最新天津市高考数学二轮复习专题能力训练17直线与圆锥曲线文1214325

1、 专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.(20xx全国,文12)过抛物线c:y2=4x的焦点f,且斜率为3的直线交c于点m(m在x轴的上方),l为c的准线,点n在l上且mnl,则m到直线nf的距离为() a.5b.22c.23d.33答案：c解析：由题意可知抛物线的焦点f(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线mf:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为m在x轴的上方,所以m(3,23).因为mnl,且n在l上,所以n(-1,23).因为f(1,0),所以直线nf:y=-3(x-1).所以m到直线nf的距离为|3

2、×(3-1)+23|(-3)2+12=23.2.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是a和b,那么过a,b两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()a.4b.22c.2d.2答案：c解析：设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而a(-2,0),b(0,-2).因此过a,b两点的最小圆即为以ab为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2

3、,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2(2)2-12=2.3.设抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线l过f且与c交于a,b两点.若|af|=3|bf|,则l的方程为()a.y=x-1或y=-x+1b.y=33(x-1)或y=-33(x-1)c.y=3(x-1)或y=-3(x-1)d.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案：c解析：由题意可得抛物线焦点f(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过a,b两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为m,n,则由抛物线定义可得,|am|=|af|,|bn|=|bf|.设|am|=|af|=3t(t>0),

4、|bn|=|bf|=t,|bk|=x,而|gf|=2,在amk中,由|bn|am|=|bk|ak|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cosnbk=|bn|bk|=tx=12,nbk=60°,则gfk=60°,即直线ab的倾斜角为60°.斜率k=tan 60°=3,故直线方程为y=3(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-3(x-1),故选c.4.在平面直角坐标系xoy中,双曲线c1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线c2:x2=2py(p>0)交于点o,a,b.若oab的垂心为c2的

5、焦点,则c1的离心率为. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y=±bax.由y=bax,x2=2py,得a2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得b-2bpa,2b2pa2.f0,p2为oab的垂心,kaf·kob=-1,即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.5.(20xx北京,文19)已知椭圆c的两个顶点分别为a(-2,0),b(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆c的方程;(2)点d为x轴上一点,过d作x轴的垂线交椭圆c于不同的两点m,n,过d作am的垂线交bn

6、于点e.求证:bde与bdn的面积之比为45.(1)解设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)证明设m(m,n),则d(m,0),n(m,-n).由题设知m±2,且n0.直线am的斜率kam=nm+2,故直线de的斜率kde=-m+2n.所以直线de的方程为y=-m+2n(x-m),直线bn的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点e的纵坐标ye=-n(4-m2)4-m2+n2.由点m在椭圆c上,得4-

7、m2=4n2.所以ye=-45n.又sbde=12|bd|·|ye|=25|bd|·|n|,sbdn=12|bd|·|n|,所以bde与bdn的面积之比为45.6.在平面直角坐标系xoy中,过椭圆m:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-3=0交m于a,b两点,p为ab的中点,且op的斜率为12.(1)求m的方程;(2)c,d为m上两点,若四边形acbd的对角线cdab,求四边形acbd面积的最大值.解(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),p(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2

8、-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,m的右焦点为(3,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以m的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|ab|=463.由题意可设直线cd的方程为y=x+n-533<n<3,设c(x3,y3),d(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n±2(9-

9、n2)3.因为直线cd的斜率为1,所以|cd|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四边形acbd的面积s=12|cd|·|ab|=8699-n2.当n=0时,s取得最大值,最大值为863.所以四边形acbd面积的最大值为863.7.已知椭圆c的中心在坐标原点,右焦点为f(1,0),a,b是椭圆c的左、右顶点,d是椭圆c上异于a,b的动点,且adb面积的最大值为2.(1)求椭圆c的方程.(2)是否存在一定点e(x0,0)(0<x0<2),使得当过点e的直线l与曲线c相交于m,n两点时,1|em|2+1|en|2为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.解(

