最新一轮北师大版理数学教案：第3章 第6节　正弦定理和余弦定理 Word版含解析

1、 第六节正弦定理和余弦定理考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2r.(r为abc外接圆半径)a2b2c22bc·cos_a；b2c2a22ca·cos_b；c2a2b22ab·cos_c变形形式(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；(2)abcsin asin bsin c；(3)sin a，sin b，sin ccos a；cos b；cos c解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；

2、(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2.三角形常用面积公式(1)sa·ha(ha表示边a上的高)；(2)sabsin cacsin bbcsin a.(3)sr(abc)(r为内切圆半径)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)在abc中，若ab，则必有sin asin b()(2)在abc中，若b2c2a2，则abc为锐角三角形()(3)在abc中，若a60°，a4，b4，则b45°或135°.()(4)在abc中，.()解析(1)正确ababsin asin b.(2)错误由cos a0知，a为锐角

3、，但abc不一定是锐角三角形(3)错误由ba知，ba.(4)正确利用a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，可知结论正确答案(1)(2)×(3)×(4)2(教材改编)在abc中，若sin2asin2bsin2c，则abc的形状是()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不能确定c由正弦定理，得sin a，sin b，sin c，代入得到a2b2c2，由余弦定理得cos c0，所以c为钝角，所以该三角形为钝角三角形3(20xx·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a，c2，cos a，则b()a.b. c2d3d由余弦定理得5b2

4、42×b×2×，解得b3或b(舍去)，故选d.4在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a，a1，b，则b_.【导学号：57962172】或由正弦定理，代入可求得sin b，故b或b.5在abc中，a60°，ac4，bc2，则abc的面积等于_.【导学号：57962173】2由题意及余弦定理得cos a，解得c2，所以sbcsin a×4×2×sin 60°2.利用正、余弦定理解三角形在abc中，bac，ab6，ac3，点d在bc边上，adbd，求ad的长解设abc的内角bac，b，c所对边的长分别是

5、a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosbac(3)2622×3×6×cos1836(36)90，所以a3.6分又由正弦定理得sin b，由题设知0b，所以cos b.9分在abd中，因为adbd，所以abdbad，所以adb2b，故由正弦定理得ad.12分规律方法1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的2(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用变式训

6、练1(1)(20xx·郑州模拟)已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边， 且(bc)(sin bsin c)(ac)sin a，则角b的大小为()a30°b45°c60°d120°(2)(20xx·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若cos a，cos c，a1，则b_.(1)a(2)(1)由正弦定理及(bc)·(sin bsin c)(ac)sin a得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，a2c2b2ac.又cos b，cos b，b30°.(2)在abc中，cos a

7、，cos c，sin a，sin c，sin bsin(ac)sin acos ccos asin c××.又，b.判断三角形的形状(1)(20xx·东北三省四市二联)在abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，满足acos abcos b，则abc的形状为()a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形(2)(20xx·安徽安庆二模)设角a，b，c是abc的三个内角，则“abc”是“abc是钝角三角形”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件(1)d(2)a(1)因为acos abcos b，由正弦

8、定理得sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b，所以2a2b或2a2b，即ab或ab，所以abc为等腰三角形或直角三角形，故选d.(2)由abc，abc，可得c，故三角形abc为钝角三角形，反之不成立故选a.规律方法1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁2无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能变式训练2设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若2sin acos bsin c，那么abc一定是()a直角三角形

9、b等腰三角形c等腰直角三角形d等边三角形b法一：由已知得2sin acos bsin csin(ab)sin acos bcos asin b，即sin(ab)0，因为ab，所以ab.法二：由正弦定理得2acos bc，再由余弦定理得2a·ca2b2ab.与三角形面积有关的问题(20xx·全国卷)已知a，b，c分别为abc内角a，b，c的对边，sin2b2sin asin c.(1)若ab，求cos b；(2)设b90°，且a，求abc的面积解(1)由题设及正弦定理可得b22ac.2分又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos b.5分(2)由(1)知b22

10、ac.7分因为b90°，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.9分所以abc的面积为××1.12分规律方法三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化变式训练3(20xx·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cos c(acos bbcos a)c.(1)求c；(2)若c，abc的面积为，求abc的周长解(1)由已知及正弦定理得2cos c(sin acos bsin bcos a)sin c，即2cos csin(ab)sin c，3分故2sin ccos csin c.可得cos c，所以c.5分(2)由已知得absin c.又c，所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcos c7，故a2b213，从而(ab)225.所以abc的周长为5.12分思想与方法1在解三角形时，应熟练运用内角和定理：abc，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)