全国高考理科数学试题分类汇编：立体几何

1、高考数学精品复习资料 2019.5全国高考理科数学试题分类汇编全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何：立体几何一、选择题1. （高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）a35003cmb38663cmc313723cmd320483cm*a 2. （广东省数学（理）卷）设,m n是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）a若,m,n,则mnb若/,m,n,则/mn c若mn,m,n,则d若m,/mn,/n,则*d 3

2、. （上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（）a1:2b1:4c1:8d1:16*c 4. （大纲版数学（理） ）已知正四棱柱1111abcdabc d中12aaab,则cd与平面1bdc所成角的正弦值等于（）a23b33c23d13*a 5. （高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）a168b88c16 16d8 16*a 6. （高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1v,2v,3v,4v,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面

3、体,则有（）a1243vvvvb1324vvvvc2134vvvvd2314vvvv *c 7. （高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）a1 b2c2-12d2+12 *c 8. （广东省数学（理）卷）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （）a4b143c163d6*b 9. （新课标卷数学（理） ）已知nm,为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,lm ln ll,则（）a/,且/lb,且lc与相交,且交线垂直于ld与相交,且交线平行于l*d 10.（2013 年山东数学（理）试题）已知三棱柱111a

4、bcabc的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若p为底面111abc的中心,则pa与平面abc所成角的大小为（）a512b3c4d6*b 11.（重庆数学（理）试题）某几何体的三视图如题 5图所示,则该几何体的体积为（）a5603b5803c200d240*c 12211正视图俯视图侧视图第第 5 5 题图题图12.（辽宁数学（理）试题）已知三棱柱111abcabc的 6 个顶点都在球o的球面上,若34abac，,abac,112aa ,则球o的半径为（）a3 172b2 10c132d3 10 *c 13.（高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面

5、上,且ab cd,正方体的六个面所在的平面与直线 ce,ef 相交的平面个数分别记为,m n,那么mn（）a8b9c10d11*a 14.（新课标卷数学（理） ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zox平面为投影面,则得到正视图可以为 （）abcd *a 15.（安徽数学（理）试题）在下列命题中,不是公理的是（）a平行于同一个平面的两个平面相互平行b过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面c如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内d如果两个不重合的平

6、面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线*a 16.（浙江数学（理）试题）在空间中,过点a作平面的垂线,垂足为b,记)(afb.设,是两个不同的平面,对空间任意一点p,)(),(21pffqpffq,恒有21pqpq ,则（）a平面与平面垂直b平面与平面所成的(锐)二面角为045 c平面与平面平行d平面与平面所成的(锐)二面角为060 *a 17.（高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 *d 二、填空题18.（高考上海卷（理） ）在xoy平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y 和1y 围成的封闭图形

7、记为 d,如图中阴影部分.记 d 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为,过(0, )(| 1)yy 作的水平截面,所得截面面积为2418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_*2216. 19.（高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_3_.1121*3 20.（大纲版数学（理） ）已知圆o和圆k是球o的大圆和小圆,其公共弦长等于球o的半径,32ok ,且圆o与圆k所在的平面所成的一个二面角为60,则球o的表面积等于_.*16 21.（高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体abcd-a1b1c1d1中,e为bc的中点,点p在线段d1e上,点p

8、到直线cc1的距离的最小值为_. * 2 55 22.（江苏卷（数学） ）如图,在三棱柱abccba111中,fed，分别是1aaacab，的中点,设三棱锥adef 的体积为1v,三棱柱abccba111的体积为2v,则21:vv_.1d1bpd1cceba1a *1:24 23.（浙江数学（理）试题）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_2cm. *24 24.（安徽数学（理）试题）如图,正方体1111abcdabc d的棱长为 1,p 为 bc 的中点,q为线段1cc上的动点,过点 a,p,q 的平面截该正方体所得的截面记为 s.则下列命题正确的是_(写出所有正确

9、命题的编号).当102cq时,s 为四边形;当12cq 时,s 为等腰梯形;当34cq 时,s 与11c d的交点 r 满足1113c r ;当314cq时,s 为六边形;当1cq 时,s 的面积为62.* 25.（辽宁数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.abc1adef1b1c43233正视图侧视图俯视图（第 12 题图）*1616 26.（福建数学（理）试题）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_*12 27.（上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方

