高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-6

1、【练63(2005高考淅江东)如图，在三才好隹PAB BC kPA,点 O、D 分别是 AC、OP 底面ABC .(I) 求证OD 底面PAB ;平面PBC所成角的大小；(III)当k取何值时，O在平面pbC为的射影恰好为【答案】方法一：(I)Q o、d 分别为 AC、又PA 平面PAB. ODPC的中点.ODPA /平面PAB.ABC 中,AB BC,PC的中点，1 一,(II) 当k 1时，求直线pa与(II) Q AB BC, OA OC OA OB OC, 又Q OP 平面 ABC PA PB PC.取BC中点e,连结 PE,则BC 平面POE.作OF PE于f,连结DF ,则OF 平

2、面PBC, ODF是OD与平面PBC所成的角.又 OD / PA,在 Rt ODFPA与平面PBC所成角的大小等于ODF .OF 210sin ODF OD 30PA与平面PBC所成的角为arcs 3联(iii )由II知，OF 平面PBC , F是O在平面PBC内的射影.Q D是PC的中点，若点F是VPBC的重心，则B、F、 直线OB在平面PBC内的射影为直线 BD.QOB PCPC BDPB BC ,即 K1.反之,当K 1时，三棱锥O PBC为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为 PBC的重心.方法二：Q OP 平面 ABC,OA OC, AB BC, OA OB,OA OP,OB OP.

3、以O为原点，射线 OP为非负z轴，建立空间直角坐标系 Oxyz (如图)设 AB a,则 a(孝a,0,0) , b(0, *a,0) , C( a,0,0). (I)1 Qd 为 PC 的中点,OD = ( £ - 1 - PA一OD / PAOD 平面 PAB.(II) Q1-,即 PA2uuuPA = (二 27a,可求得平面PBC的法向量n (1, 1, - 7),设PA与平面PBC所成的角为，则sin210arcsin30(iii)QOG设 OP h,T a,0,2h)cos PA,n| cosPA,n |，又PA,0,修PAgnPAgn|210,30DD三点共线,CoA则

4、 P(0,0, h)2ya,。,.21030PA与平面PBC的重心 G( 262a,2a,3h), OG (鲁春aWh).平面PBC.UULTOGuuu uuuPB.又 PB2(0,-2a,h),UULT UUUOGgPBh)，ODPBC所成的角为1h20.9h a. PA JOA2 h2 a,即k 1反之，当k 1时，三棱椎O PBC为正三棱锥, 2O在平面PBC内的射影为PBC的重心.ri易错点64常见冗荷体的体积讦窠公式;悸别基棱锥:一球的体和公式容易忿视公式票数导致茁错二例64、（2003年天津理12）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为3333（）A、

5、1 B、工 C、a D、三34612【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。AB21 1 21 3V八面体3 2a a 6a”。解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。【练64（2004全国20）如图四棱锥PABC而，底面ABCM矩形，AB=8, AD=4j3,侧面PAD为等边三角形，并且与底面成二面角为600。求四棱锥PABCD勺体积。解析：如图，去AD的中点E,连结PE,则PE AD。作PO 平面ABCD垂足为Q连结OE 根据三垂线定理的逆定理得 OE AD ,所以 PEO为侧面PAg底面

6、所成二面角的平面角。由已知 条件可 PEO 600, PE 6 ,所以PO 3/3,四棱锥PABCD勺体积VP abcd1 8 4百 3百 96。3籍商一一65；丁而冷评而麻而S后法有直法!等闲而已承司法丁例65、（2005年春季上海19）如图，已知正三棱锥P ABC的体积为72 J3 ,侧面与底面所成的二面角的大小为（1）证明 PA BC；（2） 求底面中心。到侧面的距离。解析：（1）证明：取BC边的中点D,连结AD PD,则AD BC,PD BC ,故 BC 平面APD PA BC（2）解：如图，由（1）可知平面PBC 平面APD,则 PDA是侧面与底面所成二面角的平面角。过点。做OE P

7、D , E为垂足，则OE就是点。到侧面的距离，设 OE为h,由题意可知点 O在AD上,PDO 600,OP 2h.QOD 2h , BC 4h, S abc 4h 2 4 - 3h2 、34Q72 3 1 4 3h2 2h 8-h2, 3-3h 3即底面中心。到侧面的距离为3。【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或 者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用 等积求高。【练65】如图，直三棱柱ABC-AB1C1中， 底面是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,侧才AA=2, D E分别是CC与

