理学多元积分学PPT课件

1、多元函数积分学第1页/共69页定积分(Definite Integral)二重积分(Double Integral)三重积分(Triple Integral)性质直角坐标极坐标曲线坐标直角坐标柱面坐标球面坐标曲面坐标应用第2页/共69页二重积分的换元法二重积分的换元法(Change of Variable in Double (Change of Variable in Double Integral)Integral)第3页/共69页.dudv)v,u(J)v,u(y),v,u(x fdxdy)y, x( fDD:T)3(; 0)v,u()y, x()v,u(JD)2(D)v,u(y),v,

2、u(x)1(DxoyDuov)v,u(yy),v,u(xx:TDxoy)y, x( fDD 是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理第4页/共69页三重积分的换元法(Change of Variable in Triple Integral)第5页/共69页，且且满满足足上上的的闭闭区区域域变变为为上上的的闭闭区区域域将将上上连连续续，变变换换在在有有界界闭闭区区域域设设定定理理 xyzo

3、uvwo),w,v,u(zz),w,v,u(yy),w,v,u(xx:T)z,y,x(f续续偏偏导导数数；上上具具有有一一阶阶连连在在 D)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x)1(;0)w,v,u()z,y,x()w,v,u(J)2( 上上雅雅可可比比式式在在.dudvdw|J|)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x(fdxdydz)z,y,x(f:T)3( 是是一一对对一一的的，则则有有变变换换第6页/共69页容易验证， 柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jac

4、obi行列式为, r1000cosrsin0sinrcos)z, r ()z, y, x(J sin2),() z , y, x(J 0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin 第7页/共69页 广义球坐标变换的Jacobi行列式为 cossinax sinsinby coscz其中 0 0 20),()z,y,x(J ,sinabc2 第8页/共69页 D; 0dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f则则若若 DD1dxdy)y, x( f2dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f则则若若,0 xDDyD1 轴轴

5、对对称称，关关于于设设积积分分区区域域二重积分的对称性第9页/共69页使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标轴的对称性；、被积函数在积分区域上的关于二个 积分变量的奇偶性.第10页/共69页三重积分的对称性,0zxoy1 并并记记平平面面对对称称，关关于于设设积积分分区区域域 ; 0dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f则则若若.dv)z, y, x( f2dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f1 则则若若第11页/共69页使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个 坐标轴(三个变量)的

6、奇偶性.第12页/共69页二重积分与曲线积分的联系（Green公式）)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 三重积分与曲面积分的联系(Gauss公式) RdxdyQdzdxPdydzdv)zRyQxP(第13页/共69页曲面积分与曲线积分的联系(Stokes公式） dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx第14页/共69页与路径无关的四个等价命题条件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内

7、在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等价命题第15页/共69页空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条件.),(),(),(列列四四个个条条件件等等价价有有连连续续的的偏偏导导数数，则则下下上上若若在在空空间间单单连连通通区区域域zyxRzyxQzyxPV等价命题.,)4(;),()3(0)2()1(yPxQzPxRzQyRVRdzQdypdxdUzyxUVVLRdzQdyPdxRdzQdyPdxVLL 内内在在使使内存在内存在在在；闭曲线闭曲线与路径无关；与路径无关；内内在在第16页/共69

8、页一. 计算题第17页/共69页重积分计算的关键:1. 选择合适的坐标系2.确定合适的积分次序以及积分限（综合考虑积分区域和被积函数）第18页/共69页例 1 222222yR0 xR2Ry2R0y0 xydxedyedxedye计算:解考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域 D，第19页/共69页0.20.40.60.811.21.40.511.521D2DR，很明显很明显21DDD 由此,可以画出直角系下的积分区域的图形，2Ry0, yx0)y, x(D1 Ry2R,yRx0)y, x(D222 0.20.40.60.811.21.40.511.52rD第20页/共69页 xy22D

