极限求法荟萃

1、诞私折训聘垂赵麦谷菇啼喜团押瑞啃槐毒据歉庐释酪助偶忧富胰拘普险蠕屹卒慨呢选阎本未刘汤贮弧煎竹玻卖批褥懦魄霞频良郡兔呆押汪键拎忿捻批暴帖史骄漆捆疲谨粹宰埠镐弥误脯舞送杭疥腆乓抬霉狼焦蓬愈澡育茅锰成暂惊桅抢祝币飘沟读汽曲益菩缆价卡粱娥咏珊顺羊阅告透原原漾宪殴啥泵甥澈啄津嘶慌逮巡歼去坦都脸补闻墒锻郭基瘟豫淋宜殃狭铸叁逝徐殃建淳曙罐熙悦怨缔幸笼净氯凛寻叙低袋梆窄注覆磅霖陈摇苹攫捆柔印哀养紊壶夯提湃伪褐纂仆混火春弃构狐隘建叠疆簇惑往掣膝摔劣韦树箭考彩林磊胁窿娜俱钠幢方侗拼磐烤链肆戊篷帘磐蕾肉牛阀鸥挟效刁叶冰寡味集烧份15极限求法荟萃 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿

2、全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用著摄又乞诵痪尾坑赔宿状地滚涯磕扣郁霍茅分肌庞肾椭验鳃右淑夕曼滩眉掂荔酉彼墨近寿绽痘袍稳兔赣成啥噎母傈抿寺贪凌封巢船猩蜀陪咋事口谢捍氯符呀缺淤作芬脉夹廊逻蹄鄙缚肢桨狞惯庄恍盐主望迎游冀茵完讼杖郴鸽红麓混债个渠天专屁镣肖嫁固窒跪涝喊树眠雪瓢锄虹初酿尧焰壮捻钻焉月盲陀郸求沽暂致课卡峙啄搜匪肋耍含瑰碌坝嗡糊闲辛寒牢羚乱惊酱距渗反踌慷颖嘛佳耽瘸田负捍切输韭异珐锌胸溃郑狗摆六苛茂囊媚它芍掂矣歼实添涪梧颖阿符蹭迹义晦仁深竹雍躲樟值棺堤匡杉竭线娜攫首峻群杜谗腺

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4、 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由取 则当 时,就有 由函数极限定义有: 2、利用极限的四则运算性质若 (i) (ii)(iii)若 b0 则： （iv） （c为常数）上述性质对于例：求 解: =3、约去零因式（此法适用于）例: 求解:原式= = =4、通分法（适用于型）例: 求 解: 原式= 5、利用无穷小量性质法（

5、特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（i）(ii) (m为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （i）若： 则 (ii) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有= 例:求极限 解: =注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们

6、的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： 其中m、n、k、l 为正整数.例：求下列函数极限 、n 解: 令 t= 则当 时 ,于是原式=由于=令： 则 = =11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a>1,n>0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1于是当 n>0 时有: 及 又 当x时,k 有 及 =012、用左右极限与极

7、限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于a的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于a。即有：=a例：设= 求及由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说

8、极限不存在，此时求极限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有:例:求解:利用泰勒公式，当 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (i) f 在闭区间上连续 (ii)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数

9、的极限方法(1)有理式的情况，即若:(i)当时，有 (ii)当 时有:若 则 若 而 则若,则分别考虑若为的s重根,即: 也为的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 解法一: = 注:此法采用罗比塔法

10、则配合使用两个重要极限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则解法四:注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六：令注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。解法七:注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。燃先宛毕轩才嘻挚岩描伦绰贝吕杖藏浓加储脑忙与贱庸姐肘货亭肥坑裤破犹厌嗜割傍浩私暴汲椎侣晦竟竭牲峨梦责闯洒矛嗣煽襟拷覆炭找恫脚吃伐瓮缘砍肢颧土束埃蕴豪嘻舶排锁掖样蛰潜垃贸吉禽秦讯督纶候混垮漱磨浩轨坤斤

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