数学理一轮教学案：第十八章　不等式选讲 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料 2019.5第十八章不等式选讲考纲展示命题探究1不等式的基本性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.(3)如果a>b，那么ac>bc.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么an>bn(nn，n2)(6)如果a>b>0，那么>(nn，n2)2基本不等式定理1如果a，br，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2(基本不等

2、式)如果a，b>0，那么，当且仅当ab时，等号成立即：两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均定理3如果a，b，cr，那么，当且仅当abc时，等号成立即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立3绝对值三角不等式定理1如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：不等式a>0a

3、0a<0|x|<aa<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|x0且xrr(2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法：零点分类讨论法含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用零点分类讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤为：a令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；b将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；c由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这

4、些不等式，求出解集；d取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集利用|xa|的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|<c(c>0)或|xa|xb|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题的关键注意点零点分类讨论法的注意事项分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏，二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.1思维辨析

5、(1)对|ab|a|b|当且仅当a>b>0时等号成立()(2)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)|axb|c的解等价于caxbc.()(5)若|x|>c的解集为r，则c0.()(6)不等式|x1|x2|<2的解集为.()答案(1)×(2)×(3)(4)(5)×(6)2函数y|x4|x6|的最小值为()a2 b4c6 d10答案a解析解法一：y|x4|x6|4x|x6|(4x)(x6)|2.解法二：|x4|x6|表示在数轴上，x对应的点到4与6对应点的距离之和，随着x在

6、数轴上的移动易看出|x4|x6|2，故选a.3如果存在实数x使不等式|x1|x2|<k成立，则实数k的取值范围是_答案k>3解析由|x1|x2|可得|x1|x2|的最小值为3.故k>3.考法综述绝对值不等式的解法，不等式中的最值问题，以及含有绝对值的恒成立、存在性参数的取值范围问题是高考中的热点命题法1含绝对值不等式的解法典例1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2<x<3时，f(x)3无解；当x3时

7、，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故a的取值范围为3,0【解题法】含绝对值不等式的常用解法 (1)基本性质法：对ar，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号 (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 (4)几何法：利用绝对值的几何意义

8、，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解命题法2绝对值不等式中的最值问题典例2若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_解析解法一：不等式|xa|x1|3表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3.因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时，即点x在点a和点1之间时，此时距离之和为|a1|，要使不等式|xa|x1|3有解，则|a1|3，解得2a4.解法二：因为存在实数x使|xa|x1|3成立，所以(|xa|x1|)min3，又|xa|x1|xa(x1)|a1|，所以|a1|3，

9、解得2a4.答案2a4【解题法】含绝对值不等式的最值问题的解法若存在实数使不等式成立问题实质是不等式有解问题，即有这样的x即可，可转化为最值问题若存在实数x，使f(x)a成立，则f(x)mina即可；若存在实数x，使f(x)a成立，即f(x)maxa.1不等式|x1|x5|<2的解集是()a(，4) b(，1)c(1,4) d(1,5)答案a解析当x<1时，不等式可化为(x1)(x5)<2，即4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当1x5时，不等式可化为x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此时不等式的解集为1,4)；当

10、x>5时，不等式可化为(x1)(x5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为(，4)故选a.2若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析设y|2x1|x2|可得最小值为，根据条件可得a2a2，即2a2a10，解得1a.3若关于x的不等式|ax2|<3的解集为，则a_.答案3解析由不等式的解集可知，为不等式对应的方程|ax2|3的根，即，解得a3.4.已知函数f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)当a1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a

11、的取值范围解(1)当a1时，f(x)>1化为|x1|2|x1|1>0.当x1时，不等式化为x4>0，无解；当1<x<1时，不等式化为3x2>0，解得<x<1；当x1时，不等式化为x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a，b(2a1,0)，c(a，a1)，abc的面积为(a1)2.由题设得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，)5已知关于x的不等式|xa|<b的解集为x|2<x<4(1)求实数a，