10、体1111abcdabc d中,异面直线1ab与1bc所成角的大小为_ *3 三、解答题28.（辽宁数学（理）试题）如图,ab 是圆的直径,pa 垂直圆所在的平面,c 是圆上的点.(i)求证:pacpbc平面平面；(ii)2.abacpacpba若，1，1，求证：二面角的余弦值d1c1b1a1dcab* 29.（重庆数学（理）试题）如图,四棱锥pabcd中,paabcd 底面,2,4,3bccdacacbacd ,f为pc的中点,afpb.(1)求pa的长; (2)求二面角bafd的正弦值.* 30.（安徽数学（理）试题）如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5.ab和

11、cd是底面圆o上的两条平行的弦,轴op与平面pcd所成的角为60.()证明:平面pab与平面pcd的交线平行于底面; ()求coscod.*解: () pabp d,/ / /cmabcdcdpcdabpcd设面面直线且面面 / /abm直线 abcdmabcdab面直线面/. 所以,abcddppab的公共交线平行底面与面面c. () rpoopffcdr5 .22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. 5 .22tan15 .22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2codrofpoof. )223(3), 1-2(321cos, 1-25 .22

12、tan12cos2cos22codcodcod212-17cos. 212-17coscodcod所以. 法二: 31.（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）如图,在四面体bcda中,ad平面bcd,22, 2,bdadcdbc.m是ad的中点,p 是bm的中点,点q在线段ac上,且qcaq3.(1)证明:/pq平面bcd;(2)若二面角dbmc的大小为060,求bdc的大小. *解:证明()方法一:如图 6,取md的中点f,且m是ad中点,所以3affd.因为p是bm中点,所以/ /pfbd;又因为()3aqqc且3affd,所以/ /qfbd,所以面/ /pqf面bdc,且pq 面

13、bdc,所以/ /pq面bdc; abcdpqm（第 20 题图） 方法二:如图 7 所示,取bd中点o,且p是bm中点,所以1/ /2pomd;取cd的三等分点h,使3dhch,且3aqqc,所以11/ / /42qhadmd,所以/ / /poqhpqoh,且ohbcd,所以/ /pq面bdc; ()如图 8 所示,由已知得到面adb 面bdc,过c作cgbd于g,所以cgbmd,过g作ghbm于h,连接ch,所以chg就是cbmd的二面角;由已知得到813bm ,设bdc,所以 cos,sin2 2cos,2 2cossin,2 2sin,cdcgcbcdcgbcbdcdbd, 在rt

14、bcg中,2sin2 2sinbgbcgbgbc,所以在rt bhg中, 2212 2sin332 2sinhghg,所以在rt chg中 22 2cossintantan6032 2sin3cgchghg tan3(0,90 )6060bdc; 32.（上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111abcabc中,16aa ,异面直线1bc与1aa所成角的大小为6,求该三棱柱的体积. *解因为1cc 1aa. 所以1bc c为异面直线1bc与1aa.所成的角,即1bc c=6. 在 rt1bc c中,113tan62 33bcccbc c, 从而233 34abcsbc, 因此该三

15、棱柱的体积为13 3 618 3abcvsaa. 33.（江苏卷（数学） ）本小题满分 14 分.如图,在三棱锥abcs 中,平面sab平面sbc,bcab ,abas ,过a作sbaf ,垂足为f,点ge，分别是棱scsa，的中点.求证:(1)平面/efg平面abc; (2)sabc . *证明:(1)abas ,sbaf f 分别是 sb 的中点 e.f 分别是 sa.sb 的中点 efab 又ef平面 abc, ab平面 abc ef平面 abc 同理:fg平面 abc 又effg=f, ef.fg平面 abc平面/efg平面abc (2)平面sab平面sbc 平面sab平面sbc=bc

16、 b1a1c1acbabcsgfeaf平面 sab afsb af平面 sbc 又bc平面 sbc afbc 又bcab , abaf=a, ab.af平面 sab bc平面 sab 又sa平面sabbcsa 34.（高考上海卷（理） ）如图,在长方体 abcd-a1b1c1d1中,ab=2,ad=1,a1a=1,证明直线 bc1平行于平面 da1c,并求直线 bc1到平面 d1ac 的距离.d1c1b1a1dcba*因为 abcd-a1b1c1d1为长方体,故1111/,abc d abc d, 故 abc1d1为平行四边形,故11/bcad,显然 b 不在平面 d1ac 上,于是直线 bc

