椭圆综合题总结(2)

1、椭圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法1. 设直线与方程； （提醒 ：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b 与 x=my+n的区别）2. 设交点坐标； （提醒 :之所以要设是因为不去求出它 , 即“设而不求”）3. 联立方程组；4. 消元韦达定理； （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）5. 根据条件重转化； 常有以下类型： “以弦 AB为直径的圆过点 0”（ 提醒： 需讨论 K是否存在）OA OB K1 K21 OA OB 0x1x2 y1 y2 0 “点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” x1x2 y1

2、y2 0>0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（ K1 K2 0或 K1 K2）； “共线问题”（如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法） ；（如 ：A、O、B 三点共线直线 OA与 OB斜率相等）；“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式 的 合理选择）；6. 化简与计算；7. 细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现 0.、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自

3、然会无解；3、证明定值问题的方法： 常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明4、处理定点问题的方法： 常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时： 将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值） 、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想： 有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题 中

4、，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值 来 确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。（1）直线恒过定点问题21、已知点 P（x0, y0）是椭圆 E: x y2 1上任意一点，直线 l的方程为 x0x y0y 1， 直线 l 0过P点与直线 l垂22直，点 M（ -1 ， 0）关于直线 l 0的对称点为 N，直线 PN恒过一定点 G，求点 G的坐标。2、已知 椭圆两焦点 F1、 F2在 y轴上，短轴长为 2 2 ，离心率为 2 ， P是椭圆在第一象限弧上一点，且1 2 2PF1 PF2 1，过 P作关于直线 F

5、1P 对称的两条直线PA、PB分别交椭 圆于 A、B两点。（1）求 P点坐标；（ 2）求证M( 73,0) ，MA MB 为求证：直线 AB的斜率为定值；x2 y23、已知动直线 y k（x 1）与椭圆 C :1相交于 A、B两点,已知点55定值 .2x24、 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C :y2 1 .如图所示，斜率为 k（k>0）且不过原点的直线 l交椭3圆C于A，B两点，线段 AB的中点为 E，射线 OE交椭圆 C于点G ，交直线 x3于点 D（ 3,m）.（）2 2 2求 m k 的最小值； （）若 OG OD · OE ，求证：直线 l 过定点；椭圆中的取

6、值范围问题一、常见基本题型： 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式 求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解 .（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。5、已知直线 l与 y轴交于点 P（0, m） ，与椭圆 C:2x2 y2 1交于相异两点 A、B, 且AP 3PB，求 m的取值范 围,确定参数的取值范围2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式6、已知点 M(4, 0)， N(1, 0) ，若动点 P满足 MN MP 6| PN|)求动点 P 的轨迹 C 的

7、方程；1218 12)设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A，B两点，若 178 NA NB 12 ，求直线 l 的斜率的取值范围 .(3) 利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点 Q为椭圆 E ：221x8 y2 1上的 一动点，点A的坐标为 (3,1) ，求的取值范围8.已知椭圆的一个顶点为 A(0, 1)，焦点在 x轴上.若右焦点到直线 x y 2 2 0的距离为 3. (1)求椭圆的方程(2)设直线 y kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点 M,N .当|AM | |AN|时，求 m的取值范围 .9.如图所示，已知圆 C:(x 1)2 y2 8,定点A(1,0), M 为圆上

8、一动点，点 P在 AM 上， 点N 在CM 上，且满足 AM 2 AP, NP AM 0,点N 的轨迹为曲线 E.I )求曲线 E 的方程；II )若过定点 F( 0， 2)的直线交曲线 E 于不同的两点G,H （点 G在点 F,H 之间），且满足 FG FH ， 求 的取值范围 .10、.已知椭圆 E的中心在坐标原点 O ，两个焦点分别为 A（ 1,0）、 B（1,0） ，一个顶点为 H（2,0）. （1）求椭圆 E 的标准方程；（2）对于 x轴上的点 P（t,0） ，椭圆 E上存在点 M ，使得 MP MH ，求t的取值范围 .2211. 已知椭圆 C : x2 y2 1 (a b 0)

9、的离心率为a2 b22以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x y 2 0相切（）求椭圆 C 的方程；（）若过点 M （2 ，0）的直线与椭圆 C相交于两点 A,B ，设P为椭圆上一点， 且满 （O为坐标原点） ，当 PA PB < 2 5 时，求实数 t取值范围3足 OA OB tOP、常见基本题型：1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点F1、F2在 y 轴上，短轴长为椭圆中的最值问题2 2 ，离心率为 2 ，P 是椭圆在第象限弧上一点，且PF1 PF2 1，过 P作关于直线 F1P对称的两条直线 PA、 PB分别交 椭圆于 A、 B两点，求 PAB面积的最大值。2）利用

10、函数求最值，13.如图， DP x 轴，点M在 DP的延长线上，且| DM | 2|DP |当点 P在圆 x2 y2 1 上 运动时。（I ）求点 M的轨迹 C的方程；（）过点T（0,t）作圆x2 y2 1的切线 l交曲线 C于 A，B两点，求 AOB面积 S的最大 值和相应的点 T 的坐标。2x2 2214、已知椭圆 G :y21. 过点 （m,0） 作圆 x2y21的切线 l 交椭圆G于A,B 两点.4将 | AB|表示为 m的函数，并求 |AB| 的最大值 .选做221、已知 A、B、C是椭圆 m: x2 y2 1（a b 0） 上的三点，其中点 A的坐标为 （2 3,0） ，BC过椭圆

11、 m的中 a2 b2心，且 .（ 1）求椭圆 m 的方程；（2）过点 M （0,t）的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m交于两点 P，Q，设D为椭圆 m与y 轴负半轴的交点， 且|DP| |DQ|. 求实数 t 的取值范围2 2 2上， 且满足 NP2 NQ2. 已知圆 M ：（x m）2 （y n）2 r2 及定点 N （1,0） ，点 P是圆 M 上的动点， 点 Q在 NP上，点 G在 MP， GQ · NP 0 1）若 m 1,n 0,r 4，求点 G 的轨迹 C的方程；2）若动圆 M 和（ 1）中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ，是否存在一组正实数 m,n,r ， 使得直线 MN 垂直平分线段 AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由3、已知椭圆 C的中心在坐标原 点，焦点在 x 轴上，椭圆 C上的点到焦点距离的最大值为 3 ，最小值为 1 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l: y kx m与椭圆 C相交于 A，B两点（ A， B不是左右顶点） ，且以 AB为直径的