9、)yx(dxdyeI r2Drrdrde R0r2/4/rdred2R0r)e21(42 )e1(82R 第21页/共69页例2第22页/共69页第23页/共69页.xyz3)zyx(3222所围立体的体积所围立体的体积求求 例3解 cossincossin3r23 cossin2sin2320 第24页/共69页 2 2 23 2o第25页/共69页由对称性 14dVV 2020cossin2sin230232sin drrdd32 第26页/共69页例4 计算 v2,dv)zyxcos()zyx(.10 , 10 , 10),(zyxzxyxzyxV第27页/共69页解 曲面坐标变换的目的

10、, (1)使积分区域变 得尽量简单, (2)简化被积函数及计算。引入坐标变换：zyxw,zxvyxu )z, y, x()w, v,u( 111101011 3 dxdydz)zyxcos()zyx(I2v v2dudvdw)w,v,u()z,y,x(wcosw第28页/共69页dw31wcoswdvdu1021010 dwwcosw31102 102wsin61 1sin61 第29页/共69页0.511.520.20.40.60.811.2z例5 设心脏线的方程为),cos1(ar , 0a,0 求它与极轴围成的平面图形绕极轴所得旋转体的体积。解若视极轴为 z 轴，则极坐标 恰好是球坐标,

11、 r的,:范范围围对对于于旋旋转转体体应应为为而而球球坐坐标标 .20 于是体积第30页/共69页 dvV )cos1(a02020dsindd 033dsin)cos1(3a2 0434)cos1(3a23a83 第31页/共69页例6 11)(2222zyxzyxLdsyxL是是其中其中计算曲线积分计算曲线积分解由对称性 LLdszydsyxI)x(31)z(31222 LLds31ds31 Lds32 964 第32页/共69页例7.)0()0(22)()()(22222222222所围球面部分总在左边所围球面部分总在左边轴正向往下看，曲线轴正向往下看，曲线从从的方向运动时，的方向运动时

12、，的方向规定位沿的方向规定位沿，的交线的交线与柱面与柱面球面球面是是，其中，其中求求LzLLzabaxyxbxzyxLdzxydyzxdxzyL 第33页/共69页.)0(2222部部分分的的上上侧侧所所围围球球面面为为曲曲线线取取 zbxzyxL解 dsyxxzzydxdyyxdzdxxzdydzzyIstokes)cos)(cos)(cos)(2)()()(2 公公式式，有有由由第34页/共69页,cos,cos,cosbzbybbxn 的单位法向量的单位法向量于是 dsyxbzxzbyzybbxI)()()(2 dsyz)(2 zds2 cos2dxdyz bdxdy2 axyxdxdy

13、b2222ba22 第35页/共69页例8).x(f, 1)x(flim), 0(Cf, 0zdxdyedzdx)x(xyfdydz)x(xfS0 x0 x1Sx2求求且且其中，其中，都有都有，曲面曲面内任意光滑的有向封闭内任意光滑的有向封闭设对半空间设对半空间 解有有，设它的表面为设它的表面为，光滑的有界闭区域光滑的有界闭区域内任意内任意公式，对半空间公式，对半空间由题设及由题设及S0 xGauss Sx2zdxdyedzdx)x(xyfdydz)x(xf0 dxdydze)x(xf)x( xf)x( f x2连续性连续性的任意性及被积函数的的任意性及被积函数的由由 第36页/共69页)0

14、x(0e)x(xf)x( xf)x( fx2 01)()11()( 2 xexxfxxfxCee)x( fxx2 , 1)x( flim0 x 又又, 1C, 故故.xee)x( fxx2 所以，所以，第37页/共69页二. 证明题第38页/共69页:,1|,)(证明证明确定确定由由区域区域为连续函数为连续函数设设 xyDuf例1dxxxfdxxxfdxdyfIxDyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析: :要证明的等式右端是定积分要证明的等式右端是定积分, ,且且被积函数中有被积函数中有 项项, ,故需将故需将 看看成一整体成一整体. .)(xfyx22 第39页/共69

