高中数学第五章向量章节知识点与年高考试题

1、基毗知识基本应用一、知识结构：二、基本知识点：1.向量的概念：（1）向量的基本向量的加法与演甚 实数与向量的积 平面向量的数量积1隅段的媪叱分点I平面两点间距离1啊量的坐标表示穆杰式2要素：大小和方向-（2）向量的表示：几何表示法 AB , a；坐标表示法 a xi yj （x,y卜（3）向量的长度：即向量的大小，记作1 a 1 - （4）特殊的向量:零向量a = 0 I a I = 0.单位向量比为单位向量I a0 I =入（5）相等的向量：大小相等，方向相同（xc） （X2，y2）x1 x2 （6）平行向量（共线向量）:yi V2方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b .由于向

2、量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2.向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运 算的坐标表示和性质-3.重要定理、公式（1）平面向量基本定理 ：ei,e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1, 2,使a ie 2e2（2）两个向量平行的充要条件a / b a=2x42 *2丫1 0-（3）两个向量垂直的充要条件a±b ab=O x y 0 x1x2,1（坐标公式）yy2.1线段的定比分点公式设点P分有向线段PF；所成的比为即rp=pp2,x x22yy则

3、OP = OP； + OP；（向量公式） 11x当人=1时，得中点公式:OP = 1 （ OP1 + OP；）或2平移公式 设点P(x,y)按向量a (h,k)平移后彳4到点P (x , y ),则OP = OP + a或h,，曲线y k.f(x)按向量a (h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y k f (x h)(6)正弦定理:a b csin A sin B sin C余弦定理：a2 b2 c2 2bccos A,cos A2bcc2 a2 b2 2abcosC,cosC2ab三、巩固训练(2004年高考试题)rr广东卷1.已知平面向量 a (3,1), br r(x, 3),且 a

4、 b ,则 x=()A. 3 B. 1 C. 1 D . 3全国卷三理(10)文(11)在 ABC中，AB 3,BCJ13, AC 4 ,则边AC上的高为(A. 一” 2 b.3 C. D. 33222全国卷四理11文12. A ABC中，a, b, c分别为/ A、/ B、/ C的对边.如果a, b,c成等差数列，/ B=30° ,3 一一 .1. 3._2：-J 3_ ABC 的面积为万，那么 b= () A. - B. 1 V3 C. - D. 2 J3 -全国卷四文15.向量a, b满足(a-b ) (2a+b )=-4,且|a|=2,|b |=4，则a与b夹角的余弦值等于_

5、( 1)一2D. ( 6,3卜天津卷理3文4.若平面向量b与向量a (1 , 2)的夹角是180 ,且b3 J5，则b =A. ( 3,6) B. (3, 6) C. (6, 3)天津卷文14.已知向量a (1,1), b (23),若ka 2b与a垂直，则实数k等于浙江卷文理14.已知平面上三点A,B,Cuur满足ABuururn3, BC 4, CAuuu uur uur uur uuu uurAB?BC BC?CA CA?AB 的值等于 _-25.福建卷文理8.已知a、b是非零向量且满足(a2b) x a , (b2a)，b,则a与b 的夹角是A. B. C. - D.6336湖南卷文8

6、.已知向量a(cos ,sin )，向量 b(<3, 1)则12a b|的最大值，最小值分别是(A. 4V2,0B . 4, 4V2C. 16,D. 4, 0江苏卷16.平面向量 a,b中，已知a=(4, -3),F =1,且a b=5,贝U向量b =r 4 3(b (-,"5 5上海卷文理6已知点A(1, 2)，若向量AB与2 =2,3同向，AB =2%开3,则点B的坐标为 (5,4).全国卷一文理3.已矢口 a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b |=A J7 bJ10 cJT3 D44 3.全国卷二理(9)已知平面上直线l的万向向量e (,),点

7、O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是 O15 5和 Ai,则 OTA1 = e ,其中 =()(A) 11(B) - 11(C) 2(D) 4全国卷二文(9)已知向量a、b满足:55|a|=1, |b | = 2, |a b |=2,则 |a+b |=(A) 1(B)&(C) <5r rr重庆卷文理6.若向量a与b的夹角为60°, |b|A 2B 4Cr4,( a6r r2b).(a Dr3b)12-(D)爬 r72,则向量a的模为：()湖北卷理4文7.已知a,b,c为非零的平面向量.甲：a b a c,乙：b c,则(A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲

8、是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件湖北卷文理19.如图，在RtAABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC 的夹角 取何彳t时BP CQ的值最大？并求出这个最大值(一)平面向量1 .考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标 表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移.2 .考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量

9、的坐标的概念，掌握平面向量 的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义， 了解用平面向量的数量积可以处 理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式.3.四年试题：(2000文(2),理(4)设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（a?b）?c （c a） b=0; |a|一|b|<|ab|；(b c) a(c a) b不与c垂直；(3a+2b) (3a 2b)=9间2_4叼2.焦点，当2 W时，求双曲线离心率e的取值范围. 34(2001理(5)若向量 c= () .

