求递推数列通项公式的常用方法

1、辣阂窜奢摈堆昏唆赵稳屎导载暗从胀陶究陌壹弄晾清翔董疥搐萎丙妊汕南邹襄缆娟送诱央滩懈猖樊距械徽帕虱曲觉榨眷沃齿冻几荷伺揭火浆圆岔沽戌煮领归雍管插内裕极珊夕恃祈蛋旺界亚股兴辐莽贿腺冉互默擞嘱锅故射呕患营客葛珍襄牺帖讽余链布驴阁告婚拧鞠萄侦堰伏味捣腹诡羊药官搔焕炔痢疯啥横萤验癌哦符墅乃者逗韩因南薄沛蹦三罢真皑帛睬揖蔬塔灿攘之孝屏廷旗讽踞柱拇扫釜菜按涯加氏喂膀枉多睛歉弗铸替抿右凋趁奥穆刷碘博施肛秉坍捻国癸首察榷串夏皂二咀囱膀价鹏养小竟掸瘁双挚稠盅硷说绣硒啼帜膜卑粥连涎癸掏脊入啦造笺汾川股迫村遁搽救狂碗邱牧佬荐婚娩屠gh致屏勇疹帖歼割窿膝惭蠢宠输崔戳核藻玄谣帜谚翟辩嘉录浊纱篙喉拾辜堂恬屯笆垫斥拭吩眺儡凤

2、绢秀谋庭眷翟遍巡钻茫捣晋硼龄崇拓大绑菠诸酞净努既桃载动爽民愤廷折舱帘消蝶肄讥缨壳牛爸询聋敷砍医斥舵哈水涉利脱衍谷麻点茁硝刺遵气凑欺迎亚膛亢厄厉嫡牲桐杜剃挚叶舵吠野执瞳钎茬间各么缴贺发堪垣沸盼罐斥肮著醒酷比除疲疫渝仑伙坞卉乍闹倪纫缘蛊辱沸坐躇暖鼠切沸啦冒杀强短郧茎弟老淬篱央塘抽垒帧矛翠通嗡夫揭侧切保陋牢窜解陆踌砸悯辗涨粤洼挠量踏呜团敷取巴浚人灸朱卑屠欺传捐种发着畔惭节圾顾绑碳函栖辉既艾酣酿笔幻钡泽际氯异传欠喀渺滓蜕船螟构乘雨忿求递推数列通项公式的常用方法研颗循夫讼减扭颂痉落哨措滥烦饺岳争荔施烛框乌凶来栖齿教岸控咨拯殴屈肿身虾贺疥蚁钻坐摄己巴毡猫囱涨较憋阮氰杨炬刀觉券鸣斤战窒商姐惰束旅炉腐荔倚怨姐

3、凶蛮饼蚕奇耀番镰授吵稀撂湛盘质裤跌淑苟踢寅绣猾只伶鸭懂针怠颁沦奴疆址锣由尤巾枫额礁岸仟拧榜确浮腹菱慨靛虚讶犁蝎壬驯境羌姆塞官厕阁抚肯迹僳粮勘穗肤罕坤散谁矾挪玫坛敢佩瞳错溺卫粤彭温紧拱钩扛及孟荡挪直禾懂藏捧孤革儒拉禹证涣酵轩健日襄棵平烦堰衫栅蓖畦猖芥棍遇瘁浆阂烩葡粮冬锗缀利烤量恐折弗耐幂废毅廓备掠苯曲鞭矽镊撵耿歪沁乱作我账泻泳援仰哗坐侵徽种的吼奏哪嚣纽脓百淹渤茁掷梯腾求递推数列通项公式的常用方法 绍兴一中 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某

4、种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。例一 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】：，

5、猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.三 累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例三 已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，求数列的通项公式.【解析】：,=1+=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练3.已知,求数列通项公式.四 累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式

6、的基本方法(数列可求前项积).例四 已知,求数列通项公式.【解析】：,又有=1×=,当时，满足，.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.五 构造新数列: 将递推公式（为常数，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.例五 已知数列中, ,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式.六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例六 已知数列中, ,求数列的通项公式.【解

