高考数学大二轮总复习：数学思想方法试题含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5【步步高】（全国通用）高考数学大二轮总复习 增分策略 专题八 数学思想方法试题高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想方程的思想，就是分析数学问题中变

2、量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想例1(1)(20xx·湖南)若0<x1<x2<1，则()aee>ln x2ln x1bee<ln x2ln x1cx2e>x1edx2e<x1e(2)若将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题

3、，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决跟踪演练1(1)(20xx·淄博实验中学诊断)若函数f(x)在r上可导，且满足f(x)<xf(x)，则()a2f(1)<f(2) b2f(1)>f(2)c2f(1)f(2) df(1)f(2)(2)如图是函数yasin(x)(其中a>0，>0，<<

4、;)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是()ay2sin(2x)by2sin(2x)cy2sin()dy2sin(2x)(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质例2(1)(20xx·山东)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围

5、是()a(0，) b(，1)c(1,2) d(2，)(2)若实数x、y满足则的最小值是_思维升华数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围(3)构建解析几何模型求最值或范围(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xr，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是_(2)已知p是直线l：3x4y80上的动点，pa、pb是圆x2y22x2y10的两条切线，a、b是切点，c是圆心，则四边形

6、pacb面积的最小值为_(三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合例3(1)(20xx·山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()a. b0,1c. d1, )(2)设f1，f2为椭圆1的两个焦点，p为椭圆上一点已知p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点，且|pf1|>|pf

7、2|，则的值为_思维升华分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等跟踪演练3(1)(20xx

8、3;课标全国)钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac等于()a5 b.c2 d1(2)(20xx·广东)设集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合a中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()a60 b90c120 d130(四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题例4(1)定义运算：(ab)xax2b

9、x2，若关于x的不等式(ab)x<0的解集为x|1<x<2，则关于x的不等式(ba)x<0的解集为()a(1,2)b(，1)(2，)c.d.(1，)(2)已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意的x1(0,2)，任意的x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是()a(， b(1，)c(1，) d1，思维升华转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化

10、等(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化跟踪演练4(1)(20xx·安徽)设函数f(x)(xr)满足f(x)f(x)sin x当0x<时，

11、f(x)0，则f等于()a. b.c0 d(2)已知函数f(x)(a>0且a1)，则fff的值为_提醒：完成作业专题八二轮专题强化练专题八 数学思想方法a组专题通关1若2x5y2y5x，则有()axy0 bxy0cxy0 dxy02已知函数f(x)满足f(a)3，则f(a5)的值为()alog23 b. c. d13已知函数f(x)ax3bsin x4(a，br)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)等于()a5 b1c3 d44(20xx·重庆月考)方程log(a2x)2x有解，则a的最小值为()a2 b1c. d.5(20xx·广东实验中学阶段考试)

12、已知0<a<b<1，则()a.> b()a<()bc(lg a)2<(lg b)2 d.>6(20xx·天津)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中br，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()a. b.c. d.7已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()a b.c0 d或08等比数列an中，a37，前3项之和s321，则公比q的值是()a1 bc1或 d1或9(20xx·江西)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点，若以ab为直径的圆c与直线2xy40

13、相切，则圆c面积的最小值为()a. b.c(62) d.10已知正四棱锥sabcd中，sa2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()a1 b.c2 d311已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_12(20xx·湖南)已知函数f(x)若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_13(20xx·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)b组能力提高14(20xx·黄冈中学期中)定义

14、在r上的函数f(x)满足：f(x)>1f(x)，f(0)6，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)>ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()a(0，)b(，0)(3，)c(，0)(1，)d(3，)15(20xx·广东实验中学阶段考试)已知关于x的方程k在(0，)有且仅有两根，记为，(<)，则下列的四个命题正确的是()asin 22cos2 bcos 22sin2csin 22sin2 dcos 22sin216设数列an的前n项和为sn.已知a1a，an1sn3n，nn*.(1)设bnsn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nn*，求a的取

15、值范围17已知函数f(x)ln(1x).(1)求f(x)的极小值；(2)若a，b>0，求证：ln aln b1.学生用书答案精析专题八数学思想方法例1(1)c(2)解析(1)设f(x)exln x(0<x<1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图象可知两函数图象交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故a，b选项不正确设g(x)(0<x<1)，则g(x).又0<x<1，g(x)<0.函数g(x)在(0,1)上是减函数又0<x1<x2<1，g(x1)>g(x2)，x2e

16、>x1e.(2)f(x)sin 2xcos 2xsin(2x)，将f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位，得到ysin(2x2)的图象，由所得图象关于y轴对称，可知sin(2)±1，即sin(2)±1，故2k，kz，即，kz，又>0，所以min.跟踪演练1(1)a(2)b解析(1)由于f(x)<xf(x)，则()>0恒成立，因此在r上是单调递增函数，>，即f(2)>2f(1)，故答案为a.(2)依函数图象，知y的最大值为2，所以a2.又()，所以t，又，所以2，所以y2sin(2x)将(，2)代入可得sin()1，故2k，kz，又&l

17、t;<，所以.所以函数的解析式为y2sin(2x)，故选b.例2(1)b(2)2解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线ab平行时斜率为1，当直线g(x)kx过a点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)(2)可行域如图所示又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.由图知，过点a的直线oa的斜率最小联立得a(1,2)，所以koa2.所以的最小值为2.跟踪演练2(1)(1,0)(0,1)(2)2解析(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(1,0)(0,1)(2)