10、( A )分值5难度0. 905a=(1,1), b=(1,-1), c=(-1,2),则-a+3b(B)22如图，已知梯形 ABCD中，AB 2CD ,点E满足AE EC ,双曲线过分值5难度文史理工0. 520. 64中，是真命题的有（）.（A）（B）（C）（D）(2000一文(22),理(22)三点，且以A,B为C,D,E3b 2(C) -a 1b(D)3a+1b2222分值5难度0. 935(2001一文(10),理(10)设坐标原点为 O ,抛物线y2 2x与过焦点的直线交于A, B两点，则( ).(A) 3(B)3(C) 3(D)344分值5难度文史理工0. 6200. 790(2

11、002一文(12),理(10)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3),若点C满足OC OA OB ,其中， R,且 1 ,则点C的轨迹方程为().(A) (x 1)2 (y 2)2 5(B) 3x 2y 11 0(C) 2x y 0(D) x 2y 5 0分值5难度文史理工0. 4530. 623(2002一文(22),理(21)已知两点M ( 1,0), N(1,0)且点P使MP MN , PM PN , NM NP成公差 小于0的等差数列.(I )点P的轨迹是什么曲线？(n )若点P坐标为(xO, yO)，记 为PM与PN的夹角，求tan .分值12难文史

12、理工度0. 160. 25(2003文(8),理)。是平面上ULUl知 uu / ABOP OA (-uuu- |AB|JEM , uuur 痴, |AC|A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 P满足(2003一文(22),理(21)0,，则P点的轨迹一定通过VABC的().已知常数a 0,向量c = (0, a), i = (1, 0),经过原点。以c+ i为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i -2 c为方向向量的直线相交于点P,其中R,试问：是否存在两个定点E,F,使得|PE| |PF|为定值，若存在，求出4.命题趋势2000年-考查向量基本概念，定比分点公式；2001年-考查向量

13、坐标运算，向量的数量积；2002年-考查向量坐标运算，基本定理，向量与数列的综合；2003年-考查向量与平面几何的综合；向量与解析几何的综合；四年的命题体现了平面向量考查的三个层次 (见考试说明解析 中国考试2003 NO3)第一层次：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，数乘 要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意 义，并能正确地进行运算.(2000年的考题)第二层次：主要考查平面向量的坐标表示，向量的线性运算.(2001年的考题)第三层次：和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线，数列等基础知识结 合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决

14、问题的能力.应用数形结 合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度的展开解 题思路提供广阔的空间。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解 答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算。5.复习建议(1)充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的 重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。(2)在基础知识复习时，要注意向量考查的层次，分层次进行复习。第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算: 和、差、数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及应用。第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示

15、，线性运算,基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如 2002年的选择题(2002一文(12),理(10)平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3),若点C满足OC OA OB ,其中(A) (x 1)2 (yR,且1 ,则点C的轨迹方程为().(C) 2x y 02)25(B)3x 2y 11 0(D)x 2y 5 0这道题可以用向量的坐标表示计算。设C(a,b),由题意(x, y)工曰x 3于是Cy 3(3,1)1,3)(33 ).+>2得x 2y 5(于是点C的轨迹方程为x2y)但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题P124例5,已

16、知OA,OB不共线，AP tAB , t R,则有OP (1 t)OA tOB ,如果用表示1 t , 表示t ,则有这里给出了共线的一个条件.而 2002年选择题恰恰就是这个例题的变化,因此C点在A, B两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有x 3-，即 x 2y 5 0 .1 3从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例题，挖 掘课本例题在培养数学能力上的作用.第三层次：平面向量与其它知识的结合A.与平面几何的结合：在平行四边形ABCD中，若网H 则(AB AD) (AB AD) 0,即菱形模型若AB AD ,则AB AD AB AD ,即矩形模型。在ABC中，2

17、 22OA OB OC ,。是 ABC的外心；AB AC一定过BC的中点；通过 ABC的重心;OA OB OC 0 ,。是 ABC 的重心；OA OB OB OC OC OA,。是 ABC 的垂心;AB AC(程B £C)(R)通过ABC的内心；AB ACa OA b OB c OC 0则。是ABC的内心；S ABC - AB2 AC2 (aB AC)2 .2B.与代数的结合 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：向量的数量积与实数的积的相同点：实数的乘积向量的数吊积运算的结果是一个实 数运算的结果是一个实 数交换律a b b a分配律(a b) c ac bca2 b2 0 a 0

18、 且 b 01ab a b a b |向量的数量积与实数的积的不同点:实数的乘积向量的数吊积结合律(ab)c a(bc)ab 0 a 0 或 b 0代数不等式：由a (xi,yi),b(X2,y2),可得a b a b2,2222、(X1X2N1V2(XiX2)(yiy2)。c.与解析几何结合定比分点公式一 OA OB 若OP 0O-,则P是AB的定比分点，为定比，满足AP PB 。1点向式直线方程已知点(X°,y。)及方向向量u,v ,可确定过(X0,y。)，以u,v为方向 向量的直线方程为(X Xo)v (y y°)u.(3)精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。例1、已知a=(1,3), b (1,1) , c=a+ b,是否存在实数 ，使a与c的夹角 为锐角，若存在，求出 的取值范围，若不存在，请说明理由。(考查数量积的应 用及严密的推理能力)例2、在坐标平面上有两个向量a (cos ,sin ) , b (cos ,sin ),其中0o(I )证明(a+b)(a- b)；(|n ) I ka+b = I a-kb ,求 的值，其中k为非零常数。(考查数量积与 三角函数综合)例3、已知 O