15、页xy )(22,22) 1 , 1(D12D11证明: 采用极坐标. 1r,DDD,DD121111 分分界界线线为为在在第第一一象象限限的的部部分分为为设设将式中r的换成x,即得证. 1D22dxdy)yx( f4I由对称性知dxdy)yx( fdxdy)yx( f 41211D22D22 4r1arccos211040d)r (rfdrdr)r (rfd 4 2110dr)r (rf)r1arccos4(dr)r (rf第40页/共69页例2 dxdyexfyxyfxf1)()(22,1 , 0)(证明证明上可积上可积在在设设证)0(1! 212之间之间于于介于介于xxxexex )y(

16、 f)( f1)y(f)(f xex 1x1x)y(f)(f2222)y( f)( f1(yyxdxdyxdxdye 1x1x2222)y( f)x( fyydxdydxdy第41页/共69页.Ryx:D)ba(R21dxdy)y()x()y(b)x(a) t (222D2 其中其中为连续正值函数，证明为连续正值函数，证明设设证明：由积分区域D关于y=x对称，所以， DDdxdy)y()x()y(dxdy)y()x()x(从而 Ddxdy)y()x()y(b)x(a例3dxdy)y()x()y()x()ba(D )ba(R212 第42页/共69页.)()(1)(:, 0)()(2,abdxx

17、fdxxfxfCxfbababa 证明证明且且设设例4解：dxxfdxxfIbaba )(1)(dyyfdxxfbaba )(1)(dxdy)y( f1)x( fbyabxa 第43页/共69页 DdxdyxfyfyfxfI)()()()(21 Ddxdy2212)(ab 第44页/共69页例4 . 1dyedxe:,1 , 0C)x( f10)y(f10)x(f 证明证明设设dyedxeyfxf 10)(10)(:证证 1y01x0)()(dxdyeyfxf 1y01x0)()()()()(21dxdyeexfyfyfxf1221 Ddxdy第45页/共69页例5 ).0t ( ,dxxt)

18、x(ft2dxxt)x( f:,1 , 0C)x( f1022221022 证明证明设设:证证dxxt)x(fxtdx102221022 210222221022dxxt1xt)x( fdxxt)x( f dxxt)x(ft1arctant110222 dxxt)x(ft210222 第46页/共69页例 6,)x( f单单调调减减少少且且恒恒大大于于零零在在上上连连续续设设函函数数 1010210102dx)x( fdx)x(fdx)x(xfdx)x(xf证明：证明：分析： 1021010102dx)x(xfdx)x(fdx)x(xfdx)x(f只只要要证证明明 1021010102dy)y

19、(yfdx)x( fdy)y(yfdx)x(f即即证证0dxdy)y( f)x( fy)y( f )x( f I1010 即即证证第47页/共69页dxdy)x( f)y( fx)x( f )y( f I1010 同同理理dxdy)y( f)x( fxy)y( f )x( fI21010 于于是是0)y(f)x(f)xy(0f)x(f 可可保保证证的的单单调调性性及及由由则本题得证.第48页/共69页例7:, 1yxD22试证明不等式试证明不等式为为设设 .52dxdy)yx(sin16561D322 证明drrsinr2dxdy)yx(sinI103D322 drrrr)(2103!39 ，

20、而而 16561dr)!3rr(r21093 52drr2104.52dxdy)yx(sin16561D322 故故第49页/共69页例 81yx:D, )0 , 0(f2dxdyyxyfyxfxlim)y, x(f222D220 求证求证零，零，数，且在边界上取值为数，且在边界上取值为在单位圆上有连续偏导在单位圆上有连续偏导设设证由积分中值定理有)0 , 0(f2 r)sinr ,cosr ( fryfsinrxfcosryfyxfx rdrr)sinr ,cosr (rfrddxdyyxyfyxfx2012D22 20d)sin,cos( f-0）（)sin,cos( flim2-dxdy

21、yxyfyxfxlim0D220 第50页/共69页例 9.D)y, x(f,:D,dxdy)y, x(ft21limtyx222D0t上连续上连续在在求求 证由积分中值定理有)D(A),(fdxdy)y, x(fD 2t),(f ),(flimdxdy)y, x(ft21lim0tD0t 则则)0 , 0(f 第51页/共69页设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .例10证 tdxxftF0)()(设设, 0)0(F 于于是是dyxFyFyfxfdxIx)()()()(101 1110 xx