8、AB的中点， 点E在平面ABD上的射影是 ABD的垂心G.（I）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（口）求点 A到平面AED的距离.解析：连结BG则BG是BE在面ABD的射影，即/ EBG AB与平面ABD所成的角.Q D,E分别是CG,AB的中点，又DC 平面ABC, CDEF为矩形 连结DE,G是 ADB的重心，G DF .在直角三角形EFD中EF2 FG FD 1FD2QEF 1, FD 3.L L3于是 ED2, EGQ FC CD 2, sin EBG EGEB33 -AB 2 2, AB 2 3, EB 3.A1B与平面ABD所成的角是2.3,2 arcsin

9、 .3设F为AB中点，连结EF、FC,（口）连结 AiD,有VA1 aedVd AA1EED AB, ED EF,又EF AB F,ED 平面A1AB, 设A到平面AED的距离为h,则 S AED hS A1AB EDAK2.63故A1到平面AED的距离为2. 63彳房错看一62丁三而鬲节同鬲而派至王妻看至父法三 菽配建武法等:例62、 如图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C中，已知 AA = AC = a, E为BB的 中点，若截面 AECL侧面AC.求截面AEC与底面ABC所成锐二面角度数.解法1:,截面 AE6侧面 AC=AC.连结AC,在正三棱 ABC- ABC中，AA = A

10、69; = AA Ri庭正方形寸AC J A】C,.截面AiE的侧面AC/ AC i截面AEC,又 AAi 1面ABCi = AA1与AC】所成的角NA】ACi的度|数就是所求二面角的度数.易得/AiAC=45° ,故所求二面角的度数是45° .解法2如图3所示，延长CE与CB交于点F,连结AF,则截面AE6面ABC= AF.,EB，面 ABiC,：过 Bi 作 BiGL AiF 交 AiF 于点 G连接EG由三垂线定理知/ EGBi就是所求二面角的平面角.'/ EBj A jCCi => BiF = 3 a.又'/=/ABF=120° ,易

11、得G=；露EB在 RtZiEBC 中，tan8二号二L 二 8 = 45".GBi即所求二面角的度数为 45。【知识点归类点拨】二面角平面角的作法：（ D垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通 过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法:是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；【练65如图，已知直三棱柱 ABC- ABC,侧棱长为2,底面 ABC中,/B=90° , AB=i, BC=J3 , D是侧棱CC上一点，且BD

12、与底面所成角为（D求点D到AB所在直线的距离.（2）求二面角A-BD- Bi的度数解析：丁 CC，面 ABC /B=90° ,DB±AB,.DB的长是点D到AB所在直线的距离，/DBC是BD与底面所成的角，即/ DBC=30 ,.BC=V3,，-.BD=C=2 .cos DBC cos30过 Bi 作BE, BD 于 E,连AiE,. BBLAB, AB± BC,且 BB n BC=B ：AB,平面BCCBi,AB/AB,AiBi，平面BCCB, -. BEXBD, ：AiE，BD,即/AEB是面 AiBD与面BDCBi所成二面角的平面角. 连BiD . BC=J

13、3 , BD=2 ：CD=i. CC=2, ：D为 CC的中点Sa BDBi=一 SbcCiBi BiE - BDBC CC 即2221 BE 2=122. 2：B1E=V3 在 RtABE 中,A1B11.33tan/AEB= ,A| EB1arctan BiE3336【易错点66】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方 程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。22x V例66、过点(0, 3)作直线l ,如果它与双曲线 一 y 1只有一个公共点，则直线l的条数是(43A 1 B、2 C 、3 D、4【易错点分析】在探讨直线与双曲线

14、的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。解析：用数形结合的方法：过点(0, 3)与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的， 有两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示：故选(D)【知识点归类点拨】直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程ax2 bx c 0。(D若a0,0,直线与双曲线相交，有两个交点；若 a0 ,直线与渐进线平行，有一个交点。(2) 若a0,0 ,直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。(3) 若a0,0 ,直线与双曲线相离，没有公共点。二是可以利用数形结合的思想。【练66(2004年浙江，理21)如图已知双曲线的中心在原点，、中右顶点为A (1, 0) P、Q在