最新人教A版高中数学必修2课时提升作业(二十四) 4.1.1

1、最新人教版数学精品教学资料课时提升作业(二十四)圆的标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为()a.(-1,5),3b.(1,-5),3c.(-1,5),3d.(1,-5),3【解析】选b.由圆的标准方程可知,圆心为(1,-5),半径为3.【补偿训练】以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为()a.(x+2)2+(y-1)2=4b.(x+2)2+(y+1)2=4c.(x-2)2+(y+1)2=16d.(x-2)2+(y-1)2=16【解析】选c.由题意知圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=16

2、.2.(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()a.(x-1)2+(y-1)2=1b.(x+1)2+(y+1)2=1c.(x+1)2+(y+1)2=2d.(x-1)2+(y-1)2=2【解析】选d.半径r=12+12=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.3.(2015·宁波高一检测)点12,32与圆x2+y2=12的位置关系是()a.在圆上b.在圆内c.在圆外d.不能确定【解析】选c.将点的坐标代入圆方程,得122+322=1>12,所以点在圆外.【补偿训练】已知以点a(2,-3)为圆心,半径长等于5的圆,则点m(5,-7)与圆的位置

3、关系是()a.在圆内b.在圆上c.在圆外d.无法判断【解析】选b.点m(5,-7)到圆心a(2,-3)的距离为5,恰好等于半径长,故点在圆上.4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()a.x2+(y-2)2=1b.x2+(y+2)2=1c.(x-1)2+(y-3)2=1d.x2+(y-3)2=1【解析】选a.设圆心坐标(0,b),则由(0-1)2+(b-2)2=1解得b=2,则圆的方程为x2+(y-2)2=1.【延伸探究】若将本题中的“过点(1,2)”改为“过点(-1,2)”,其他不变,又如何求解?【解析】设圆心坐标(0,b),则由(0+1)2+(b-2)2=1解得b=2,则

4、圆的方程为x2+(y-2)2=1.5.若圆c与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆c的方程是()a.(x-2)2+(y+1)2=1b.(x-2)2+(y-1)2=1c.(x-1)2+(y+2)2=1d.(x+1)2+(y-2)2=1【解析】选a.圆心(-2,1)关于原点的对称点为c(2,-1),半径相等为r=1,所以圆c的方程是(x-2)2+(y+1)2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是.【解析】由圆的标准方程可知,其半径为13,周长为213.答案:2137.(2015·苏州高一检测)已知点p(1,-5),则该点与圆x

5、2+y2=25的位置关系是.【解析】由于12+(-5)2=26>25,故点p(1,-5)在圆的外部.答案:在圆的外部【补偿训练】若原点在圆(x-1)2+(y+2)2=m的内部,则实数m的取值范围是.【解析】依题意,得1+4<m,所以m>5.答案:m>58.(2015·萍乡高一检测)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点c,则以c为圆心,5为半径的圆的方程是.【解题指南】先将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,从而求出定点的坐标,又知该圆的半径为5,从而写出圆的标准方程.【解析】将直线方程整理为:(x+1)a-(x+y-1)=0,

6、不论a取何实数,当x+1=0,即x=-1时,则有x+y-1=0,即-1+y-1=0,所以y=2,故直线(a-1)x-y+a+1=0不论a为何实数,恒过定点c(-1,2),则以c(-1,2)为圆心,5为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=5三、解答题(每小题10分,共20分)9.求圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0的对称图形的方程.【解题指南】利用中点坐标公式以及斜率公式,先求出圆(x+2)2+(y-6)2=1的圆心关于直线对称的对称点的坐标,圆的半径不变,写出圆的标准方程.【解析】设所求圆的圆心坐标为(a,b),则有b-6a

7、+2·34=-1,3(a-2)2-4(b+6)2+5=0,解得a=4,b=-2.故圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.【补偿训练】圆(x-3)2+(y-1)2=2关于原点o(0,0)对称的圆的方程为.【解题指南】结合图形,关于原点对称的圆的圆心关于原点对称,半径不变,由此求对称圆的方程.【解析】圆(x-3)2+(y-1)2=2的圆心为(3,1),其关于原点对称点坐标是(-3,-1),圆的半径为2,故所求对称圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=2.答案:(x+3)2+(y+1)2=210.(2015·顺德高一检测)求下列圆的方程:(1)已知点a(-4,-5),b(6,

