备战高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题四 简单的线性规划问题 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5 i题源探究·黄金母题【例1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供kg的碳水化合物，kg的蛋白质，kg的脂肪1kg食物a含有kg碳水化合物，kg蛋白质，g脂肪，花费28元；而1kg食物b含有kg碳水化合物，kg蛋白质，kg脂肪，花费21元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物a和食物b多少kg？【解析】设每天食用kg实物a，kg实物b，总成本为元，则目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域考虑，将它变形为，这是斜率为，随变化的一族平行直线 是直线在轴上的截距，当取得最

2、小值时，的值最小当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值由图可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小解方程组得点，因此，当时，取最小值，最小值为16由此可知每天食用食物a约143克，食物b约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元精彩解读【试题来源】人教版a版必5第88-89页例5【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意义解题ii考场精彩·真题回放【例2】【高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）a0 b3 c4 d5

3、【答案】c【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为4，故选c【命题意图】本题主要考查线性规划问题【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，属于容易题【难点中心】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解【例3】【20xx高考新课标3理数】若满足约束条件，则的最大值为_【答案】【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时

4、取得最大值，即 【命题意图】本题考查简单的线性规划问题【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题【难点中心】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果iii理论基础·解题原理1二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点的平面区域对于在直线同一侧的所有点，实数的符号相同，故只需在此直线的某一侧取一个特殊点，由实数的符号，即可判断表

5、示直线哪一侧的平面区域2. 线性规划的有关概念：（1）线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，故又称线性约束条件（2）线性目标函数：关于的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫线性目标函数（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题（4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解iv题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一

6、般难度较小，属于基础题【技能方法】1判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：（1）特殊点法（线定界，点定域）；（2）符号判断法（同上异下）2.求解线性规划问题的一般步骤：（1）列出线性约束条件及线性目标函数；（2）作图画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线；（3）平移将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；（4）求值解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.【易错指导】（1）画不等式表示的平面区域，若含等号，则边界线画成实线；否则边界线画成虚线（2）线性目标函数的几何意义：是直线在轴上的截距（3）整点可行解就是可行域中横

7、坐标和纵坐标都是整数的点；最优解一定是可行解；但可行解不一定是最优解；最优解可能唯一，也可能有无穷多个或者无最优解在实际问题中变量除了受题目中已知的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用题中，人数必须是自然数，在解题中不要忽视这些隐含的制约条件v举一反三·触类旁通考向1 简单的线性规划问题【例4】【20xx高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为 （ ）ab6c10d17【答案】b【解析】可行域为一个三角形abc及其内部，其中，直线过点b时取最小值6，选b【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实

8、线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围【跟踪训练】【20xx辽宁大连双基测试】已知点满足不等式组，则的最大值为 （ ）a b c d考向2 线性规划应用题【例5】【20xx高考新课标1文数】某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a需要甲材料15kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料05kg，乙材料03kg，用3个工时，生产一件产品a的利润为2100元，生产一件产品b的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过60

9、0个工时的条件下，生产产品a、产品b的利润之和的最大值为 元【答案】【解析】试题分析：设生产产品、产品分别为、件，利润之和为元，那么目标函数二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域将变形，得，平行直线，当直线经过点时， 取得最大值解方程组，得的坐标【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误【跟踪训练】【20xx高考天津文数】(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混

10、合肥料，需要a，b，c三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有a种原料200吨，b种原料360吨，c种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数()用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润【答案】（）详见解析；（）生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元【解析】（）根据生产原料不能超过a种原料200吨，b种原料360吨

11、，c种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润试题解析：（）由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区线经过可行域中的点时，截距的值最大，即的值最大解方程组得点的坐标为，所以答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答而求线性规划最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是

12、求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法考向3 线性规划中的参数问题【例6】【湖北师大一附中高三一模测试】已知变量满足若目标函数取到最大值，则的值为( )a b c d【答案】b【解析】由所确定的可行域为如下图所示的三角形，若直线的斜率满足，即时，由图可知，直线通过可行域内的点时有最大值，此时得，符合题意；当直线的斜率满足或，即或时，直线通过可行域内的点时有最大值，此时得，不符合题意，舍去，故选b【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题

13、的关键【跟踪训练1】【厦门一中高三质检卷】若满足条件，当且仅当时，取得最大值，则实数的取值范围是（ ）a b c d【答案】【跟踪训练2】【20xx辽宁大连八中、二十四中联考】7、设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（ ）a2 b4 c6 d8 【答案】b【解析】考向4 线性规划与解析几何【例7】【20xx高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）a b c d 【答案】b【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误【跟踪训练】【20xx高考浙江理数】在平面上，过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为ab，则ab= （ ）a2 b4 c3 d【答案】c【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，故选c【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误考向5 线性规划