10、1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知可得adb的面积的最大值为12·2a·b=ab=2.f(1,0)为椭圆右焦点,a2=b2+1.由可得a=2,b=1,故椭圆c的方程为x22+y2=1.(2)过点e取两条分别垂直于x轴和y轴的弦m1n1,m2n2,则1|em1|2+1|en1|2=1|em2|2+1|en2|2,即21-x022=1(x0+2)2+1(x0-2)2,解得x0=63,e若存在必为63,0,定值为3.证明如下:设过点e63,0的直线方程为x=ty+63,代入c中得(t2+2)y2+263ty-43=0.设m(x1,y1),n

11、(x2,y2),则y1+y2=-263tt2+2=-26t3(t2+2),y1y2=-43(t2+2),1|em|2+1|en|2=1(1+t2)y12+1(1+t2)y22=11+t2·1y12+1y22=11+t2·(y1+y2)2-2y1y2y12y22=11+t2·-26t3(t2+2)2+83(t2+2)-43(t2+2)2=3.综上得定点为e63,0,定值为3.8.已知a是椭圆e:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交e于a,m两点,点n在e上,mana.(1)当|am|=|an|时,求amn的面积;(2)当2|am|=|an|时

12、,证明:3<k<2.(1)解设m(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线am的倾斜角为4.又a(-2,0),因此直线am的方程为y=x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此amn的面积samn=2×12×127×127=14449.(2)证明将直线am的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|

13、am|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线an的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|an|=12k1+k23k2+4.由2|am|=|an|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在区间(0,+)单调递增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在区间(0,+)有唯一的零点,且零点k在区间(3,2)内.所以3<k<2.二、思维提升训练9.如图,设抛物线y2=2px(p&

14、gt;0)的焦点为f,抛物线上的点a到y轴的距离等于|af|-1.(1)求p的值;(2)若直线af交抛物线于另一点b,过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n,an与x轴交于点m.求m的横坐标的取值范围.解(1)由题意可得,抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,f(1,0),可设a(t2,2t),t0,t±1.因为af不垂直于y轴,可设直线af:x=sy+1(s0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以,b1t2,-2t.又直线ab的斜率

15、为2tt2-1,故直线fn的斜率为-t2-12t.从而得直线fn:y=-t2-12t(x-1),直线bn:y=-2t.所以nt2+3t2-1,-2t.设m(m,0),由a,m,n三点共线得2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点m的横坐标的取值范围是(-,0)(2,+).10.已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点p3,12在椭圆e上.(1)求椭圆e的方程;(2)设不过原点o且斜率为12的直线l与椭圆e交于不

16、同的两点a,b,线段ab的中点为m,直线om与椭圆e交于c,d,证明:|ma|·|mb|=|mc|·|md|.(1)解由已知,a=2b.又椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点p3,12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆e的方程是x24+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=12x+m(m0),a(x1,y1),b(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,方程的判别式为=4(2-m2).由>0,即2-m2>0,解得-2<m<2.由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2

17、-2.所以m点坐标为-m,m2,直线om方程为y=-12x.由方程组x24+y2=1,y=-12x,得c-2,22,d2,-22.所以|mc|·|md|=52(-m+2)·52(2+m)=54(2-m2).又|ma|·|mb|=14|ab|2=14(x1-x2)2+(y1-y2)2=516(x1+x2)2-4x1x2=5164m2-4(2m2-2)=54(2-m2).所以|ma|·|mb|=|mc|·|md|.11.(20xx江苏,17)如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f

18、1,f2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点p在椭圆e上,且位于第一象限,过点f1作直线pf1的垂线l1,过点f2作直线pf2的垂线l2.(1)求椭圆e的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点q在椭圆e上,求点p的坐标.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆e的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此椭圆e的标准方程是x24+y23=1.(2)由(1)知,f1(-1,0),f2(1,0).设p(x0,y0),因为p为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于f1,与题设不符.当x01时,直线pf1的斜率为y0x0+1,直线pf2的斜率为y0x0-1.