8、-1),以线段ab为直径的圆的方程.(2)过两点c(-1,1)和d(1,3),圆心在x轴上的圆的标准方程.【解析】(1)ab的中点坐标即为圆心坐标c(1,-3),又圆的半径r=ac=12ab=12(-4-6)2+(-5+1)2=12116=29.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.(2)直线cd的斜率kcd=3-11+1=1,线段cd中点e的坐标为(0,2),故线段cd的垂直平分线的方程为y-2=-x,即y=-x+2,令y=0,得x=2,即圆心为(2,0).由两点间的距离公式,得r=(2-1)2+(0-3)2=10.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=10.(20分钟40

9、分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若圆心在x轴上,半径为5的圆c位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆c的方程是()a.(x-5)2+y2=5b.(x+5)2+y2=5c.(x-5)2+y2=5d.(x+5)2+y2=5【解析】选d.如图所示,设圆心c(a,0),则圆心c到直线x+2y=0的距离为|a+2×0|12+22=5,解得a=-5,a=5(舍去),所以圆心是(-5,0).即圆c的方程是(x+5)2+y2=5.【补偿训练】已知a(4,3),b(1,6),则以线段ab为直径的圆的方程为()a.x+522+y+922=92b.x-522+y-922=92c.x+922

10、+y+522=92d.x-922+y-522=92【解析】选b.ab的中点为52,92,|ab|=(4-1)2+(3-6)2=9+9=32,所以圆的半径为r=322,则所求的圆的方程为x-522+y-922=92.2.(2015·绍兴高一检测)方程y=36-x2表示的曲线是()a.一个圆b.两条射线c.半个圆d.一条射线【解析】选c.由方程y=36-x2可化为x2+y2=36(y0),所以方程y=36-x2表示圆x2+y2=36位于x轴及其上方的部分是半个圆.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·太原高一检测)若圆c的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y

11、=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是.【解题指南】依据条件确定圆心纵坐标为1,又已知半径是1,通过与直线4x-3y=0相切,圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标,写出圆的标准方程.【解析】因为圆c的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,所以半径是1,圆心的纵坐标也是1,设圆心坐标为(a,1),则1=|4a-3|5,又a>0,所以a=2,所以该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=1【补偿训练】圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是.【解析】由x-y+2=0,2x+y-8=0,可得x

12、=2,y=4,即圆心为(2,4).又r=(2-0)2+(4-0)2=25,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.答案:(x-2)2+(y-4)2=204.(2015·淮南高一检测)圆c:(x-1)2+(y+2)2=4,点p(x0,y0)在圆c内部,且d=(x0-1)2+(y0+2)2,则d的取值范围是.【解析】因为点p在圆c内部,所以(x0-1)2+(y0+2)2<4,所以0d<4.答案:0d<4【补偿训练】圆c:(x-1)2+(y+2)2=d2,若点p(2,0)在圆外,则d的取值范围是什么?【解析】由于点p在圆外,故(2-1)2+(0+2)2>d

13、2,即d2<5,故0<d<5.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆c的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点m(6,9)在圆上,求半径a.(2)若点p(3,3)与q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.【解析】(1)因为点m(6,9)在圆上,所以(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10,又a>0,所以a=10.(2)因为pc=(3-5)2+(3-6)2=13,qc=(5-5)2+(3-6)2=3,pc>qc,故点p在圆外,点q在圆内,所以3<a<13.6.已知x,y满足(x-1)2+y2=

14、1,求s=x2+y2+2x-2y+2的最小值.【解题指南】把s中被开方数配方,等价转化成圆上的动点到定点的距离.【解析】因为s=x2+y2+2x-2y+2=(x+1)2+(y-1)2,又点(x,y)在圆(x-1)2+y2=1上运动,即s表示圆上的动点到定点(-1,1)的距离.如图所示:显然当定点(-1,1)和圆心(1,0)共线时取到最值,且最小值为(1+1)2+(0-1)2-1=5-1.所以s=x2+y2+2x-2y+2的最小值为5-1.【补偿训练】圆过点a(1,-2),b(-1,4),求(1)周长最小的圆的方程.(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.【解析】(1)当ab为直径时,过a,b的圆的半径最小,从而周长最小.即ab中点(0,1)为圆心,半径r=12|ab|=10.则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.(2)由于ab的斜率为k=-3,则ab的垂直平分线的方程是y-1=13x.即x-3y+3