18、如图，srtpac|pa|·|ac|pa|，当cpl时，|pc|3，此时|pa|min2.(s四边形pacb)min 2(spac)min2.例3(1)c(2)2或解析(1)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a<1时，有3a11，a，a<1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选c.(2)若pf2f190°，则|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，|pf1|pf2|6，|f1f2|2，解得|pf1|，|pf2|，.若f2pf190°，则|f1f2|2|pf1|2|pf2|2|pf1|2(6|pf1|)2，解得|pf1|4，|pf2|2

19、，2.综上所述，2或.跟踪演练3(1)b(2)d解析(1)sabcab·bc·sin b×1×sin b，sin b，b或.当b时，根据余弦定理有ac2ab2bc22ab·bc·cos b1225，所以ac，此时abc为钝角三角形，符合题意；当b时，根据余弦定理有ac2ab2bc22ab·bc·cos b1221，所以ac1，此时ab2ac2bc2，abc为直角三角形，不符合题意故ac.(2)在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，所以满足条件1|x1|x2|x3|x4|

20、x5|3的可能情况有“一个1(或1)，四个0，有c×2种；两个1(或1)，三个0，有c×2种；一个1，一个1，三个0，有a种；两个1(或1)，一个1(或1)，两个0，有cc×2种；三个1(或1)，两个0，有c×2种故共有c×2c×2acc×2c×2130(种)，故选d.例4(1)d(2)a解析(1)1,2是方程ax2bx20的两实根，12，1×2，解得由(31)x3x2x2<0，得3x2x2>0，解得x<或x>1.(2)依题意，问题等价于f(x1)ming(x2)max.f(x)l

21、n xx1，所以f(x).由f(x)>0，解得1<x<3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)minf(1).函数g(x2)x2bx24，x21,2当b<1时，g(x)maxg(1)2b5；当1b2时，g(x2)maxg(b)b24；当b>2时，g(x2)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解，综上所述，b的取值范围是(，故选a.跟踪演练4(1)a

22、(2)解析(1)f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以2为周期的周期函数又f()f(4)f()，ffsin，ff.当0x<时，f(x)0，f0，ff.故选a.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，f(x)f(1x)1，ffff1×49.二轮专题强化练答案精析专题八数学思想方法1b把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为r上的增函数，所以有xy.所以xy0.2c分两种情况分析，或者，无解，由得，a7，所以f(a5)2231，故选c.3c因为lg(log2 10)lg(lg 2)lg(

23、log210×lg 2)lg(×lg 2)lg 10，所以lg(lg 2)lg(log210)设lg(log210)t，则lg(lg 2)t.由条件可知f(t)5，即f(t)at3bsin t45，所以at3bsin t1，所以f(t)at3bsin t4143.4b由log(a2x)2x得a2x()2x21，当且仅当x1时取等号a的最小值为1.5d0<a<b<1，a1>b1，故a错误；又y()x是减函数，()a>()b，故b错误；又ylg x是增函数，lg a<lg b<0，(lg a)2>(lg b)2，>，故c错误

24、，d正确故选d.6d方法一当x>2时，g(x)xb4，f(x)(x2)2；当0x2时，g(x)bx，f(x)2x；当x<0时，g(x)bx2，f(x)2x.由于函数yf(x)g(x)恰有4个零点，所以方程f(x)g(x)0恰有4个根当b0时，当x>2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x80，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为2x(x)0，无解；当x<0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x20，无解所以b0，排除答案b.当b2时，当x>2时，方程f(x)g(x)0可化为(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有一解；当0x2时，方程f(x)g(x)0

25、可化为2x2x，有无数个解；当x<0时，方程f(x)g(x)0可化为2x2x2，得x0(舍去)或x1，有一解所以b2，排除答案a.当b1时，当x>2时，方程f(x)g(x)0可化为x25x70，无解；当0x2时，方程f(x)g(x)0可化为1x2x，无解；当x<0时，方程f(x)g(x)0可化为x2x10，无解所以b1，排除答案c.因此答案选d.方法二记h(x)f(2x)在同一坐标系中作出f(x)与h(x)的图象如图，直线ab：yx4，设直线l：yxb.当直线lab且与f(x)的图象相切时，由解得b，(4)，所以曲线h(x)向上平移个单位后，所得图象与f(x)的图象有两个公共

26、点，向上平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当b2时，f(x)与g(x)的图象有4个不同的交点，即yf(x)g(x)恰有4个零点选d.7d不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线y0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形由图形可知斜率k的值为0或.8c当公比q1时，a1a2a37，s33a121，符合要求当q1时，a1q27，21，解得q或q1(舍去)综上可知，q1或.9aaob90°，点o在圆c上设直线2xy40与圆c相切于点d，则点c与点o间的距离等于它到直线2xy

27、40的距离，点c在以o为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当o，c，d共线时，圆的直径最小为|od|.又|od|，圆c的最小半径为，圆c面积的最小值为()2.10c设正四棱锥sabcd的底面边长为a(a>0)，则高h ，所以体积va2h .设y12a4a6(a>0)，则y48a33a5.令y>0，得0<a<4；令y<0，得a>4.故函数y在(0,4上单调递增，在4，)上单调递减可知当a4时，y取得最大值，即体积v取得最大值，此时h 2，故选c.11(10,12)解析作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设a<b<c，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10<c<12，abc(10,12)12(，0)(1，)解析函数g(x)有两个零点，即方程f(x)b0有两个不等实根，则函数yf(x)和yb的图象有两个公共点若a<0，则当xa时，f(x)x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线yb可能有两个公共点若0a1，则a3a2，函数f(x)在r上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线yb至多有一个公共点若a&g