函数与导数专题(含高考试题)

1、函数与导数专题1 .在解题中常用的有关结论(需要熟记)：(1)曲线y f (xpizE x Xo处的切线的斜率等于f(Xo),切线方程为y f(X0)(X X0) f(X0)(2)若可导函数y f(X)在X X0处取得极值，则f (Xo) 0。反之，不成立。(3)对于可导函数f(X),不等式f (x) 0( 0)的解集决定函数f(X)的递增(减)区间。(4)函数f(X)在区间I上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0( 0)恒成立(5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程 f (X) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f (X)为二次函数且I

2、=R,则有 0)。(6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f (X) 0或 f (X) 0在I上恒成立若X I , f (X) 0 恒成立，则 f (X) min0；若X I, f (x) 0恒成立，则 f (x)max0(8)若X0 I ,使得 f (X0) 0,则 f(x)max0；若 X0 I ,使得 f(X0) 0,则 f (X)min 0.(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若 X D f (X) g(x)恒成立则有f(x) g(x)min 0 (10)若对XiI1、X2 I2,f (X1)g(X2)恒成立，则 f (X)min g(x)m

3、ax .若对XiI1 , X2I2,使得f(X1)g(X2)，则 f (X)min g(x)min .若对X1I1 , X2I2,使得f (X1) g(X2),则 f (X)max g (x)max .(11)已知f(x)在区间Ii上的值域为A, g(x)在区间I2上值域为B, 若对X1I1, X2I2,使得 f (X1) = g(x2)成立，则 A B。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f (X) 0有两个不等实根X1、X2,且极大值大 于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式： lnx x 1(x 0) ln(x+1) x (x 1) ex 1 x峰 ln x x 1 /

4、(x 1)x 12In x12x2(x0)考点一：导数几何意义:角度一求切线方程. 一兀 一1. (2014 洛阳统考)已知函数 f(x) = 3x+cos 2x + sin 2x, a=f 4 , f (x)是 f(x) 的导函数，则过曲线y = x3上一点P(a, b)的切线方程为()A. 3x-y2=0B. 4x-3y+1 = 0C. 3xy2 = 0 或 3x 4y+1 = 0D. 3x-y2=0 或 4x3y+1 = 0解析:选 A 由 f(x)=3x+ cos 2x+sin 2x 得 f' (x) = 3 2sin 2x+ 2cos 2k,则 a= f' 4=32s

5、in2c+ 2cos2= 1.由 y= x3得 y' =3x2,过曲线 y=x3上一点 P(a, b)的切线 的斜率k= 3a2=3X12= 3.又b = a3,则b=1,所以切点P的坐标为(1,1),故过曲线y =x3上的点P的切线方程为y-1 = 3(x- 1),即3x-y-2=0.角度二求切点坐标2. (2013辽宁五校第二次联考)曲线y=3ln x+x+ 2在点P。处的切线方程为4x y1 = 0,则点P0的坐标是()A. (0,1)B. (1, -1)C. (1,3)D. (1,0)解析：选C 由题意知V, =3+1 = 4,解得x=1,此时4X1 y1 = 0,解得y x=

6、3, 点P。的坐标是(1,3).角度三求参数的值3.已知 f(x) = ln x, g(x) = 2x2+mx+ 7(m<0),直线 l 与函数 f(x), g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1, f(1),则m等于()A. i 1B. 3C. 4D. 2.1解析：选D (x) = , x直线l的斜率为k= f' (1)=1,又 f(1) = 0,切线l的方程为y=x1.g' (x) = x+ m,设直线l与g(x)的图像的切点为(X0, y0),1 27 c则有 xo + m=1, yo= xo 1, yo=2Xo+mxo + 2，m<。，于是解得m

