函数单调性与奇偶性典型例题讲解

1、判断下列函数的奇偶性：(l)f(x)=xp解：(l»(x)的定义域(一如0)U(0, +8)关于原点对称. 又/(X)= (一幻 一±= 一(X= f(x),(X)是奇函数.(2)Ax) = lx+2l + lx-2l；(2)易知/U)的定义域为R，它关于原点对称，且 y(-x)= |-x + 2l + l-x-2l = lx+2l + lx-2l=/(x), 1/(x)是偶函数；x2+x, x<0©所匕+x, qo(3)当 xVO 时，-x>0, 且 f( -X)= ( X)2 X = 当x>0时，一xVO, 且 A_x) = (_x)2_X=

2、 _ 综上所述，对任意xw (一 总有/(一幻=一)(幻， /为奇函数. (x2+x)=f(x) (x2 +x) = f(x)"oo, 0)U(0, +oo),奇偶函数的图象及应用I例已知函数Ax)=三有在区间0, +8)上的图象01；3 ： -2 ： T :如图224所示，请据此在该坐标系中补全函数/(x)在定 义域内的图象，请说明你的作图依据.i - t - r i ii-i - t - r i ii一 "I _ T _ Ti l iIIIII1-1"iiiIim-TFa图 224L思路探究】 先证明A”）是偶函数，依据其图象关于, 轴对称作图.解：加尸三彳，

3、六於）的定义域为R又对任意x£R,都有.人幻为偶函数.则/（X）的图象关于y轴对称，其图象如图所示：I规律方法IL利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，画图象时，一般先找出 一些关键点的对称点，然后连点成线.2.由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y = lxl的图象.因为该函数为偶函数，故只需作出“20时的图象，对xWO时的 图象，关于y轴对称即可.娈宜训缰设奇函数/（X）的定义域为-5,5.若当5时，Ax）的图象如图2-2-5所示，则不等式/住）0的解集是图 2 25解：注意到奇函数的图象关于原点

4、成中心对称，用对称的思 想方法画全函数/（X）在-5, 5上的图象（如图），数形结 合，得A"）V0的解集为xl2VxV0或2VxW5.【答案】（一2, 0）U（2, 5类型3利用函数的奇偶性求解析式已知於)是R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=x3+x+ 1,求/(X)的解析式.解：；A”)为R上的奇函数，/(0)=0.令xV0,贝!)-x>0, x)=(x)3 x+1 = x3 x+1.又./(x)是奇函数X)= /(x) .从而=Ax)=x + 1,即 f(X)=X3+x l.：xVO 时，/(x) =x3 +x 1.x3+x1, x<0/(x)=4 0，x

5、=0.x3+x+l, x>0 工I规律方法I1 .本题在求XVO时，/（X）的解析式，用了化归的思想,即把待求"VO的范围向已知范围X>O转化.2 .如果奇函数/（X）在原点处有定义，则/（0）=0.变式：已知/（x）是（一8, 0）U（0, +8）上的偶函数，且当X 。时，/（X）=x3+x + l,求/（X）的解析式.解：当XVO时，一”>0,:一X)= ( X)3 X +1 = X3 x+1.又为偶函数，./( X)=/(x)；f(x) = X3 X +1. fx3+x+l, x>0* *f(x) Ix+1, X<0 ,典例已知/（%）是R上的偶函

6、数,在区间（0, +8）上是增函数,若有/（一方+3）/（方一1）成立，求实数a的取值范围.解：因偶函数/（X）在区间（0, +oo）上是增函数,故其图象关于y轴对称，且在区间（一8, 0）上是减函数.又/（2«+3）42. 1）成立，根据/（“）图象性质可知：I一%+313 11.两边平方得：（2a+3）2（加一 1产,整理得：88«,解aVl, 所以实数a的取值范围为（一00, 1）.请关注：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上单调性相反，在利用/（XI）与人M） 的大小关系推出XI与冷的关系时，必须要注意/与“2是否 属于同一个单调区

7、间，若不属于同一个单调区间，需要利用 奇偶性进行必要的转化，我们在解题中一定不要忽略这一点.L利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论.2.已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利 用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式.要注 意“求谁设谁”.cccccccccccccccc CC3.解含，犷，的不等式，应具备两个方面:一是能转化为/（X!）/（必）或/（X。/（孙）的形式； 二是/的单调性已知.特别是於）为偶函数时, 应把不等式加1）加2）转化为/（*1）/（电1）的形 式，利用x£0, +8）的单调性求解.当堂双基达标随堂练生生互动达“双标”交流学 习区I1.函数丁=/（外在区间2a3, a上具有奇偶性，贝! =解：由题意知，区间方一3,关于原点对称，3=a9 且加一3Va9 解之得a = L【答案】3.已知函数y=/(x)是R上的奇函数，且当x>0时,f(x)=1,则/(一2)的值为.解：.当 x>0 时，Ax)=L，A2) = 1,又/(*)是奇函数，