12、b的值；(2)求的最大值解(1)由|xa|<b，得ba<x<ba，则解得a3，b1.(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.6已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c.当且仅当axb时，等号成立又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当

13、且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.7解不等式x|2x3|2.解原不等式可化为或解得x5或x.综上，原不等式的解集是.8.设函数f(x)|xa|(a>0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围解(1)证明：a>0，f(x)|xa|(xa)aa22.当且仅当a1时取等号，f(x)2.(2)f(3)<5，|a3|<5，即3|a3|<5，2<a3<2，解得<a<，a的取值范围是.9若a>0，b>0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，

14、得ab2，当ab时，“”成立故a3b324，当ab时，“”成立a3b3的最小值为4.(2)2a3b24.由于4>6，从而不存在a，b，使得2a3b6.10设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为m，g(x)4的解集为n.(1)求m；(2)当xmn时，证明：x2f(x)xf2(x).解(1)f(x)当x1时，由f(x)3x31，得x，1x.当x<1时，由f(x)1x1，得x0，0x<1.f(x)1的解集为m.(2)证明：由g(x)16x28x14，得1624，x.n，mn.当xmn时，f(x)1x，x2f(x)xf2(x)xf(x)xf(x)x

15、·f(x)x(1x)2.故要证的不等式成立1不等式的证明方法(1)比较法作差法：要证明a>b，只需证ab>0.作商法：要证明a>b，b>0，只要证>1.(2)综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论(3)分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫分析法(4)反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明

16、的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法(5)放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种证明方法叫放缩法2柯西不等式与排序不等式(1)二维形式的柯西不等式定理1若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)柯西不等式的向量形式定理2设，是两个向量，则|·|·|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)二维形式的三角不等式定理3设x1，y1，x2，y2r，那么.(4)一般形式的柯西不等式定理设a

17、1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(5)排序不等式(排序原理)定理设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，即a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和注意点利用柯西不等式证明时的注意事项利用柯西不等式证明时，一定要注意等号成立的条件.1思维辨析(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c

18、全不为0”()(2)若实数x、y适合不等式xy>1，xy>2，则x>0，y>0.()(3)不等式(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2仅当bi0时，等号成立()(4)设、是两个向量，则|·|当且仅当存在实数k，使k时，等号成立()答案(1)×(2)(3)×(4)×2若|ac|<|b|，则下列不等式中正确的是()aa<bc ba>cbc|a|>|b|c| d|a|<|b|c|答案d解析|a|c|ac|<|b|，即|a|<|b|c|.故选d.3已知a>2，b>2，则ab

19、与ab的大小关系是_答案ab<ab解析ab(ab)(a1)(b1)1>0.ab>ab.故填ab<ab.考法综述不等式的各种证明方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、柯西不等式法等在应用柯西不等式时，注意常数的巧拆、结构的巧变、巧设数等命题法不等式的证明典例(1)已知函数f(x)m|x2|，mr，且f(x2)0的解集为1,1求m的值；若a，b，cr，且m，求证：a2b3c9.(2)已知实数x，y满足：|xy|<，|2xy|<，求证：|y|<.解(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为 x|m

20、xm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.证明：由(1)知1，又a，b，cr，故由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.(2)证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|<，|2xy|<，从而3|y|<，所以|y|<.【解题法】1.柯西不等式的应用规律在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题2放缩法证明不等式的常用方法(1)添加或舍去一些项，如a2a12>2.(2)将分子或分母放大(或缩小

21、)，如<；>.(3)利用真分数的性质：若0<a<b，m>0，则<.(4)利用基本不等式，如a2b22ab.(5)利用绝对值不等式定理：|a|b|a±b|a|b|.(6)利用函数的单调性1设a，b，m，nr，且a2b25，manb5，则 的最小值为_答案解析由柯西不等式：·manb，.2.设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若ab>cd，则>；(2)>是|ab|<|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，ab>cd得()2>()2.因此>.(2)若|a