7、= 2,故选D.考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。典例1已知函数f(x) = x2 ex试判断f(x)的单调性并给予证明.解：f(x) = x2 ex, f(x)在R上单调递减，(x) = 2x-e只要证明f' (x)W0恒成立即可.设 g(x) = f' (x) = 2xex,则 g' (x) = 2ex,当 x=ln 2 时，g' (x)=0,当 x6( 一s, In 2)时,g' (x)>0,当 x6(ln 2, 十°°)时，g' (x)<0. f' (x)max= g(x)max = g(l

8、n 2) = 2ln 2 2<0, f' (x)<0 恒成立, f(x)在R上单调递减.典例2(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2 + 1(a>0), g(x) = x3 + bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，求a, b的 值；(2)当a2= 4b时，求函数f(x) + g(x)的单调区间.解(1)f (x) = 2ax, g' (x) = 3x2+ b,f 1 = a+ 1 =c,由已知可得g1 =1 + b = c, 解得a=b = 3.2a=3+b,22(2)令 F(x) = f(x)+g

9、(x) = x3 + ax2 + x+1, F' (x) = 3x2+ 2ax+ ,令 F' (x)=0,a得 xi = 2,X2=a6,. a>0,Xi<X2,由 F，(x)>0得，x< a或 x> a; 26由 F' (x)<0 得,-a<x<-a. 26单调递增区间是 一s, a, a, +s ；单调递减区间为一a, -a .2626针对训练(2013 重庆高考)设 f(x) =a(x 5)2+ 61n x,其中 a6R,曲线 y=f(x)在点(1, f(1) 处的切线与y轴相交于点(0,6).(1)确定a的值；(2

10、)求函数f(x)的单调区间与极值.6解：(1)因为 f(x) = a(x5)2+ 61n x,故 f (x) = 2a(x 5)+-.x令 x=1,得 f(1)=16a, f (1) = 6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线 方程为 y-16a=(6-8a) (x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,W 1故 a = 2.，1Cx 2 x3x(2)由(1)知，f(x) = 2(x-5)2+ 61n x(x>0),6 f (x) = x-5+- =x令 f' (x) = 0,解得 x1=2, x2= 3.当 0<x<2 或 x

11、>3 时，f' (x)>0,故 f(x)在(0,2), (3, +s)上为增函数；当 2<x<3时，f' (x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.9由此可知 ")在乂= 2处取得极大值f(2) = 2+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3) = 2 + 6ln 3.考点三：已知函数的单调性求参数的范围典例(2014山西诊断)已知函数f(x) = ln x-a2x2 + ax(a R).当a = 1时，求函数f(x)的单调区间;若函数f(x)在区间(1, +8)上是减函数，求实数a的取值范围.解(1)当 a=1 时，f(x)=ln

12、x x2 + x,其定义域是(0, +°0),f, (x) = 1-2x+1=-2， xx令 f' (x) = 0,即_2x2-xT = 0 解得 x= 1或乂= 1. x2. x>0, /. x= 1.当 0<x<1 时，f (x)>0;当 x>1 时，f (x)<0.函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1, +8)上单调递减.(2)显然函数f(x) = ln x a2x2+ ax的定义域为(0, 4 °°),1 2a2x2+ ax+1 2ax+1 ax 1.f (x) = -2a2x+a=.xxx一 .1

13、当 a= 0 时，f (x) = 11>0,.f(x)在区间(1, +°°)上为增函数，不合题意.1当 a>0 时，f (x)w0(x>0)等价于(2ax+ 1) - (ax- 1)>0(x>0),即 x4, a 1此时f(x)的单调递减区间为1. a11,由a 得an 1.a>0,1当 a<0 时，f (x)w0(x>0)等价于(2ax+ 1) (ax-1)>0(x>0),即 x>-,止匕 2a时f(x)的单调递减区间为 一"，+s.2a;1< 11由 2a 得 a< _2. a<

