高中数学必修5第三章不等式单元测试及答案

1、第三章不等式第12页共11页、选择题1 .已知 x> -,则 f（x） = x 4x + 5 有（）.2 2x 4D.最小值1D.A.最大值5B.最小值-C.最大值1442 .若x> 0, y>0,则（x+L）2 + （y+工）2的最小值是（）.2y2xA. 3B. 7C. 43 .设a>0, b>0则下列不等式中不成立的是 （）.A. a+bd=>2/2.ab2, 2C, a-a+bD. 2ab 上 4rab.aba b4.已知奇函数 f(x)在(0, +8)上是增函数，且 f(i)=o,则不等式f(x)-f(-x) <oxA. (-1, 0) U

2、( 1, +8)B. (8, 1) u (0, 1)C. (8, 1) U(1, +8)D. ( -1, 0) U (0, 1)2、“C 冗g 由将 口、1+ cos2x+ 8sin x曰，/古4 /、5.当 0vxv 一 时，函数 f(x) =的取小值为().2sin2xA.2B, 2<3C. 4D.4g6.若实数a, b满足a + b=2,则3a+3b的最小值是().A.18B, 6C, 2 <3D,2痣x > 04 7 .若不等式组x + 3y >4,所表示的平面区域被直线y = kx+分为面积相等的两33x+ y < 4部分，则k的值是（4C.一3D.7A

3、.一38 .直线x+ 2y+3=0上的点P在x-y=1的上方，且 P到直线2x+y6=0的距离为34，则点P的坐标是(A. (-5, 1)B. (-1, 5)C. ( 72)D. (2, -7)9 .已知平面区域如图所示，z= mx+ y(m>0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()7A.20B.20D.不存在10.当x>1时，不等式x+ L>a恒成立，则实数 ax 1的取值范围是()A.(一巴2B. 2, +oo )C. 3, +8)再口，1)(第9题)D.(巴 3二、填空题11.不等式组(x-y+ 5)( x+ y) > 0所表示的平面区域的面

4、积是0<x< 3x+2y-3<012.设变量x, y满足约束条件x+ 3y- 3>0,若目标函数z= ax+y(a>0)仅在点(3,y 一 1 w 00)处取得最大值，则 a的取值范围是 13 .若正数 a, b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 .14 .设a, b均为正的常数且 x> 0,y>0, + b = 1,则x+ y的最小值为 . x y15 .函数y=loga(x+ 3) - 1( a>0,且a1)的图象恒过定点 A,若点A在直线 mx+ ny + 1 = 0上，其中mn>0,则工+ 2的最小值为.m n16 .某工厂的

5、年产值第二年比第一年增长的百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为P2,若P1 + P2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为 三、解答题217 .求函数y= x +7x + 10 (x>1)的最小值.x + 118 .已知直线l经过点P(3, 2),且与x轴、y轴正半轴分别交于 A, B两点，当 AOB面积最小时，求直线l的方程.(第18题)19.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润每吨乙产品可获得利润 3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过不超过18吨.那么该企业可获得

6、最大利润是多少？5万元，销售13吨，B原料20. (1)已知xv 5 ,求函数y=4x1+-1的最大值;4x 5(2)已知x, yCR*(正实数集)，且1 + 9=1,求x+ y的最小值;x y,2(3)已知 a>0, b>0,且 a2+ b- = 1,求 a#+b2 的最大值.参考答案1. D2解析：由已知f(x) = x 4x+52x4,、2(x 2) +1 1 g 1_ _ ( x-2)+2(x-2)2x-2''' x' , x 2>0, 211、112(x-2)+ W-2)口 =1，当且仅当x2=',即x= 3时取等号. x-2

7、2. C1c 1c解析：(x+ )2+(y+ )22y2x0 x ,1, 2 1yl 1= x2+ - + 2 + y2+ - + 2y 4y x 4x2 ,12 ,1 x . yx h2 + y + 2 + + 4x4y yx x2+工 2 ：x2 工 =1,当且仅当x2=7, x= 也时取等号； 4x , 4x4x2y2+>2 ,y2r = 1,当且仅当y2=二，y=上2时取等号；4y2; 4y4y2+ 2 J = 2( x> 0, y > 0),当且仅当=,y2= x2 时取等号 y x . y xy x. x2+工 + y2+r + - + y >1 + 1 +

8、2=4,前三个不等式的等号同时成立 4x4y y x2时，原式取最小值，故当且仅当x= y= 三时原式取最小值 4.3. D解析：方法一:特值法，如取a = 4, b=1,代入各选项中的不等式， 易判断只有 b >Jaba b不成立.方法二：可逐项使用均值不等式判断A ： a + b + > 2 ab + ,> 2, ab, ab2Jab $ = 2 M 2 ,不等式成立.abB：a + b>2 vab >0, 1 + 1 >2a b>0,aL，-1相乘得(a + b)(a+ - ) 4成立.bC：a2+b2=(a+b)2-2ab>(a+ b)2

9、22b =22.2a bD:a+b>2Vab不成立.4.ab& 12,ab2 aba b>a+b成立.-2ab& -；=2,abJab ,即-2ab > Vaba b解析：因为f(x)是奇函数，则f(-x) = -f(x),f( x)f( x) <02f(x) <0xxxf(x)0,满足 x 与 f(x)异O(第4题)号白x x的集合为所求.因为f(x)在(0, +8)上是增函数，且 f(1)=0,画出f(x)在 (0, +8)的简图如图，再根据 f(x)是奇函数的性质得到 f(x)在 (8, 0)的图象.1)时，x与f(x)异号.由f(x)的图象