22、b|<|cd|，则(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因为abcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，则()2>()2，即ab2>cd2.因为abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.综上，>是|ab|<|cd|的充要条件3设a>0，b>0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a<2与b2b<2不可能同时成立证明由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，

23、即ab2，当且仅当ab1时等号成立(2)假设a2a<2与b2b<2同时成立，则由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab1矛盾故a2a<2与b2b<2不可能同时成立4已知x>0，y>0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明由基本不等式分别当且仅当xy21，x2y1时，“”成立因此(1xy2)(1x2y)99xy，当且仅当xy1时，“”成立5已知定义在r上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r为正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解(

24、1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，“”成立，f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明：由(1)知，pqr3，又p，q，r是正实数，(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29.即p2q2r23.已知a，b，c(0，)，且2，求a2b3c的最小值错解错因分析一是给原式乘以时改变了原式的大小，二是没有写出等号成立的条件正解(a2b3c)××(144612)18，(当且仅当abc3时等号成立)当abc3时，a2b3c取得最小值18.心得体会时间：60分钟基础组1.20xx·枣强中学期中不等

25、式|x|x2的解集为_答案(，1解析当x0时，原不等式即2x2，得x1，所以0x1；当x<0时，原不等式即02，总成立综上知原不等式的解集为(，1220xx·冀州中学期末函数y|2x1|2|x1|的最大值为_答案3解析因为y|2x1|2|x1|2x1|2x2|2x1(2x2)|3(当x1时取等号)，所以函数的最大值为3.320xx·衡水中学预测不等式|2x1|2|x1|>0的解集为_答案解析解法一：原不等式可化为|2x1|>2|x1|，两边平方得4x24x1>4(x22x1)，解得x>，所以原不等式的解集为.解法二：原不等式等价于或或.解得x&

26、gt;，所以原不等式的解集为.420xx·枣强中学热身不等式|x3|x2|3的解集为_答案x|x1解析原不等式等价于或或，解得1x<2或x2, 故原不等式的解集为x|x1520xx·衡水中学猜题若a>b>1，则a与b的大小关系是_答案a>b解析aab.由a>b>1得ab>1，ab>0，所以>0.即a>b.620xx·衡水中学一轮检测若<<0，则下列四个结论：|a|>|b|；ab<ab；>2；<2ab，其中正确的是_答案解析<<0，b<a<0，|b

27、|>|a|，错；ab<0，ab>0，ab<ab，对；>22，对；由b<0，变形为a2b2>2ab恒成立，对720xx·冀州中学模拟已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_答案解析2x2(xa)2a22a2a47，a.820xx·衡水二中周测以下三个命题：若|ab|<1，则|a|<|b|1；若a，br，则|ab|2|a|ab|；若|x|<2，|y|>3，则|<，其中正确命题的序号是_答案解析|a|b|ab|<1，所以|a|<|b|1；|ab|ab|(ab)(ab)|2

28、a|，所以|ab|2|a|ab|；|x|<2，|y|>3，所以<，所以|x|·<.故三个命题都正确920xx·枣强中学仿真若关于x的不等式|x1|xm|>3的解集为r，则实数m的取值范围是_答案(，4)(2，)解析若|x1|xm|>3的解集为r，即不等式恒成立，则|x1|xm|(xm)(x1)|m1|>3，解得m>2或m<4.1020xx·衡水二中月考对于任意实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|x1|恒成立，则实数x的取值范围是_答案1x3解析不等式恒成立，只需不等式的左边的最小值|a|x1|，由绝对值三角不等式得|ab|ab|(ab)(ab)|2a|2|a|，故只需求解2|a|a|x1|即可，解得1x3.1120xx·武邑中学热身已知关于x的不等式|ax2|axa|2(a>0)(1)当a1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为r，求实数a的取值范围解(1)当a1时，原不等式为|x2|x1|2.原不等式的解集为或或，即x或x，不等式的解集为.(2)|ax2|axa|a2|，原不等式的解集为r等价于|a2|2，a4或a0，又a>0，实数a的取值范围为a4.1220xx·冀