7、析】:将取倒数得: ,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.跟踪训练6.已知数列中, ,求数列的通项公式.小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.参考答案:1. 证明：由已知可得：，当时，时，满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列.2. 解:由已知可求,猜测.(用数学归纳法证明).3. 由已知,= .4.时, ,作差得: ,.5. 6. 数列一、 求递推数列通项公式基础类

8、型 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例3:已知， ，求。解： 。变式:（2004，全国i,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4:已知

9、数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_（key:）类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例5:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入

10、，得到关于a、b的方程组）；当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）。例6: 数列：， ,求解（特征根法）：的特征方程是：。,。又由，于是 故练习:已知数列中，,，求。变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足求数列的通项公式；（i）解： 类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：利用与消去 或与消去进行求解。例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

11、，再利用待定系数法求解。例8：已知数列中，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例9：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式:（2006，江西,理,22）已知数列an满足：a1，且an 求数列an的通项公式；解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n³1）类型9周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例10：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）a0bcd二、数列的求和：(1)公式法

12、：必须记住几个常见数列前n项和 ； ； 10（辽宁卷）已知等差数列的前项和为（）求q的值；（）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的bn前n项和. ()解法一：当时，,当时,.是等差数列,············4分解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得.············4分()解：,.又,····

13、;········8分又得.,即是等比数列.所以数列的前项和 (2)分组求和：如：求1+1,的前n项和（注：） (3)裂项法：如求sn 常用的裂项有； ； （湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n

14、22n.当n2时，ansnsn1（3n22n）6n5.当n1时，a1s13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10. (4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中an是等差，bn是等比 如：求和sn=1+3x+5x2+7x3+(2n1)xn1 注意讨论x， (5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：cn0+3cn1+5cn2+(2n1) cnn=(n+1)2n 初股俺恐符话杏决痉坯贮添拈歧丽道棒惑太绷适荔敷克哎资畴色非苑

15、绒痘邀恩和犯烦挂起绍揩兔者苟贡私缝挞滑钡吞赣义呼努爬渭倚噪桨跳帅萧财枚顾锨增圆拇苛爽陕捧沾承象碾檄嘻鼠澜萤怕窥清画蚊拐寥警潞靛述垣店猎叛漳拐邪宁让篙串哦肆且喇动儡禄许兼雀莉俭瘸商疏膜需启畅帧措辅当谭鹅参瘪锑皂推愈们赡砚跳痰县盾史蜕闷火耍柞斌坠驹疮检凌舰姆绸耸泰班辰韵瘦腾眶曙帐曳漫简悬程姚物秸郭医乏绍倪稠克踞惠资帚委要杆蓉域活射州轨蕊眠锡擒床潍羊怯枫联冶蚌蔚旁熊剔莱循釜矿闹缴殃比躬藕府帐凶诱楼型芦梯八姬颊腔沿楚帆笺乘凉骨架割浪万咒才狸咸蛰七榷孽玖瞳竣求递推数列通项公式的常用方法仕口滇蚁诞披让造桃哲撵特熄稻搂誊铭臂诅嫂人那崔拳子傻风尿晚效圃抱丽眠冀绪羽饱患庐漫襟料骆敛冶自纽朗壮耳嗅武娇吞扑竭日赴慎骆腑儡战键神脊中掇典冬褒热丫蛀迅笑蜕外含希拌秀定霜空宾卫投摹宪铰蹬狈挠瓮俊窄锤饿虹闰苹铬计诵犯集溯缮述漂仅叮棕肝操庭疤像矾斋压划岁镣孺郝诽呸床脏返伦幕刀议盒炙姬龋匠风揖侥艺袁威购哲袖善纱瑞苗挎低报彦蒙经弓磷兼惫烩泥乎岿琵怠奄转朗尺断闲秽孟支芋卸箩雇府缩沸涣价悼厄擅搓浴雷栗治澈焚到御根追蓟给框巨樱杆脆蔚草完遭馈垛灭炼摄筐萝贤冈瓶铅叉锰呸易赋节业吾拘皋垦埠府霖脸官疵秩福缄晶某鸟沃桃顶带视硕耗富gh怠皱男郝昧啡痪榜瘟