新课标高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理

1、高考数学精品复习资料 2019.5【导与练】（新课标）20xx届高三数学一轮复习 第4篇 第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积3、4、8平面向量的夹角及垂直问题2、5、9平面向量的模1、6、7平面向量数量积的综合问题10、11、12平面向量与其他知识交汇问题13、14、15、16基础过关一、选择题1.(20xx高考辽宁卷)已知点a(1,3),b(4,-1),则与向量ab同方向的单位向量为(a)(a)(35,-45) (b)（45,-35）(c)（-35,45）(d)（-45,35）解析:ab=(3,-4),则与ab同方向的单位向量为

2、ab|ab|=15(3,-4)=（35,-45）.故选a.2.(20xx高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mr),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于(d)(a)-2(b)-1(c)1(d)2解析:法一由已知得c=(m+4,2m+2),因为cos<c,a>=c·a|c|a|,cos<c,b>=c·b|c|b|,所以c·a|c|a|=c·b|c|b|,又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选

3、d.法二易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,则m>0,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.故选d.3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若ab,则a·b等于(a)(a)-10(b)-6(c)0(d)6解析:由ab得2x=-4,x=-2,故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.故选a.4.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则|b|等于(b)(a)2(b)2(c)1(d)22解析:利用向量的运算列式求解.由题意知(a+b)·a=0,(2a+

4、b)·b=0,即a2+b·a=0,2a·b+b2=0,将×2-得,2a2-b2=0,b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|=2.故选b.5.在abc中,ab=(cos 18°,cos 72°),bc=(2cos 63°,2cos 27°),则角b等于(b)(a)4(b)34(c)3(d)23解析:ab·bc=2cos 18°cos 63°+2cos 72°cos 27°=2sin 27°cos 18°+2cos 27°sin

5、18°=2sin(27°+18°)=2sin 45°=2.而|ab|=1,|bc|=2,cos b=-ab·bc|ab|bc|=-22,又b(0,),b=34.故选b.二、填空题6.(20xx四川成都石室模拟)已知向量a、b满足a=(1,0),b=(2,4),则|a+b|=. 解析:|a+b|=|(3,4)|=32+42=5.答案:57.(20xx高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos =13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos =. 解析:a·b=(3e1-2e2) 

6、3;(3e1-e2)=9+2-9×1×1×13=8,|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×13=9.|a|=3.同理,|b|=22.cos =a·b|a|b|=83×22=223.答案:2238. 正三角形abc中,d是边bc上的点,ab=3,bd=1,则ab·ad=. 解析:法一ab·ac=3×3×cos 60°=92,ad=ab+bd=ab+13bc=ab+13(ac-ab)=23ab+13ac,ab·ad=ab·（

7、23ab+13ac）=23ab2+13ab·ac=152.法二以b为原点,bc所在的直线为x轴,建立坐标系,则b(0,0),a（32,332）,d(1,0).所以ab=（-32,-332）,ad=（-12,-332）,所以ab·ad=（-32）×（-12）+（-332）2=152.答案:1529.(20xx安徽巢湖模拟)已知a=(,2),b=(3,2),如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是. 解析:由题意知,a·b>0且a与b不共线,所以32+4>0,2-620,解得<-43或0<<13或>13,所以的取值

8、范围是（-,-43）（0,13）（13,+）.答案:（-,-43）（0,13）（13,+）10.关于平面向量a,b,c,有以下命题:若a·b=a·c,则b=c.若a=(1,k),b=(-2,6),ab,则k=13.非零向量a和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°非零向量a和b,满足|a+b|=|a-b|,则ab其中真命题的序号为. 解析:命题明显不正确;对于向量垂直的充要条件易得k=13,命题正确;对于,可结合平行四边形法则,得a与a+b的夹角为30°,命题不正确;对于,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b

9、)2,a·b=0,ab,命题正确.答案:三、解答题11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xr).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab,得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=(-2)2+02=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=22+(-4)2=25.综上,|a-b|为2或25.12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)

10、=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若ab=a,bc=b,求abc的面积.解:(1)(2a-3b)·(2a+b)=61,4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,64-4a·b-27=61,a·b=-6.cos =a·b|a|b|=-64×3=-12.又0,=23.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,|a+b|=13.(3)ab与bc的夹角=23,abc=-23=3.又|ab|=|a|=4,|bc|=|b|=3,

11、sabc=12|ab|bc|sinabc=12×4×3×32=33.能力提升13.已知向量oa=(2,2),ob=(4,1),在x轴上存在一点p使ap·bp有最小值,则p点的坐标是(c)(a)(-3,0)(b)(2,0)(c)(3,0)(d)(4,0)解析:设p点的坐标为(x,0),则ap=(x-2,-2),bp=(x-4,-1).ap·bp=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,ap·bp有最小值1.点p坐标为(3,0).故选c.14.(20xx河南郑州模拟)如图,rta

12、bc中,c=90°,其内切圆切ac边于d点,o为圆心.若|ad|=2|cd|=2,则bo·ac=. 解析:以ca所在的直线为x轴,cb所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则c(0,0)、o(1,1)、a(3,0).设直角三角形内切圆与ab边交于点e,与cb边交于点f,则由圆的切线长定理可得be=bf,ad=ae=2,设be=bf=x,在rtabc中,可得cb2+ca2=ab2,即(x+1)2+9=(x+2)2,解得x=3,故b(0,4).bo·ac=(1,-3)·(-3,0)=-3.答案:-315.(20xx西安模拟)在abc中,设内角a,b

13、,c的对边分别为a,b,c,向量m=(cos a,sin a),向量n=(2-sin a,cos a),若|m+n|=2.(1)求角a的大小;(2)若b=42,且c=2a,求abc的面积.解:(1)|m+n|=(cosa+2-sina)2+(sina+cosa)2=4+22(cosa-sina)=4+4cos(4+a),所以4+4cos（4+a）=4,所以cos（4+a）=0.又因为a(0,),故4+a=2,所以a=4.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a,即a2=(42)2+(2a)2-2×42×2acos 4,解得a=42,所以c=8,所以sabc=12×42×8×22=16.探究创新16.(20xx衡水中学调研)已知|a|=2|b|0,且关于x的函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在r上有极值,则向量a与b的夹角的范围是(c)(a)0,6)(b)(6,(c)(3,(d)(3