高考数学理一轮知识点专题讲座：抛物线含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5【名师面对面】20xx届数学一轮知识点讲座：考点35 抛物线加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标抛物线的定义、几何性质及标准方程；抛物线的几何性质及定义的应用.二.知识梳理1.抛物线的定义：平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2.抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点.（*）焦准距：（*）通径：过焦点垂直于轴的弦长为.顶点平分焦点到准线的垂线段：.（*）焦半径为半径的圆：以p为圆心、fp为半径的圆必与准线相切.所有这样的圆过定点f、准线是公切线

2、.（*）焦半径为直径的圆：以焦半径 fp为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切，所有这样的圆过定点f、过顶点垂直于轴的直线是公切线（*）焦点弦为直径的圆：以焦点弦pq为直径的圆必与准线相切.所有这样的圆的公切线是准线3.抛物线标准方程的四种形式：4.抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：（*）焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，（*）焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为p或或p5.一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk>0时开口向右(k/4,0)x= k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= k/4的距离k<

3、;0时开口向左x2=kyk>0时开口向上(0,k/4)y= k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= k/4的距离k<0时开口向下三考点逐个突破1.抛物线的定义例1. 如下图所示，直线相交于点m,点,以a、b为端点的曲线段c上的任一点到 的距离与到点n的距离相等若为锐角三角形,建立适当的坐标系,求曲线段 c的方程分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围解: 以mn中点为原点,mn所在直线方程为x轴建立直角坐标系,设曲线方程为由得: , 又, ,解得 由锐角为三角形,

4、, , 又 故所求曲线方程为: 2.抛物线的标准方程例2. 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p·2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为

5、（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解3.抛物线的几何性质例3. （1）已知直线过抛物线c的焦点,且与c的对称轴垂直,与c交于a,b两点,|ab|=12,p为c的准线上一点,则的面积为( )a.18 b.24 c.36 d.48【答案】c【解析】因为ab过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段ab是抛物线的通径,长为,所以,又点p到ab的距离为

6、焦参数,所以的面积为,故选c.（2）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是abcd【答案】b 因为抛物线的焦点,准线方程为.过p作准线的垂线交准线于e,则，所以，即，所以当为抛物线的切线时，最大.不妨设p在第一象限，设过a的直线斜率为，则直线的方程为，代入，整理得，由解得，所以，此时，所以点.所以，即则的最小值是.选b（3）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为f，经过点f的直线交抛物线于a、b两点，点c在抛物线的准线上，且bcx轴证明直线ac经过原点o分析：证直线ac经过原点o，即证o、a、c三点共线，为此只需证koc=koa本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和

7、平面几何知识去解决证法一：设ab：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyp2=0由韦达定理，得yayb=p2，即yb=bcx轴，且c在准线x=上，c（，yb）则koc=koa故直线ac经过原点o证法二：如图，记准线l与x轴的交点为e，过a作adl，垂足为d则adefbc连结ac交ef于点n，则=，=|af|=|ad|，|bf|=|bc|，|en|=|nf|，即n是ef的中点从而点n与点o重合，故直线ac经过原点o4.抛物线与其他知识的交汇例4.（1）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为a. b. c.

8、d. 【答案】b【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,选b.（2）已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为abcd【答案】d抛物线的焦点坐标为，所以双曲线中.又，所以.所以双曲线飞渐近线方程为，选d.(3) 在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_【答案】由题意知,且，所以,所以，即，所以，解得5.抛物线的综合运用例5.（1）抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为a. b. 1 c. d. 2【答案】a设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf.由抛物线定义，得|af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos120°=a2+b2+ab配方得， ，又因为，所以,所以，所以,即的最大值为选：a（2）已知抛物线的焦点坐