椭圆典型题型归纳

1、.椭圆典型题型归纳题型一 .定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆C : (x4) 2y2100 相内切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心 M的轨迹方程；练习 ：1.方程 (x3)2y2( x3)2y26 对应的图形是（）A. 直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程 (x3)2y 2( x3)2y210对应的图形是（）A. 直线B.线段C.椭圆D.圆4.如果方程x2( ym)2x2( ym)2m1 表示椭圆，则 m 的取值范围是5.过椭圆 9x24 y21的一个焦点 F1 的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则 A, B 两点与椭圆的另一个焦点F2 构成的ABF2 的周长等于；6.设圆 (

2、x 1)2y 225的圆心为 C ，A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点 M 的轨迹方程为；题型二 .椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1.方程 x2y21的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；1625（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1 (6,1)、 P2 ( 3,2) ，求椭圆的方程；例 4. 求经过点 (2,3) 且与椭圆 9x24 y236 有共同焦点的

3、椭圆方程；.下载可编辑 .注：一般地， 与椭圆 x2y2 1共焦点的椭圆可设其方程为x2ky21(kb2 ) ；a2b2a2b2k（四）定义法求轨迹方程；例 5. 在 ABC 中， A, B, C 所对的三边分别为a,b,c ，且 B(1,0), C (1,0) ，求满足 ba c且 b, a, c 成等差数列时顶点A 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例 6. 已知 x 轴上一定点 A(1,0) ， Q 为椭圆 x2y21上任一点，求AQ 的中点 M 的轨迹4方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x22y24 交于 A, B 两点，点 P 是直线 l

4、 上满足PA gPB 1的点，求点 P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例 8. 中心在原点，一焦点为F (0,50) 的椭圆被直线y3x2 截得的弦的中点的横坐标为 1 ，求此椭圆的方程；2题型三 . 焦点三角形问题例 1. 已知椭圆 x2y21上一点 P 的纵坐标为5，椭圆的上下两个焦点分别为F2 、 F1，16253求 PF1 、 PF2 及 cosF1PF2 ；题型四 . 椭圆的几何性质例 1. 已知 P 是椭圆 x2y21上的点，的纵坐标为5 ， F1 、 F2 分别为椭圆的两个焦点，a2b23椭圆的半焦距为c ，则 PF1gPF2 的最大值与最小值之差为.下载可编辑 .例 2. 椭

5、圆 x2y21 (a b0) 的四个顶点为A, B, C , D ，若四边形 ABCD 的内切圆恰a2b2好过焦点，则椭圆的离心率为；例 3.若椭圆x2y 21 的离心率为1，则 k；k 142例 4.若 P 为椭圆 x2y21(a b0)上一点， F1 、 F2 为其两个焦点， 且 PF1 F2150 ，a2b2PF2 F1750 ，则椭圆的离心率为题型七 . 求离心率例 1.椭圆 x2y21 ( ab0) 的左焦点为 F1 (c,0) ， A(a,0) ， B(0, b) 是两个顶点，a2b2如果 F1 到直线 AB 的距离为b，则椭圆的离心率e7例 2.若 P 为椭圆 x2y21(ab

6、0) 上一点， F1 、 F2 为其两个焦点，且PF1F2，a2b2PF2 F1 2，则椭圆的离心率为例3.F1 、 F2 为椭圆的两个焦点，过F2 的直线交椭圆于P, Q 两点，PF1PQ ，且PF1PQ ，则椭圆的离心率为；题型八 . 椭圆参数方程的应用例1.椭圆 x2y21 上的点 P 到直线 x 2 y 70 的距离最大时，点P 的坐标43例 2. 方程 x2 siny2 cos1( 0) 表示焦点在y 轴上的椭圆， 求的取值范围；题型九 . 直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例 1.当 m 为何值时，直线l : yxm 与椭圆 9 x216 y2144 相切、相交、相离？.下

