最新东北师大附属中学高三一轮导学案：函数专题：抽象函数【A】

1、 20xx高考数学总复习-函数专题-抽象函数(教案)a一、例 题选讲1、已知f(2x)定义域是（1，2），则函数f(log2x)的定义域是 ；2、若f(x)是奇函数，且（0，+）上增函数，又f(2)=0，则fx-f(-x)x<0的解集是 ；3、已知f(x)是偶函数，并且对定义域内任意x，满足f(x+2)=-1f(x),若当3<x<4时，f(x)=x,则f(20xx.5)= ;4、已知f(x)是r上的偶函数，且f(x)有四个零点，则f(x+2)=0的所有实根之和为 ；5、定义在r上的函数f(x)，f(0)o ,当x>0时, f(x)>1,且对任意的a、br，有f(a

2、+b)=f(a)f(b).(1)求证：f(0)=1；(2)求证：对任意xr，f(x)> 0；(3)证明：f(x)是r上的增函数。6、已知f(x)是r上的不恒等于0的函数，且对任意a、br，有f(ab) = bf(a)+af(b).(1)求f(0)、f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明。7、定义在r+上的函数，当x>1时, f(x)>0, 且对任意的a、br+，都有f(ab)=f(a)+f(b).(1) f(1)=0;(2)证明：f(x)是r+上的增函数；(3)证明：fxn=nf(x), f(1x)=-f(x) (nn*).8、函数f(x)对任意a、br，有f(a-

3、b) = f(a)-f(b)+1, 且x>0,时, f(x)> 1。(1)证明：f(x)是r上的增函数；(2)若f(4)=5,解关于m的不等式f(3m2-m-2)<2.9、函数f(x)的定义域为r，且对任意的a、br，有f(a+b) = f(a)+f(b)-1, 且x>0,时, f(x)> 1。(1) 证明：f(x)是r上的增函数；(2)若f(3)=4,解关于a的不等式f(a2+a-5)<2.(3)设f(x)=1- f(x)，试证：f(x)在r上是奇函数。10、函数f(x)的定义域为r，且对任意的a、br，f(a+b) = f(a)+f(b), 若x>

4、0,时, f(x)<0.(1)判断f(x)的奇偶性，并证明。(2)判断函数f(x)的单调性。(3)若f(1)=-3解关于a的不等式f(a2+a-5)<9.11、函数f(x)是定义在(-1,1)上的函数，对任意x、y(-1,1),总有f(x)+f(y)=fx+y1+xy;且当x(-,0)时，f(x)>0.(1)判断f(x) 在(-1,1)上的奇偶性，并证明;(2)判断f(x) 在(0,1)上的单调性，并证明;(3)若f15=12 ， 试求f12-f111 -f119 的值。二、课时作业1. 已知函数y = f (x)(xr，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试

5、判断f(x)的奇偶性。解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。2 已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是1- m和m分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x

6、)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)<f(m) 可得，f(x)在0，2上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1m<。3. 设f(x)是r上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(20xx)的值。解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x0处有定义，所以f(x)=0从而f（20xx）= f(6×335+3)=f(3)=- f(6)= f(0)=0。4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（，

7、已知f（1）=2，求f（解：由f（=f（，知 f（x）=f（0，x ， f（1）=2， 同理可得5. 已知f（x）是定义在r上的函数，且满足：f（x+2）1f（x）=1+f（x），f（5）=2000，求f（20xx）的值。解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）1，故f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8为周期的周期函数， 从而f（20xx）=f（251*8+5）=2000说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利

8、用周期性使问题巧妙获解。6. 设f（x）是定义r在上的函数，对任意x，yr，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.证明：（1）问题为求函数值，只需令x=y=0即可得。 （2）问题中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）为偶函数.说明：这类问题应抓住f（x）与f（-x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。7. 已知定义在r上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减

9、区间？解：由y=f(x)是偶函数且在（2，6）上递增可知，y=f(x)在（6，2）上递减。令u=2-x，则当x(4,8)时，u是减函数且u(-6,-2)，而f(u)在（6，2）上递减，故y=f(2-x)在（4，8）上递增。所以（4，8）是y=f(2-x)的单调递增区间。8. 设f（x）是定义在r上的奇函数，且对任意a，b，当a+b0，都有0（1）.若ab，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围。 解：（1）.因为ab，所以a-b0，由题意得0，所以f（a）+f（b）0，又f（x）是定义在r上的奇函数，所以f（b）=f（b）， f（a）f（b）0，

10、即f（a）f（b）（2）.由（1）知f（x）在r上是单调递增函数，又ff0，得ff，故，所以k令t,所以kt+，而t+2，即k219.已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。解：等价于10已知函数当时，恒有.(1)求证: 是奇函数;(2)若.证明：（1）令，得 令，则 是奇函数。（2） 又11.已知是定义在r上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,求数列的前项和.解（1）：令，则令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。（3）当时，令，则 故，所以，故12.已知定义域为r的函数满足.(1)若(2)

11、设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.解：(1)对任意，函数满足，且 ，=f(a)=a(2) 对任意，函数满足,有且仅有一个实数,使得对任意，有上式中，令，则，故若，则，则，但方程有两个不相同的实根与题设茅盾，故若，则，则，此时方程有两个相等的实根，即有且仅有一个实数,使得13.已知函数的定义域为r,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.（1）解：令，则（2）数列是以为首项,1为公差的等差数列,故=(3)任取,则 =函数是r上的单调增函数.14.函数的定义域为r,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;.(1)求的值;(

12、2)求证: 在r上是单调减函数;(3)若且,求证:. (1)解: 对任意,有>0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为r,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;函数是r上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而15.已知函数的定义域为r,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在r上单调递减;(3)设a=,b=,若=,试确定的取值范围.证明(1):令,则当时,故,当时,当时,则(2)证明: 任取,则,0<,故<0,又,故函数是r上的单调减函数.(3) 由（2）知，是r上的减函数，b=又，方程组无解，即直线的内部无公共点，故的取值范围是-

13、16.已知函数是定义在r上的增函数,设f.(1)用函数单调性的定义证明:是r上的增函数;(2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形.证明：(1)任取,则f=, 又函数是定义在r上的增函数, ,故>0是r上的增函数;(2)设为函数=的图象上任一点,则点关于点(的对称点为n(),则,故把代入f得, =-函数=的图象关于点(成中心对称图形.17.已知函数是定义域为r的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.17.(1)解:为r上的奇函数, 对任意都有,令则=0(2)证明: 为r上的奇函

14、数, 对任意都有,的图象关于直线对称, 对任意都有, 用代得,即是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，当时，图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。证明：(1)令，则，故（2），令，则， 成立的x的取值范围是。19设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又

15、,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件

16、f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 < a < 3。22. 设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。23. 是否存在函数f（x），使下列三个条

17、件：f（x）0，x n；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x n时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）·g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）·g（b）。25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。25. 解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定