高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算

1、高考数学精品复习资料 2019.5第十四章 导数网络体系总览考点目标位定位要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.（2）熟记基本求导公式c，xm（m为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.复习方略指南深入理解和

2、正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.14.1 导数的概念与运算知识梳理1.导数的概念：（1）如果当x0时，有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f（x0），即f（x0）= =.（2）如果函数

3、f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a,b）内可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f（x0）,这样就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作f（x）,即f（x）= ，导函数也简称导数.2.导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点p（x0,f（x0）处的切线的斜率.3.几种常见的导数：c=0（c为常数）;（xn）=nxn1;（sinx）=cosx;（cosx）=sinx;（ex）=ex; （ax）=axlna;（lnx）=;（loga

4、x）=logae.4.导数的四则运算法则：设u、v是可导函数，则（u±v）=u±v;（uv）=uv+uv;（）= （v0）.特别提示f（x）在x=x0处的导数f（x0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f（x0）是函数f（x）的导函数f（x）当x=x0时的函数值.点击双基1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则为a.x+2 b.x2c.x+2 d.2+x解析: =x+2.答案:c2.设函数f（x）在x=x0处可导,则a.与x0,h都有关b.仅与x0有关而与h无关c.仅与h有关而与x0无关d.与x0、h均无关答案:b3

5、.设f（x）=ax3+3x2+2,若f（1）=4,则a的值等于a.b. c. d.解析:f（x）=3ax2+6x,f（1）=3a6=4,所以a=.答案:d4.函数y=x2的曲线上点a处的切线与直线3xy+1=0的夹角为45°,则点a的坐标为_.解析:设点a的坐标为（x0,y0）,则y|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3xy+1=0的斜率k2=3.tan45°=1=|.解得x0=或x0=1.y0=或y0=1,即a点坐标为（，）或（1，1）.答案:（，）或（1，1）典例剖析【例1】 若f（x0）=2,求.剖析:根据导数的定义.解:f（x0）= （这时x=k）.=

6、3;=·=f（x0）=1.评述:注意f（x0）= 中x的形式的变化,在上述变化中可以看到x=k,k0k0,f（x0）= ,还可以写成f（x0）= 或 f（x0）=f（x0+）f（x0）等.【例2】 若f（x）在r上可导，（1）求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f（x）为奇函数.剖析:（1）需求f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数；（2）求f（x），然后判断其奇偶性.（1）解:设f（x）=g（x）,则g（a）= =f（a）.f（x）在x=a处的导数与f（x）在x=a处的导数互为相反数.（2）证明:f（x）= =f

7、（x）.f（x）为奇函数.评述:用导数的定义求导数时，要注意y中自变量的变化量应与x一致.深化拓展（2）中若f（x）为奇函数，f（x）的奇偶性如何？【例3】 求下列函数的导数：（1）y=x2sinx;（2）y=ln（x）;（）y=;（）y=.解:（1）y=（x2）sinxx2（sinx）=2xsinxx2cosx.（2）y=·（x）=（1）=.（）y=.（4）y=.思考讨论函数f（x）在点x0处是否可导与是否连续有什么关系？闯关训练夯实基础1.（2004年全国,文3）曲线y=x33x2+1在点（1，1）处的切线方程为a.y=3x4 b.y=3x+2c.y=4x+3 d.y=4x5解析

8、:y=3x26x,y|x=1=3.在（1,1）处的切线方程为y+1=3（x1）.答案:b2.（2004年全国,文4）函数y=（x+1）2（x1）在x=1处的导数等于a.1 b.2 c.3 d.4解析:y|x=1=（x2+2x+1）（x1）|x=1=x3+x2x1|xx=1=（3x2+2x1）| x=1=4.答案:d3.（2004年湖北,文3）已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为a.f（x）=（x1）2+3（x1）b.f（x）=2（x1）c.f（x）=2（x1）2d.f（x）=x1答案:a4.（2004年重庆,理14）曲线y=2x2与y=x32在交点处的切线夹角是_.（

9、以弧度数作答）解析:由得x3+2x216=0,（x2）（x2+4x+8）=0,x=2.两曲线只有一个交点.y=（2x2）=x,y|x=2=2.又y=（2）=x2,当x=2时,y=3.两曲线在交点处的切线斜率分别为2、3,|=1.夹角为.答案: 5.设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,求f（1）.解:f（1）=0, =2,f（1）= = =2.6.设函数y=axbx2cxd的图象与y轴交点为p点，且曲线在p点处的切线方程为12xy=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.解:y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为p，p的坐标为p（0,d）.又曲线在点p处的切线方

10、程为y=12x，p点坐标适合方程，从而d=.又切线斜率k=12，故在x=0处的导数yx=0=12,而y=ax22bxc，yx=0=，从而 c=12.又函数在x=2处取得极值0，所以yx=2=0,f（2）=0,即12ab12=0,ab20=0.解得a=2，b=9.所求函数解析式为y=2x39x212x.培养能力7.已知函数f（x）=ex（cosx+sinx）,将满足f（x）=0的所有正数x从小到大排成数列xn.求证：数列f（xn）为等比数列.证明:f（x）=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx,由f（x）=0,即2exsinx=0,解得x=n,nz.从而xn=n

11、（n=1,2,3）,f（xn）=（1）nen.所以=e.所以数列f（xn）是公比q=e的等比数列.8.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a0）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）及f（x）的导数f（x）;（2）假设对任意xln（3a）,ln（4a），不等式|mf1（x）|+ln（f（x）0成立，求实数m的取值范围.解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），得x=ln（eya），所以y=f1（x）=ln（e xa）（xlna）.f（x）=ln（ex+a）=.（2）由|mf1（x）|+ln（f（x）0,得ln（exa）ln（ex+a）+xmln（exa）+ln（ex+a）x.设（x

12、）=ln（exa）ln（ex+a）+x, （x）=ln（exa）+ln（ex+a）x,于是原不等式对于xln（3n）,ln（4a）恒成立.等价于（x）m（x）. （*）由（x）=+1,（x）= +1,注意到0exaexex+a.故有（x）0, （x）0,从而（x）、（x）均在ln（3a）,ln（4a）上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当（ln（4a）m（ln（3a）,即ln（a）mln（a）.探究创新9.利用导数求和：（1）sn=1+2x+3x2+nxn1（x0,nn *）.（2）sn=c+2c+3c+nc （nn *）.解:（1）当x=1时，sn=1+2+3+n= （n+1）,当x1时，

13、x+x2+x3+xn=,两边对x求导，得sn=1+2x+3x2+nxn1=()=.（2）（1+x）n=1+cx+c x2+c xn,两边对x求导，得n（1+x）n1=c+2cx+3cx2+nc x n1.令x=1,得n·2n1=c +2c+3c+nc,即sn=c+2c +3c +nc=n·2n1.思悟小结1.求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法：（1）导数的定义，即求的值.（2）利用导函数的函数值,即先求函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f（x）,再将x0（x0（a,b）代入导函数f（x）,得函数值f（x0）.2.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.3.本单