中考（数学）分类一数式规律（含答案）-历年真题常考、重难点题型讲练

1、数学专题 精心整理类型一数式规律1探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456【答案】B；【解析】把6代

2、入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153故选B【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数可以任意找一个3的倍数，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；开始重复，则可知T=1532(1)有一列数，那么依此规律，第7个数是_；（2）已知依据上述规律，则 【答案】(1) ； （2）.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律

3、：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1) 规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.3（1）先找规律，再填数：（2）对实数a、b，定义运算如下：ab=，例如23=2-3=.计算2（4）×（4）（2）= .【答案】（1）；（2）1；【解析】（1）规律为：（n为正整数）.（2） 2（4）×（4）（2）=2-4×（-4）2=1.4.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 【答案】因为，.三个一循环

4、，因此5 在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例（1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？【答案】2，3【解析】（1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指； （2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-

5、5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b所以用题中给出的规则计算a×b是正确的6将正偶数按下表排列： 第1

6、列 第2列 第3列 第4列 第1行 2 第2行 4 6 第3行 8 10 12 第4行 14 16 18 20 根据上面的规律，则2006所在行、列分别是_【答案】第45行第13列【解析】观察数列2，4，6，8，10，.每个比前一个增大2，2006是这列数字第1003个.每行数字的个数按照1，2，3，4，5，.，n 递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数.如果2006在第n行，那么设,解得n约为44.5，n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数字（44+1）×=990个；到第45行（含45行）共有数字（45+1）×=1035个；200

7、6是第1003个，在45行13列.7在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图（1）所示的几何图形（1）请你利用这个几何图形求的值为_（2）请你利用图（2）再设计一个能求的值的几何图形【答案】（1）(2) 8.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+ S102的值.【答案】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，（2）因为OA1=，OA2=，OA3=，所以OA10=（3）S12+ S22+ S32+ S102=.9.根据以下10个乘积，回答问题：11×29；

8、 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“2-2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明) 【答案】(1)11×29=202-92；12×28=202-82； 13×27=202-72；14×26=202-62； 15×25=

9、202-52；16×24=202-42； 17×23=202-32；18×22=202-22； 19×21=202-12；20×20=202-02；例如：11×29；假设11×29=2-2； 因为2-2=(+)(-) 所以，可以令-=11，+=29 解得，=20，=9，故11×29=202-92 (或11×29=(20-9)(20+9)=202-92)(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 11×29<12×28<13×27<14×26<

10、;15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20.(3)若a+b=40,a,b是自然数，则ab202=400. 若a+b=40，则ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然数，则 若a+b=m，则 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且|a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则a1b1a2b2a3

11、b3anbn. 10、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_【答案】：50【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9， 为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1

12、）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，这样，第n个数为1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。11.古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_.【答案】：199【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为1时，对应的值是

13、1，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，1）；当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，3）；当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，6）；因为，所以有：成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c，把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入y=an2+bn+c中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，所以，y= n2+n，因此，当n=100时，y= ×1002+×100，当n=98时，y= ×982+&

14、#215;98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以该空应该填199。12、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）A B C   D【答案】：A【解析】：第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A，则A（1，8）；第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B，则B（2，14）；第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C，则C（3，20）；因为，所以有：成立，所以，每个图形中所需要的火

15、柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，所以，y=6n+2。因此选A。13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_。【答案】：50【解析】：仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方

16、形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。所以，本空填50。14、按如下规律摆放三角形：则第（4）堆三角形的个数为_；第(n)堆三角形的个数为_.【答案】：14,3n+2【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三

17、角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第幅图中共有 个。123【答案】：2n+1【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，仔细观察这些数

18、的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。16、试观察下列各式的规律，然后填空：则_。【答案】：【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n个等式中的多项式的次数为n，这是等式左边的变化规律；等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项

19、是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为。17、观察下列各式：依此规律，第n个等式（n为正整数）为          。【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4；等式右边的特点是：

20、第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n，所以第n个等式应该是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。18、观察下列等式：第一行     3=41 第二行     5=94第三行     7=169第四行    9=2516   

21、0;  按照上述规律，第n行的等式为_   【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 ，这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、恰好是22，32，42，52，等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个被减数为（n

22、+1）2；减数分别为1、4、9、16恰好是12，22，32，42，等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n2；所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。19、观察下列各式： 请你将发现的规律用含自然数n(n1)的等式表示出来 。【答案】：=( n+1 )。【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律

23、；等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n个等式中的第一个加数为n，所以，第n个等式为：=( n+1 )。20、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是： A 2 B 4 C 6 D 8【答案】：C【解析】：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，

24、这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，22008的个位数字是6，所以，选C。21、把正整数1，2，3，4，5，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，            按此规律，可知第n行有         个正整数【答案】：【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