17、1平行于平面 da1c; 直线 bc1到平面 d1ac 的距离即为点 b 到平面 d1ac 的距离设为h 考虑三棱锥 abcd1的体积,以 abc 为底面,可得111(1 2) 1323v 而1adc中,115,2acdcad,故132ad cs 所以,13123233vhh,即直线 bc1到平面 d1ac 的距离为23. 35.（高考湖北卷（理） ）如图,ab是圆o的直径,点c是圆o上异于,a b的点,直线pc 平面abc,e,f分别是pa,pc的中点.(i)记平面bef与平面abc的交线为l,试判断直线l与平面pac的位置关系,并加以证明;(ii)设(i)中的直线l与圆o的另一个交点为d,

18、且点q满足12dqcp .记直线pq与平面abc所成的角为,异面直线pq与ef所成的角为,二面角elc 的大小为,求证:sinsinsin. *解:(i)efac,acabc 平面,ef abc 平面 efabc平面 又efbef 平面 efl lpac 平面 (ii)连接 df,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 第 19 题图 36.（广东省数学（理）卷）如图 1,在等腰直角三角形abc中,90a,6bc ,d e分别是,ac ab上的点,2cdbe,o为bc

19、的中点.将ade沿de折起,得到如图2 所示的四棱锥abcde,其中3a o.() 证明:a o平面bcde; () 求二面角acdb的平面角的余弦值. *() 在图 1 中,易得3,3 2,2 2ocacad .cobdeacdobea图 1图 2cdoxea向量法图向量法图yzb 连结,od oe,在ocd中,由余弦定理可得 222cos455odoccdoc cd 由翻折不变性可知2 2a d, 所以222a ooda d,所以a ood, 理可证a ooe, 又odoeo,所以a o平面bcde. () 传统法:过o作ohcd交cd的延长线于h,连结a h, 因为a o平面bcde,所

20、以a hcd, 所以a ho为二面角acdb的平面角. 结合图 1 可知,h为ac中点,故3 22oh ,从而22302a hohoa 所以15cos5oha hoa h,所以二面角acdb的平面角的余弦值为155. 向量法:以o点为原点,建立空间直角坐标系oxyz如图所示, 则0,0, 3a,0, 3,0c,1, 2,0d 所以0,3, 3ca ,1,2, 3da 设, ,nx y z为平面a cd的法向量,则 00n can da ,即330230yzxyz ,解得3yxzx ,令1x ,得1, 1, 3n 由() 知,0,0, 3oa 为平面cdb的一个法向量, 所以315cos,535

21、n oan oan oa ,即二面角acdb的平面角的余弦cdobeah值为155. 37.（天津数学（理）试题）如图, 四棱柱abcd-a1b1c1d1中, 侧棱a1a底面abcd, ab/dc, abad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e为棱aa1的中点. () 证明b1c1ce; () 求二面角b1-ce-c1的正弦值. () 设点m在线段c1e上, 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为26, 求线段am的长. * 38.（高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=a a1,ba a1=60.()证明 aba1c;(

22、)若平面 abc平面 aa1b1b,ab=cb=2,求直线 a1c 与平面 bb1c1c 所成角的正弦值.*()取 ab 中点 e,连结 ce,1ab,1ae, ab=1aa,1baa=060,1baa是正三角形, 1aeab, ca=cb, ceab, 1ceae=e,ab面1cea, ab1ac; ()由()知 ecab,1eaab, 又面 abc面11abb a,面 abc面11abb a=ab,ec面11abb a,ec1ea, ea,ec,1ea两两相互垂直,以 e 为坐标原点,ea 的方向为x轴正方向,|ea |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系oxyz, 有题设知 a(1,0

23、,0),1a(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0),则bc =(1,0,3),1bb=1aa=(-1,0,3),1ac=(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面11cbbc的法向量, 则100bcbb nn,即3030 xzxy,可取n=(3,1,-1), 1cos, acn=11|acacn|n|105, 直线 a1c 与平面 bb1c1c 所成角的正弦值为105 39.（高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形, o为底面中心, a1o平面abcd, 12abaa. () 证明: a1c平面bb1d1d; () 求平面

24、ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小. od1b1c1dacba1*解:() bdoaabcdbdabcdoa11,面且面;又因为,在正方形 ab cd 中,bdcaacacaacabdaacoabdac11111,，故面且面所以；且. 在正方形 ab cd 中,ao = 1 . . 111oaoaart中，在 oecaoceaedb1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设. ，所以由以上三点得且，面面又oobdddbboddbbbd111111e.e,ddbbca111面.(证毕) () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 o 为原点,以 oc 为 x 轴正方向,以 ob 为 y