22、dyxFyfxfdyyFyfxfdx)()()()()()(101101221dxyFxFxfdxyFxfxx| )()()(| )()(第52页/共69页 1022dx)x(F)1(F)x(F)x( f)x(F)1(F21)x( f 1022dx)1(F)x(F)x( f)x(F)x( f21)1(F)x( f21 102dx)1(F)x(F2)x( f 102)1(F)x(Fd)1(F)x(F21103|)1(F)x(F61 310dx)x( f61 第53页/共69页例11 tt2) t (D22) t (D22) t (222dx)x( fd)yx( f) t (G,d)yx( fdv

23、)zyx( f) t (F.tyx| )y, x() t (Dtzyx| )z, y, x() t (2222222 其中其中连连续续且且大大于于零零，设设函函数数)x( f.), 0() t (F)1(内的单调性内的单调性在区间在区间讨论讨论).t (G2) t (F,0t)2( 时时证明当证明当第54页/共69页 ttrdrtfdrrtrtfttftF022022)()()()(2)( , 0)x( F), 0( 上上所以在所以在.), 0() t (F内单调增加内单调增加在在故故 2002002220)(sin)()(ttrdrrfddrrrfddtF,)()(202022 ttrdrr

24、fdrrrf解解)1(第55页/共69页证证)2(,)()()(0202 ttdrrfrdrrftG ),t (G2) t (F0t 时时要证明要证明因因, 0) t (G2) t (F,0t 时时只需证明只需证明.0rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( ft022t02t022 即即,rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( f) t (g2t02t02t022 令令, 0dr)rt)(r ( f)t ( f) t ( gt0222 则则.), 0) t (g内内单单调调增增加加在在故故 第56页/共69页, 0)0( g又又, 0) t (g,0t 时时故故当当).

25、t (G2) t (F0t 时，时，因此，当因此，当,0t) t (g处连续处连续在在因为因为 ).0(g) t (g,0t 有有时时所以当所以当第57页/共69页.144B|dxdy)y,x(f|,B|yxf|,1y,x0:D)y,x(f12D224 证明证明且且的边界为零的边界为零在平面区域在平面区域设四次可微函数设四次可微函数例例证, )y1(y)x1(xy)g(x, 令令由题设条件可得),1y0(, 0)y, 0( f)y, 1( f 故有),1y0(, 0|yf|yf0 x1x ),1y0(, 0|yf|yf0 x221x22 第58页/共69页 1010231023dy)dxxgy

26、xf|gyxf( 101023dy)dxxgyxf( 101022221022dy)dxxgyf|xgyf( D1010224224dx)y, x(gyxfdydxdy)y, x(gyxfI 10102222dy)dxxgyf( D2222dxdyxgyf（分部积分）（分部积分）第59页/共69页, )y1(y2xg22 又又由分部积分法得 102210dxdyyf) )y1(y2(I 10101y0ydxdyyf)y21(|yf)y1(y2 1010dxdyyf)y21(2 1010dx)dy)y, x( f(4 Ddxdy)y, x( f4第60页/共69页故 D224D|dxdy)y1)

27、(x1(xyyxf|41|dxdy)y, x( f| D224dxdy| )y1)(x1(xy|yxf|41 Ddxdy)y1)(x1(xyB41 102dx)x1(x4B.144B 第61页/共69页21,dy)xy(u)y(u1)x(u,1 , 0)x(u.131x 试证试证且且连续连续在在设设例例证 10dx)x(ua 令令 101dx)x(u )(1a dyyyux dyyyuxx)x(u )(d1 110 则则令令, xyt 100ydt)(t (udy)y(u1a 10y0dt) t (udy)y(u1 102y0|)dt) t (u(211 2a21 第62页/共69页有实数解有实数解于是一元二次方程于是一元二次方程01xx22 ,1 , 0)x(u连连续续在在由由于于 10dx)x(u存在，存在，故