10、可知，当且仅当xC (-1, 0) U (05. C解析：由 0vxv，有 sinx>0, cosx> 0. ,八八2/2 八241+ cos2x + 8sin x 2 cos x + 8sin x cosx , 4sin xf(x) = = -一 十sin 2x2sln xcosx sin x cosx-cosx 4sin x , 出口小业 cosx 4sinx 日口, 1 g 用“ ”>2 j =4,当且仅当=，即 tan x= 一时，取= .s sin x cosxsin x cosx2-.1 0<x< , 1存在 x 使 tan x= 1 ,这时 f( x

11、) min = 4.226. B解析：= a+b= 2,故3a+3b>2质'孑=2寸,3ab =6,当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.7. A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 ABC.由 x+3y=4 得 a(1, 1),又 B© 4), C(0, 4).3x + y=43由于直线y=kx+ 4过点C（0, 4）,设它与直线4像7题）3x+ y= 4的交点为D ,1.贝U 由 Sa BCD= Saabc ,知2.5 = kxl+4, k =8. AD为AB的中点，即1xd=2X0+ 2 y 0+ 3= 0 ,解析：设P点的坐标为（X0,

12、 yo）,则% y01 <02x0+y°6xo= - 5, 解得y0= 1.5= 3.5.点P坐标是（一5, 1）.9. B解析：当直线 mx+y = z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解.3-丝''' kAC=-=-51一 m = 一 ,即20720m=2010. D解析：由x+，x-1(x-1)+ + 1x-1X>1x-1>0,则有(x1) +1, 八- + 1>2.(x 1) - x-1.1 +1 = 3, x 1则 a<3.、填空题(第11题)第一个不等式组所对应的区域如图,11. 24.解析：不等式(xy+5

13、)( x+y) >0可转化为两个二元一次不等式组.(x-y+ 5)( x+ y) > 00<x< 3x y+ 5>0xy+5W0x+ y> 0 或 x+ y< 00<x< 30<x<3这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求.第二个不等式组所对应的区域不存在.图中 A(3, 8), B(3, 3), C(0, 5),阴影部分的面积为3 (11+5) =24.2 C、112. a a> 2解析：若z= ax+ y( a>0)仅在点(3, 0)处取得最大 值，则直线z= ax + y的倾斜角一定小于直线 x+ 2y3 =

14、 0的倾斜角，直线z= ax + y的斜率就一定小于直线 x+2y -3=0的斜率，可得：一av 1,即a> 1 .2213. ab>9.解析：由于a, b均为正数，等式中含有ab和a+b这个特征，可以设想使用 史艺 JOb2构造一个不等式.ab= a+b + 3> 2v''ab +3,即ab> 2/'而 + 3(当且仅当a= b时等号成立), (Tab )2 2&b -3>0, ('ab -3)( Vab +1)>0, v'ab >3,即 ab>9(当且仅当 a=b = 3 时等号成立).14.

15、(vG+w'b)2.解析：由已知0, bx均为正数, x yx+y= (x+y)( a + b) = a+ b+ 巴 + bx >a+b+ 2 Jay bx = a+ b+2jab , x yx y: x y即jx= a+<ab时取等号y= b+Jab，ay _ bx即x+yn (Ja+和)2,当且仅当dx y a bI =1i x y解析：因为y=loga x的图象恒过定点15. 8.(1, 0),故函数y=loga(x+ 3) 1的图象恒过定点A( 2, 1),把点A坐标代入直线方程得m( 2) + n( 1) + 1 = 0,即 2m+n=1,而由mn>0知n,

16、 一m均为正， m n +2 = (2m+n)( l+-) = 4+ + m>4 + 2,； m = 8,当且仅当m nm nn _ 4m m= 1m=T 即 14时取等号.2m+ n=1' n216. P.2解析：设该厂第一年的产值为 a,由题意,a(1 + p)2=a(1+p1)( 1 + p2),且 1 + p1>0,1 + p2>0,22所以 a( 1 + p)2= a( 1 +p1)(1 +p2)Wa 1+5+1+p2= a1+p1+p2,解得22pWtp2,当且仅当1 + p1=1+p2,即p1=p2时取等号.所以p的最大值是卫士四22三、解答题17.解：

17、令 x+1 = t>0,贝U x=t- 1,y=2(t 1) +7(t 1)+10tt2+ 5t + 4 =t+3 tt+ 5A 2t + 5= 9,当且仅当t= 4 ,即t=2, x= 1时取等号，故x= 1时，y取最小值9. t18.解：因为直线l经过点P(3, 2)且与x轴y轴都相交,故其斜率必存在且小于 0.设直线l的斜率为k,则l的方程可写成y2=k(x3),其中k<0.令 x=0,则 y=23k;令 y=0,则 x= + 3.k生 AOB= -(2-3k)( 2 + 3)= 12k 241,412+( 9k)+(-)，12+ 2 i-9k) (-) k 2.k= 12,

18、当且仅当(9k)=( 4),即k = - 2时，Sx aob有最小值12,所求直线方程为k32rry-2=- -(x- 3),即 2x+3y 12=0.A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y19.解：设生产甲产品 x吨，生产乙产品y吨，则有关系:x 0y 0一则有，目标函数z= 5x+3y3x y <132x 3y <18作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x= 3, y = 4时可获得最大利润为 27万元.20.解：(1) xv 5 ,4x-5<0,故 5-4x>0.4y= 4x 1 +1,1、=-(5-4x+)+4.4x 55 4x5-4x+ 15 4x1鼻4刈.=2'yw 2+4=2,当且仅