金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编 专题整合突破 专题八系列4选讲 第二讲 选修4－5不等式选讲 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第二讲(选修45)不等式选讲重要定理1绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|c(c>0)caxbc.|axb|c(c>0)axbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想利用“零点分段法”求解，体现分类

2、讨论思想通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想3证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法4二维形式的柯西不等式若a，b，c，dr，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立失分警示1应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立2利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可3在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏考点绝对值不等式典例示法题型1绝对值不等式的解法典例120xx·沈阳模拟设函数f(x)|2x1|x4|

3、.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数yf(x)的最小值解(1)解法一：令2x10，x40分别得x，x4.原不等式可化为：或或所以原不等式的解集为.解法二：f(x)|2x1|x4|画出f(x)的图象y2与f(x)图象的交点为(7,2)，.由图象知f(x)2的解集为.(2)由(1)的解法二中的图象知：f(x)min.题型2含绝对值不等式的恒成立问题典例220xx·长春质检设函数f(x)|x2|xa|(ar)(1)若不等式f(x)a0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式f(x)x恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，f(x)a0恒成立，当a<0时，要保证f(x)a恒成

4、立，即f(x)的最小值|a2|a，解得1a<0，故a1.(2)由题意可知，函数yf(x)的图象恒在直线yx的上方，画出两个函数图象可知，当a2时，符合题意，当a>2时，只需满足点(a，a2)不在点的下方即可，所以a2a，即2<a4.综上，实数a的取值范围是(，41解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点划区间、去绝对值号分别解去掉绝对值的不等式取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法2解决含参数的绝对值不等式

5、问题的两种常用方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围3解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)>a恒成立f(x)min>a；f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a；f(x)<a有解f(x)min<a；f(x)>a无解f(x)maxa；f(x)<a无解f(x)mina.考点不等式的证明典例示法典例320xx·湖北二联已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)<4的解集为m.

6、(1)求m；(2)当a，bm时，证明：2|ab|<|4ab|.解(1)f(x)|x1|x1|当x<1时，由2x<4得2<x<1；当1x1时，f(x)2<4；当x>1时，由2x<4得1<x<2.所以m(2,2)(2)证明：当a，bm，即2<a，b<2时，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)<0，4(ab)2<(4ab)2，2|ab|<|4ab|.不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法；

7、(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|进行证明；转化为函数问题，利用数形结合进行证明针对训练20xx·陕西质检已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(2x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，a0，求证：f.解(1)f(2x)f(x4)|2x1|x3|当x3时，由3x28，解得x；当3x时，x48无解；当x时，由3x28，解得x2.所以不等式f(2x)f(x4)8的解集为.(2)证明：f等价于f(ab)|a|f，即|ab1|ab|.因为|a|1，|b|1，所以|

8、ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立考点柯西不等式典例示法典例420xx·福建高考已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即

9、a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.柯西不等式的求解方法柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式针对训练20xx·陕西高考已知关于x的不等式|xa|<b的解集为x|2<x<4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|<b，得ba<x<ba，则解得a3，b1.(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.全国卷高考真题调研120xx·全国卷已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图

10、象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)>1的解集为x|1<x<3；f(x)<1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.220xx·全国卷已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>

11、0，即x>4，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.综上，f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a，b(2a1,0)，c(a，a1)，abc的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，)320xx·全国卷设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若ab>cd，则>；(2)>是|ab|<|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab

12、2，()2cd2，由题设abcd，ab>cd得()2>()2.因此>.(2)若|ab|<|cd|，则(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因为abcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，则()2>()2，即ab2>cd2.因为abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.综上，>是|ab|<|cd|的充要条件其它省市高考题借鉴420xx·江苏高考设a>0，|x1|<，|y2|<，求证

13、：|2xy4|<a.证明因为|x1|<，|y2|<，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|<2×a.520xx·湖南高考设a>0，b>0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a<2与b2b<2不可能同时成立证明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a<2与b2b<2同时成立，则由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab1矛盾故a2a

14、<2与b2b<2不可能同时成立620xx·福建高考已知定义在r上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.120xx·湖北八校联考已知函数f(x)|x10|x20|，且满足f(x)<10

15、a10(ar)的解集不是空集(1)求实数a的取值集合a；(2)若ba，ab，求证：aabb>abba.解(1)|x10|x20|<10a10的解集不是空集，则(|x10|x20|)min<10a10，10<10a10，a>0，a(0，)(2)证明：不妨设a>b，则ab，a>b>0，>1，ab>0，ab>1，aabb>abba.220xx·河南测试已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)f(x5)9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：f(ab3)>f(ab2)解(1)f(x)f(x5)

16、|x2|x3|当x<3时，由2x19，解得x5；当3x2时，f(x)9，不成立；当x>2时，由2x19，解得x4.所以不等式f(x)f(x5)9的解集为x|x5或x4(2)证明：f(ab3)>f(ab2)，即|ab1|>|ab|.因为|a|<1，|b|<1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)(a21)(b21)>0，所以|ab1|>|ab|，故所证不等式成立3已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)当x>0时，函数g(x)(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取

17、值范围解(1)当x>2时，原不等式可化为x2x1>1，此时不成立；当1x2时，原不等式可化为2xx1>1，即1x<0；当x<1时，原不等式可化为2xx1>1，即x<1，综上，原不等式的解集是x|x<0(2)因为g(x)ax121，当且仅当ax，即x时“”成立，所以g(x)min21，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1为所求420xx·全国卷已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xr时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)|2x2|2

18、.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xr时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当xr时，f(x)g(x)3等价于|1a|a3.当a1时，等价于1aa3，无解当a>1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，)520xx·湖北七市联考设函数f(x)|xa|，ar.(1)若a1，解不等式f(x)(x1)；(2)记函数g(x)f(x)|x2|的值域为a，若a1,3，求a的取值范围解(1)由于a1，故f(x)当x<1时，由f(x)(x1)，得1x(x1)，解得x.当x1时，由f(x)(x1)，得x

19、1(x1)，解得x3.综上，不等式f(x)(x1)的解集为3，)(2)当a<2时，g(x)g(x)的值域aa2,2a，由a1,3，得解得a1，又a<2，故1a<2；当a2时，g(x)g(x)的值域a2a，a2，由a1,3，得解得a3，又a2，故2a3.综上，a的取值范围为1,3620xx·西安交大附中六诊设函数f(x)|xa|.(1)求证：当a时， 不等式ln f(x)>1成立；(2)关于x的不等式f(x)a在r上恒成立，求实数a的最大值解(1)证明：由f(x)得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)3>e.所以ln f(x)>1成立(2)由绝对值的性质得f(x)|xa|，所以f(x)最小值为，从而a，解得a，因此a的最大值为.7.20xx·太原测评对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|m·|a|恒成立，记实数m的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x1|x2|m.解(1)不等式|ab|ab|m·|a|恒成立，即m对于任意的实数a(a0)和b恒成立，所以m的最大值m是的最小值因为|ab|ab|(ab)(ab)