14、;0,1综上，实数a的取值范围是一0°, 2 U1, +s).针对训练(2014荆州质检)设函数f(x) = 3x3-aax2 + bx+ c,曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y= 1.(1)求b, c的值;若a>0,求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x) = f(x)+2x,且g(x)在区间(2, 1)内存在单调递减区间，求实数 a的取值范围.解：(1)f' (x) = x2 ax+ b,f 0 =1,由题意得f，0=0,c= 1,b= 0.(2)由(1)得，f' (x)=x2 ax=x(xa)(a>0),当 x ( s,

15、0)时，ff (x)>0,当 x6(0, a)时,f' (x)<0,当 x6(a, 十°°)时，f' (x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(一s, 0), (a, +s),单调递减区间为(0, a). (3)g'(x) = x2 ax+ 2,依题意，存在x (2, 1),使不等式g' (x) = x2 ax+2<0成立，即 x6( 2, 1)时，a<x+ 2max= 2吸， x当且仅当“x= 2"即乂=啦时等号成立， x所以满足要求的a的取值范围是(一s, -22).考点四：用导数解决函数的极值

16、问题典例(2013福建高考节选)已知函数f(x) = x1+;1(a6R, e为自然对数的底 数).若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值.解0)由 f(x)=x1+,得-(x)=ia ee又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于x轴，一一 a ,一得 f' (1) = 0,即 1 a=0,解得 a = e.e(2)f'(x) = 1 e当a< 0时，f' (x)>0, f(x)为(一s, +s)上的增函数，所以函数f(x)无极值.当 a>0 时，令 f' (x) = 0,彳#

17、 ex=a,即 x= ln a.x (0°, In a), f' (x)<0; x6 (ln a, +°°), f' (x)>0,所以f(x)在(s, In a)上单调递减，在(ln a, 十°°)上单调递增，故f(x)在x= In a处取得极小值，且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上，当aw。时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x= ln a处取得极小值ln a,无极大值.针对训练设f(x) = 2x3 + ax2+bx+ 1的导数为f' (x),若函数y= f' (x

18、)的图像关于直线x=1 对称，且 f' (1) = 0.(1)求实数a, b的值；(2)求函数f(x)的极值.解：(1)因为 f(x) = 2x3+ ax2+ bx+ 1,故 f' (x) = 6x2+ 2ax+ b,从而 f' (x)=6 x+| 2+ b 06，即y=f' (x)关于直线x= 6对称.从而由题设条件知2= 1,即a = 3.62又由于 f' (1) = 0,即 6+ 2a+ b = 0,得 b= 12.(2)由(1)知 f(x) =2x3 + 3x2-12x+ 1,所以 f (x)=6x2 + 6x-12 = 6(x- 1)(x+2)

19、,令 f' (x) = 0,即 6(x1)(x+2) = 0,解得x= 2或x= 1,当 x6( s, 2)时,f' (x)>0,即f(x)在(一s, 2)上单调递增；当 x6( 2,1)时，f' (x)<0,即f(x)在(一2,1)上单调递减；当 x6(1, +s)时，f' (x)>0,即f(x)在(1, +s)上单调递增.从而函数f(x)ft x= 2处取得极大值f(2) = 21, 在x= 1处取得极小值f(1)=- 6.考点五 运用导数解决函数的最值问题典例 已知函数 f(x)= In x-ax(a 6 R).(1)求函数f(x)的单调

20、区间；(2)当a>0时,求函数f(x)在1,2上的最小值.一1，解(1)f (x) = ；-a(x>0), x一1当 a< 0 时，f (x) =a>0, x即函数f(x)的单调增区间为(0, +8).当 a>0 时，令 f' (x) = 1a = 0,可得 x=1, xa11 ax当 o<x<a时，f(x)= x >0;当 x>a时，f' (x)=1-xax<0,故函数f(x)的单调递增区间为0, 1 , a 1单调递减区间为1, +8 . a，1(2)当二W1,即an 1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，、仪

