第七讲一元函数微积分的应用

1、第七讲 一元函数微积分的应用一、考试要求1、 理解（了解）函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。2、 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。3、 了解曲率、曲率半径和曲率圆的概念，会计算曲率和曲率半径（*）4、 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。（数三、四只要求面积、旋转体的体积、函数的平均值及简单的经济应用）二、 导数的应用主要涉及如

2、下几个方面1、求曲线的切线及法线方程2、判断函数的单调性、凹凸性3、研究函数的极值和最值4、证明恒等式（不等式）5、求渐进线方程6、函数作图7、方程根的确定1、 求曲线的切线与法线方程1、切线方程 2、法线方程 注：若，切线方程为，法线方程为若，切线方程为，法线方程为例1、设是可导的偶函数，它在的某邻域内满足，求曲线在点处的切线方程及法线方程。例2、（021）已知曲线与在处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 2、 函数的单调性、凹凸性、极值、曲线的拐点例3、已知，则当x>0时，f(x)（A） 单调递减大于零 （B） 单调递增大于零（C） 单调递减小于零 （D） 单调递增小于零例4、设函

3、数f(t)满足tf(t)>0(t¹0)，则函数F(x)=的单调减少区间为 例5、设f(x)在x=0的某邻域内连续，且，则x=0处f(x)(A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 不可导 (D) 可导且例6、（031）设f(x)在内连续，其导函数的图形如图(略)所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点(C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 y O x例7、已知f(x)满足，且，则 (A) f(0)是f(x)的极大值 (B) f(0)是f(x)的极小值(C) (0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点

4、 (D) f(0)不是极值，(0,f(0)不是拐点例8、设f(x)有连续的二阶导数，其导函数的图形如图(略)所示，若f(x)有p个驻点，q个极值点，曲线y=f(x)有r个拐点，则(A)p=q=r=3 (B) p=q=r=2 (C) p=3,q=2,r=3 (D) p=3,q=2,r=1例9、（0512，11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x),点（3，2）是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点（0，0），（3，2）处的切线，其交点为（2，4）。设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分。例10、设f(x)满足 连续 (1) 若f(x)在x=c（c¹0）处有极值，证明它是极小值； (

5、2) 若f(x)在x=0处有极值，它是极小值还是极大值？例11、试求 的极值例12、求函数f(x)=的最大值和最小值 3、 利用导数证明函数恒等式例13、 设对于任意实数x,y,不等式恒成立，求证f(x)为常值函数。 4、函数作图 作图步骤：y=f(x) (1) 确定定义域； (2) 求; (3) 求单调区间、凹凸区间；极值、拐点； (4) 求渐近线； (5) 描点作图。例14、 运用导数的知识作函数 的图形。 例15、（0034）求函数的单调区间和极值及该函数图形的渐近线。例16 （07数1-2）曲线的渐近线的条数-5、 根的确定例17、试确定方程的根的个数，并指出每个根所在的范围。例18、

6、设1) 试求f(x)的极值点与极值2) 求方程f(x)=0有三个实根的条件6 求曲线的曲率，曲率半径 设y=f(x): , 或曲线，曲率半径 例19 （092）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ） （A）有极值点，无零点. （B）无极值点，有零点.（C）有极值点，有零点. （D）无极值点，无零点.【答案】 应选B【详解】 由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得，在上，即单调减少，没有极值点。由拉格朗日中值定理 ，所以，而，由零点定理知，在内有零点，故应选（B）.【评注】此题有一定难度，需对基本概念熟练掌握。 二、定积分的应用 (1) 平面图形的面积： 1) y

7、=f(x)与x轴()所围图形的面积 2) 3) (2) 空间立体的体积： 1) 已知平行截面面积的立体体积 2) 旋转体的体积 (3) (数一,二)平面曲线的弧长： 1) , 2) (4) (数一)旋转体的侧面积： (5) 函数在区间的平均值（数三，四）：(6)（数一） 定积分的物理应用（变力作功、引力、压力）：用微元法分析，其基本步骤为： 第一步，建立坐标系，选定积分变量，并确定其变化区间； 第二步，在a,b内任取小区间x,x+dx,设想产生该整体量Q的某物理量是不变的， 求出的近似值； 第三步，计算1 利用定积分求面积与体积例20、求曲线y=x(x-1)(3-x)与x轴所围图形的面积。例2

8、1、设在区间a,b上函数, 令, 则 (A) (B) (C) (D) 例22、设f(x),g(x)在区间a,b上连续，且g(x)<f(x)<m(m为常数)，则曲线y=g(x),y=f(x), x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为 (A) (B) (C) (D) 例23、已知曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的面积为3/4（1）求A的坐标。（2）求阴影部分分别绕x轴与直线x=2旋转一周所的旋转体的体积。例24、已知点A与B的直角坐标为(1,0,0)与(0,1,1), 线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S及两平面z=0,z=1所围

9、成的立体体积。 例25、设平面图形所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。o12yxA用元素法。本题求的是平面图形A绕直线x=2而不是绕坐标轴旋转的旋转体体积。所以不能直接套用书上现成的公式。必须掌握元素法的思想实质。因为是绕直线x=2旋转，所以取y作为积分变量较方便。平面图形A的两条边界曲线分别为小区间的薄片的体积元素为于是，所求的体积为2 旋转体表面积计算（数一，二）例26 设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.解 设切点为，则过原点的切线方程为，而切点为(2,1).由曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积，由直线

10、段绕x轴旋转一周所得到的旋转面的面积 因此，所求表面积为3 函数平均值计算（数三，四）例27 函数在区间上的平均值为 解 4 物理及经济应用例28、（031）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为. 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为，所以 ， 由可得 即 由可得 ，从而 ，即汽锤击打3次后，可