25、 轴正方向.则 ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0111cabacb，）（. 由()知, 平面bb1d1d的一个法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（ocobcan 设平面ocb1的法向量为，则0, 0,2122ocnobnn ).1- , 1 , 0(向向向2n为解得其中一个21221|,cos|cos212111nnnnnn. 所以,平面ocb1与平面bb1d1d的夹角为3 40.（高考江西卷（理） ）如图,四棱锥pabcd中,pa,abcd ebd平面为的中点,od1b1c1da

26、cba1gpd为的中点，3,12dabdcb eaebabpa ，,连接ce并延长交ad于f.(1) 求证:adcfg 平面;(2) 求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值.*解:(1)在abd中,因为e是bd的中点,所以1eaebedab, 故,23badabeaeb , 因为dabdcb ,所以eabecb , 从而有fedfea , 故,efad affd,又因为,pggd所以fgpa. 又pa平面abcd, 所以,gfad故ad 平面cfg. (3) 以点a为坐标原点建立如图所示的坐标系,则33(0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0)22abcd, (4) 3(0

27、,0, )2p,故1333 333(0),(, ),(,0)2222222bccpcd ， 设平面bcp的法向量111(1,)ny z,则111130223330222yyz , 解得113323yz ,即13 2(1, )33n . 设平面dcp的法向量222(1,)nyz ,则222330223330222yyz,解得2232yz, 即2(1, 3,2)n .从而平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值为1212423cos41689n nn n . 41.（高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱11abcabc中,侧棱1aa 底面abc,12abacaa,120bac,1,d d分别是线段11,

28、bc bc的中点,p是线段ad的中点.()在平面abc内,试作出过点p与平面1abc平行的直线l,说明理由,并证明直线l 平面11add a;()设()中的直线l交ab于点m,交ac于点n,求二面角1aamn的余弦值.d1dcba1b1c1ap*解: 如图,在平面abc内,过点p做直线l/bc,因为l在平面1abc外, bc在平面1abc内,由直线与平面平行的判定定理可知, l/平面1abc. 由已知,abac,d是bc的中点,所以,bcad,则直线lad. 因为1aa 平面abc,所以1aa 直线l.又因为1,ad aa在平面11add a内,且ad与1aa相交,所以直线平面11add a

29、解法一: 连接1ap,过a作1aeap于e,过e作1efam于f,连接af. 由 知,mn 平面1aea,所以平面1aea平面1amn. 所以ae 平面1amn,则1amae. 所以1am 平面aef,则1am af. 故afe为二面角1aamn的平面角(设为). 设11aa ,则由12abacaa,120bac,有60bad,2,1abad. 又p为ad的中点,所以m为ab的中点,且1,12apam, 在1rt aap中, 152ap ;在1rt a am中, 12am . 从而,1115aaapaeap,1112aaamafam, 所以2sin5aeaf. 所以22215cos1 sin1

30、55. 故二面角1aamn的余弦值为155 解法二: 设11aa .如图,过1a作1ae平行于11bc,以1a为坐标原点,分别以111,ae ad ,1aa的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系oxyz(点o与点1a重合). 则10,0,0a,0,0,1a. 因为p为ad的中点,所以,m n分别为,ab ac的中点, 故3 13 1,1 ,12222mn, 所以13 1,122am,10,0,1a a ,3,0,0nm . 设平面1aam的一个法向量为1111,nx y z,则 1111,namna a 即11110,0,namna a故有 1111113 1,10,22,0,0

31、,10,x y zx y z 从而1111310,220.xyzz 取11x ,则13y ,所以11,3,0n . 设平面1amn的一个法向量为2222,nxy z,则 212,namnnm 即2120,0,namnnm 故有2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxy z 从而2222310,2230.xyzx 取22y ,则21z ,所以20,2, 1n . 设二面角1aamn的平面角为,又为锐角, 则12121,3,00,2, 115cos525nnnn. 故二面角1aamn的余弦值为155 42.（江苏卷（数学） ）本小题满分 10 分.如图,在直三棱柱111abcabc

32、中,acab ,2 acab,41aa,点d是bc的中点(1)求异面直线ba1与dc1所成角的余弦值(2)求平面1adc与1aba所成二面角的正弦值.*本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以1,aaacab为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyza, 则)0 , 0 , 0(a)0 , 0 , 2(b,)0 , 2 , 0(c,)4 , 0 , 0(1a,)0 , 1 , 1 (d,)4 , 2 , 0(1c )4, 0 , 2(1ba,)4, 1, 1 (1ba 10103182018,cos111111dcbadcbad

