行？问题2： 如图125所示若a1+a2+an=b1+b2+bn-1，问aa1与ban是否平行？这两个问题请同学加以思考例3： 如图126所示aebd，1=32，2=25°，求c分析： 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如1=dfc或afb若能将1，2，c“集中”到一个顶点处，这是最理想

14、不过的了，过f点作bc的平行线恰能实现这个目标解： 过f到 fgcb，交 ab于g，则c=afg(同位角相等)，2=bfg(内错角相等)因为 aebd，所以，1=bfa(内错角相等)，所以c=afg=bfa-bfg=1-2=32-2=22=50°说明：(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：1=dfc=c+2，即c=1-2=22=50°例4： 求证：三角形内角之和等于180°分析： 平角为180°若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个

15、平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种证： 如图127所示，在abc中，过a引lbc，则b=1，c=2(内错角相等)显然 1+bac+2=平角，所以 a+b+c=180°说明 ：事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法例5： 求证：四边形内角和等于360°分析： 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中，尽可能利用

16、原来的内角及边，应能减少推理过程 证： 如图128所示，四边形abcd中，过顶点b引bead，bfcd，并延长 ab，cb到 h，g则有a=2(同位角相等)，d=1(内错角相等)，1=3(同位角相等)c=4(同位角相等)，又 abc(即b)=gbh(对顶角相等)由于2+3+4+gbh=360°，所以a+b+c+d=360°说明：(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，n边形内角和=(n-2