7、载可编辑 .例 2. 曲线 2x2y22a2 （ a0 ）与连结 A(1,1)， B(2,3) 的线段没有公共点，求a 的取值范围。例 3. 过点 P(3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x24 y212 相交于 A, B 两点， O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4. 求 直 线 x cosy sin2 和 椭 圆 x23y26 有 公 共 点 时 ，的 取 值 范 围(0) 。（二）弦长问题例 1. 已知椭圆 x22 y212 ， A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为4 13 ，求点 A 的坐标。3例 2. 椭圆 a

8、x 2by 21与直线 xy 1相交于A, B 两点， C 是 AB 的中点，若|AB| 2 2， O 为坐标原点，OC 的斜率为2 ，求 a, b 的值。2例 3. 椭圆 x 2y21的焦点分别是F1 和 F2 ，过中心 O 作直线与椭圆交于A, B 两点，若4520ABF 2 的面积是 20，求直线方程。.下载可编辑 .（三）弦所在直线方程例 1. 已知椭圆 x2y 21 ，过点 P(2,0) 能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；164例 2. 已知一直线与椭圆4x29 y236 相交于 A, B 两点，弦 AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线 AB 的方程；例 3.椭圆

9、 E 中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，其离心率 e21,0) 的直线 l 与椭,过点 C(3圆 E 相交于 A, B 两点，且 C分有向线段 AB 的比为 2.（ 1）用直线 l 的斜率 k (k 0) 表示OAB 的面积；（ 2）当 OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程x2y2例 4. 已知 A( x1 , y1 ), B(1, y0 ), C ( x2, y2 ) 是椭圆1上的三点， F 为椭圆的左焦点，43且 AF , BF , CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例 1. 已知椭圆 x2y 21 ，试确定 m 的取值范围，使得椭

10、圆上有两个不同的点关于直线4 3y 4x m 对称；.下载可编辑 .例 2. 已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于 6，离心率 e2 2 ，试问是否存在直3线 l ，使 l 与椭圆交于不同两点A, B ，且线段 AB 恰被直线 x1平分？若存在，求出直2线 l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十 . 最值问题例 1若 P( 2, 3)x2y 2MF2，F2 为椭圆1的右焦点， 点 M在椭圆上移动， 求 MP2516的最大值和最小值。M 1F1F2M 2结论 1：设椭圆 x2y 21的左右焦点分别为F1 , F2 , P( x0 , y0 ) 为椭圆内一点， M ( x, y)

11、 为a 2b 2椭圆上任意一点，则MPMF2的最大值为2a PF1 , 最小值为 2aPF1 ；例 2 P( 2,6) , F2 为椭圆x 2y2MF2 的251的右焦点，点 M在椭圆上移动，求 MP16最大值和最小值。论 2 设椭圆 x 2y 21的左右焦点分别为F1, F2 ， P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点， M ( x, y) 为椭a 2b 2圆上任意一点，则MPMF2的最大值为2a PF1 ，最小值为 PF2 ;2. 二次函数法例 3求定点 A(a,0) 到椭圆 x2y2 1上的点之间的最短距离。a2b2.下载可编辑 .结论 3：椭圆 x2y 21上的点 M (x, y) 到

12、定点 A(m,0) 或 B(0,n) 距离的最值问题，可以a 2b2用两点间距离公式表示MA或 MB，通过动点在椭圆上消去y 或 x, 转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3. 三角函数法例 4求椭圆 x 2y 21上的点 M ( x, y) 到直线 l : x 2 y 4的距离的最值；4 2结论4：若椭圆 x2y21上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时, 可通过椭圆的参a2b2数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4. 判别式法例 4 的解决还可以用下面方法结论 5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题, 可转化为与l 平行的直线m与椭圆相切的问题 , 利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。例 5. 已知定点A( 2,3) ，点 F 为椭圆 x2y21的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，16 12求 AM 2 MF 的最小值，并求此时点 M 的坐标；（第二定义的应用）题型十一 . 轨迹问题例 1到两定点 (2,1)， (2,2) 的距离之和为定值5 的点的轨迹是()A 椭圆双曲线直线线段例 2已知点A(3,0)，点在圆22的上半圆周上即