33、cba 异面直线ba1与dc1所成角的余弦值为10103 (2)0 , 2 , 0(ac 是平面1aba的的一个法向量 设平面1adc的法向量为),(zyxm ,)0 , 1 , 1 (ad,)4 , 2 , 0(1ac 由1,acmadm 0420zyyx 取1z,得2, 2xy,平面1adc的法向量为) 1 , 2, 2( m 设平面1adc与1aba所成二面角为 32324,coscosmacmacmac, 得35sin 平面1adc与1aba所成二面角的正弦值为35 43.（大纲版数学（理） ）如图,四棱锥pabcd中,902,abcbadbcadpab ，与pad都是等边三角形.(i

34、)证明:;pbcd (ii)求二面角apdc的大小.* 44.（山东数学（理）试题）如图所示,在三棱锥pabq中,pb 平面abq,babpbq,d c e f 分别是,aq bq ap bp的中点,2aqbd,pd与eq交于点g,pc与fq交于点h,连接gh.()求证:ab gh; ()求二面角dghe的余弦值. *解:()证明:因为,d c e f 分别是,aq bq ap bp的中点, 所以efab,dcab,所以efdc, 又ef 平面pcd,dc 平面pcd, 所以ef平面pcd, 又ef 平面efq,平面efq平面pcdgh, 所以efgh, 又efab, 所以abgh. ()解法

35、一:在abq中, 2aqbd,addq, 所以=90abq,即abbq,因为pb 平面abq,所以abpb, 又bpbqb,所以ab 平面pbq,由()知abgh, 所以gh 平面pbq,又fh 平面pbq,所以ghfh,同理可得ghhc, 所以fhc为二面角dghe的平面角,设2babqbp,连接pc, 在trfbc中,由勾股定理得,2fc , 在trpbc中,由勾股定理得,5pc , 又h为pbq的重心,所以1533hcpc 同理 53fh , 在fhc中,由余弦定理得552499cos5529fhc , 即二面角dghe的余弦值为45. 解法二:在abq中,2aqbd,addq, 所以9

36、0abq,又pb 平面abq,所以,ba bq bp两两垂直, 以b为坐标原点,分别以,ba bq bp所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2babqbp,则(1,0,1)e,(0,0,1)f,(0,2,0)q,(1,1,0)d,(0,1,0)c(0,0,2)p,所以( 1,2, 1)eq ,(0,2, 1)fq ,( 1, 1,2)dp ,(0, 1,2)cp , 设平面efq的一个法向量为111( ,)mx y z, 由0m eq ,0m fq , 得111112020 xyzyz 取11y ,得(0,1,2)m . 设平面pdc的一个法向量为222(,)nxyz

37、由0n dp ,0n cp , 得222222020 xyzyz 取21z ,得(0,2,1)n .所以4cos,5m nm nm n 因为二面角dghe为钝角,所以二面角dghe的余弦值为45. 45.（高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱1111/ /abcdabc dadbc中，,90 ,1badacbd bc,13adaa.(i)证明:1acb d; (ii)求直线111bcacd与平面所成角的正弦值.*解: () acbbabcdbdabcdbbdcbaabcd111111,面且面是直棱柱 dbacbdbdbbdbacbbbbdbdac11111,，面。面且又. (证毕) ()。的

38、夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/acdadacdcbadbccb 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向xadyaba bdacybdyacycybdda),0 , 3(),0 , 1 ()0 , 1 (),0 , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 01，则，设 ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 003012adacyyybdac），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111adnacdadnacnnacd 7213733|,cos|sin003,313-1adnad

39、nacd），（），（的一个法向量平面 72111夹角的正弦值为与平面所以acdbd. 46.（福建数学（理）试题）如图,在四棱柱1111abcdabc d中,侧棱1aaabcd 底面,/ /abdc,11aa ,3abk,4adk,5bck,6dck(0)k .(1)求证:11;cdadd a 平面(2)若直线1aa与平面1abc所成角的正弦值为67,求k的值;(3)现将与四棱柱1111abcdabc d形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为( )f k,写出( )f k的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)*解:()取cd中点e,连接be / /abdeq,3abdek 四边形abed为平行四边形 / /bead且4bead