21、)的最小值是f(2) a=ln 2-2a.当1A2,即0<aw1时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，、仪)的最小值是f(1) a2=a.当1<1<2,即1<a<1时，函数f(x)在1,3上是增函数，在n，2上是减函数.又 a 2aat 1f(2)-f(1) = ln 2 a, 当2<a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a;当 In 2Wa<1 时，最小值为 f(2)=ln 2-2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是一a;当aAln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2-2a.针对训练设函数f(x)=aln

22、 x-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=2相切，(1)求实数a, b的值；, 一 .， 1(2)求函数f(x)在e上的最大值. e解：(1)f' (x) = a2bx, x函数f(x)在x=1处与直线y= 2相切，f 1 =a2b=0,a=1,1 解得 1f1= 一 b= 2，b=2.(2)f(x)=ln x 1x2, f (x) = 1-x=1x, xx x.当】wxwe时,令 f' (x)>0得'wx<1；ee 1令f' (x)<0,得1<xwe,、在'1上单调递增，在1,e上单调递减，.f(x)max

23、 er 1= f(1) = 2.考点六：用导数解决函数极值、最值问题ax2+ bx+ c 典例(2013北京丰台局三期末)已知函数f(x) =ex(a>0)的导函数y= f' (x)的两个零点为一3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为一e3,求f(x)在区间 5, + oo)上的最大值.，2ax+bex- ax2 + bx+cex解(1)f (x) =白eax2+ 2a bx+ b c一厘，令 g(x) = ax2 + (2a b)x+bc,因为B>0,所以y= f' (x)的零点就是g(x)= ax2+(2a b)x+b c的零点,且 f&

24、#39; (x)与g(x)符号相同.又因为 a>0,所以一3<x<0 时，g(x)>0,即 f' (x)>0,当x< 3或x>0时，g(x)<0,即f' (x)<0,所以f(x)的单调增区间是(3,0),单调 减区间是(一°°, -3), (0, + °°).(2)由(1)知,x= 3是f(x)的极小值点,所以有9a 3b+ ceT3 - = e3，g 0 = lb c = 0,g 3 = - 9a3 2a b +bc = 0,解得 a= 1, b=5, c= 5,所以f(x) =x2

25、+ 5x+ 5ex因为f(x)的单调增区间是(一3,0),单调减区间是(一°°, 3), (0, +°°), 所以f(0) = 5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间 5, +8)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者.一5而f( 5) = = = 5&>5=f(0),所以函数f(x)在区间 5, +°°)上的取大值是5e5. e针对训练已知函数f(x) = x3 + ax2+ bx+ c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l： 3x y+1 =0,若x= 2时，y=f(x)有极值.3(1)求a, b, c的值；

26、(2)求y=f(x)在3,1上的最大值和最小值.解：(1)由 f(x) = x3 + ax2+bx+ c,彳# f' (x)=3x2 + 2ax+b x=1 时，切线 l 的斜 率为3,可得2a+b=0,当x=3时，y=f(x)有极值，则f' 3=0,可得4a+3b+4=0,由，解得a= 2, b= 4.由于切点的横坐标为1,所以 f(1) = 4.所以 1 + a+b+c=4.所以 c= 5.(2)由(1),可得 f(x) = x3 + 2x24x+5, f' (x) = 3x2+ 4x 4.令 f' (x)=0,解之，得Xi= - 2, X2= 3.当x变化

27、时，f' (x), f(x)的取值及变化情况如下表所示：x-3( 3, -2)-2-2, 323i 1f' (x)十十0一0十十f(x)81395274一，一一 ,一， 一一 , 95所以y= f(x)在 3,1上的最大值为13,最小值为97.考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解典例(2013全国卷 I )设函数 f(x) = x2 + ax+b,g(x)=ex(cx+ d).若曲线 y= f(x) 和曲线y=g(x)都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求 a, b, c, d 的值；(2)若xn 2时，f(x)wkg(x),求k的取值范围.解(

