高中数学课本典例改编之选修2－1、2－2、2－3：专题五 复数、计数原理 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5专题五复数、计数原理专题五复数、计数原理一、题之源：课本基础知识一、题之源：课本基础知识1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，br r)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi 为实数；若b0，则abi 为虚数；若a0 且b0，则abi 为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dr r)(3)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dr r)(4)复数的模：向量oz的模r叫做复数zabi(a，br r)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|a2b22复数的几何意义(1)复数zabi一一对应

2、复平面内的点z(a，b)(a，br r)(2)复数zabi(a，br r)一一对应平面向量oz3复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr r)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3c c，有z1z2z2z1，(z1z2)z

3、3z1(z2z3)4分类加法计数原理完成一件事， 可以有n类办法， 在第一类办法中有m1种方法， 在第二类办法中有m2种方法， ，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有nm1m2m_n种方法(也称加法原理)5分步乘法计数原理完成一件事情需要经过n个步骤， 缺一不可， 做第一步有m1种方法， 做第二步有m2种方法， ，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事情共有nm1m2mn种方法(也称乘法原理)6排列与排列数公式(1)排列与排列数从n个不同元素中取出m（mn）个元素按照一定的顺序排成一列排列所有不同排列的个数排列数(2)排列数公式amnn(n1)(n2)(nm1)n！（nm） ！(3

4、)排列数的性质annn！ ；0！17组合与组合数公式(1)组合与组合数从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组组合所有不同组合的个数组合数(2)组合数公式cmnamnammn（n1） （n2）（nm1）m！n！m！ （nm） ！.(3)组合数的性质c0n1；cmncnmn；cmncm1ncmn18二项式定理(1)定理：(ab)nc0nanc1nan1bcknankbkcnnbn(nn n*)(2)通项：第k1 项为：tk1cknankbk(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：ckn(k0，1，2，n)9二项式系数的性质二、题之本：思想方法技巧二、题之本：思想方法技巧1.几个应注

5、意的问题(1)两个虚数不能比较大小(2)利用复数相等abicdi 列方程时，注意a，b，c，dr r 的前提条件(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2c c，z21z220，就不能推出z1z20；z20 在复数范围内有可能成立2复数的运算技巧(1)设zabi(a，br r)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化3复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1)(1i)22i；1i1ii；1i1ii；(

6、2)baii(abi)；(3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nn n*.4.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，br r)的形式，以确定实部和虚部5.复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点z及向量oz相互联系，即zabi(a，br r)z(a，b)oz.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数

7、形结合的方法，使问题的解决更加直观6.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式7.运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准.分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性.8.运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具

8、有连续性.9.在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏.10.对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律.11.解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列

9、举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.12.排列数与组合数的计算问题含有排列数或组合数的方程都是在限定的正整数范围内求解，利用这一点可以根据题目的要求首先对方程进行化简.证明题一般用amnn！（nm） ！或cmnn！（nm） ！m！及组合数的性质.证明过程中要注意阶乘的运算及技巧.13.解排列、组合题的基本方法(1)限制元素(位置)优先法：元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再

10、考虑其他位置.(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉.(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步.(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”将“捆绑”元素在这些位置上作全排

11、列.(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(mn)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m1 个结点，剪截成m段.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.14.解组合问题时应注意(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义.(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法).(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区

12、别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m组，则分法取法m！15.二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)cknankbk是第k1 项，而不是第k项.(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n).计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系.(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离.16.要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.在(a

13、b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是 1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定.17.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性.18.二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法.(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法.(3)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩

14、”处理.19二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，br r)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为a1，a2，an1，且第k项系数最大，应用akak1akak1从而解出k来，即得20 二项式展开式有关问题的解题策略：(1)求展开式中的第n项可依据二项式的通项公式直接求出第n项(2)求展开式中的特定项可依据条件写出第r1 项，再由特定项的特点求出r值即可(3)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数21.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立因此，可将a，b设定为一些特殊的

15、值在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、1 或0”，有时也取其他值2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4f（1）f（1）2，偶数项系数之和为a1a3a5f（1）f（1）2.三、题之变：课本典例改编三、题之变：课本典例改编1.1.原题（选修原题（选修 2-22-2 第页习题一百一十二页习题第页习题一百一十二页习题 3.2a3.2a 组第组第 4 4 题（题（4 4） ）改编改编复数的共轭复数是）（20122321i()a.i2321b.i2321c.i2321d.i2321【答案】b.2

16、.原题（选修原题（选修 2-32-3 第二十七页习题第二十七页习题 1.2a1.2a 组第四题组第四题）改编改编 1 1某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法（）a336b408c240d264【答案】选. a【解析】方法数为：6252246252242336,aaaaaa选. a改编改编 2 2某地高考规定每一考场安排 24 名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是()a 276119

17、b 272119c136119d138119【答案】选.d3.原题（选修原题（选修 2-32-3 第二十七页习题第二十七页习题 1.2a1.2a 组第九题组第九题）改编改编 1 1 在正方体1111abcdabc d的各个顶点与各棱的中点共 20 个点中，任取 2 点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1bd垂直的概率为_【答案】27.166【解析】 如图，, , , , ,e f g h i j k l m n p q分别为相应棱上的中点， 容易证明1bd 正六边形efghij，此时在正六边形上有2615c 条，直线与直线1bd垂直；与直线1bd垂直的平面还有平面acb、平面npq、平

18、面klm、平面11ac b，共有直线23412c条正方体1111abcdabc d的 各 个 顶 点 与 各 棱 的 中 点 共 20 个 点 ， 任 取 2 点 连 成 直 线 数 为2220312 (1)166cc条直线 （每条棱上如直线,ae ed ad其实为一条） ， 故对角线1bd垂直的概率为15 1227.166166改编改编 2 2考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()a.175b.275c.375d.475【答案】选d【解析】如图，图 4甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，共有226615 15225c c 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有/,/,/,ac db ad cb ae bf/,/,/afbe cefd cfed共 12 对 ， 所 以 所 求 概 率 为12422575p ，选d4.原题原题（选修选修 2-32-3 第四十页复习参考题第四十页复习参考题 a a 组第三