28、1)由已知得 f(0) = 2, g(0) = 2,f' (0) = 4, g' (0) = 4.而 f' (x) = 2x+a, g' (x) = ex(cx+ d+ c),故 b=2, d = 2, a= 4, d + c=4.从而 a= 4, b=2, c= 2, d = 2.(2)由(1)知，f(x) = x2+4x+2, g(x)=2eX(x+1).设函数 F(x) = kg(x) f(x)=2kex(x+ 1)-x2-4x-2,则 F' (x) = 2kex(x+2)2x 4 = 2(x+2)(k。一 1).由题设可得F(0)A0,即k>

29、; 1.令 F (x) = 0 得 x1 = ln k, x2= - 2.(i)若 1Wk<e2,则一2<XiW0.从而当 x6 ( 2, Xi)时,F' (x)<0;当 x6(Xi, + s)时，F' (x)>0,即F(x)在(一2, Xi)上单调递减，在(xi, +s)上单调递增，故 F(x)在2, +8)上的最小值为 F(Xi).而 F(Xi)=2xi+2-x2-4xi-2= - Xi(xi + 2)>0.故当xn2时,F(x)" 即f(x)Wkg(x)恒成立.(五)若卜=e2,则 F' (x) = 2e2(x+ 2)(ex

30、-e 2).从而当 x> 2 时，F' (x)>0,即 F(x)在(2, +8)上单调递增，而 F(2) = 0,故当 xn2 时,F(x)A0,即 f(x)Wkg(x)恒成立.(iii)若 k>/,则 F(2)= 2ke 1 f' (x) = 2ex,令 f' (x) = 0,得 x= In 2. + 2=-2e 2 - (k-e2)<0.从而当 x>-2 时, f(x) < kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是1, e2.针对训练1 C设函数 f(x) = 2x2 + ex xe(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x6

31、2,2时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围.解：(1)函数f(x)的定义域为(一00 , +°°),. f' (x)= x+ex(ex+ x.) = x(1 ex),若 x=0,则 f' (x)=0;若 x<0,则 1ex>0,所以 f' (x)<0;若 x>0,则 1ex<0,所以 f (x)<0.f(x)在(一s , 十°°)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(一°°, +°°).(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减.故f(

32、x)min = f(2) = 2 e2,.m<2e2时，不等式f(x)>m恒成立.故m的取值范围为(一00, 2-e2).考点八、利用导数证明不等式问题典例(2013河南省三市调研)已知函数f(x) = axex(a>0). 1(1)右a=2,求函数f(x)的单调区间；(2)当 1 waw 1 + e时，求证：f(x)<x.1一 _1角牛(1)当 a=2时，f(x) = 2x- ex.当 x< In 2 时，f' (x)>0;当 x> In 2 时，f' (x)<0, 函数f(x)的单调递增区间为(一s, -ln 2),单调递减区

33、间为(一ln 2, +).(2)证明：法一：令 F(x) = xf(x) = ex(a1)x,(i )当 a= 1 时，F(x) = ex>0, .f(x)Wx 成立.(ii)当 1<aw1 + e时，F' (x)=eT (a1) = exeln(a 1), 当 x<ln(a1)时，F' (x)<0;当 x>ln(a1)时，F' (x)>0, F(x)在(s, ln (a1)上单调递减，在(ln(a1), 十)上单调递增./. F(x)>F(ln(a-1)= en(a 1) (a- 1) ln(a- 1) = (a-1)1 -l

34、n(a-1),1<aw 1 + e,/.a-1>0,1-ln(a-1)>1-ln(1 +e)-1 = 0, .F(x)A0,即 f(x)wx成立.综上，当 1WaW1 + e时，有 f(x)<x.法二： 令 g(a)=x f(x)= xa+x+ex,只要证明g(a)>0在1WaW1 + e时恒成立即可.g(1)= x+x+ex=e<>0,g(1 + e)= x (1 + e) + x+ ex=ex ex,设 h(x) = ex ex,则 h' (x)=exe,当 x<1 时，h' (x)<0;当 x>1 时，h'