《完全平方公式》典型例题

1、学习必备欢迎下载完全平方公式典型例题例 1利用完全平方公式计算：（1）(23x)2 ；（ 2） (2ab4a)2 ；（3） (1am 2b)2 2例2计算：（1） (3a1)2 ；（ 2） ( 2x3y)2 ；（3） ( 3xy)2 例 3用完全平方公式计算：（1）22；（ ）2；（ ）4b 5c)2( 3yx)2( ab)3 (3a3例 4运用乘法公式计算：（1） ( xa)( x a)( x2a2 ) ；（ 2） (ab c)(a b c) ；（3） ( x1)2 (x 1)2 (x21)2 例 5计算：（1） ( 1 x 3) 21 x2 ；（2） (2a b1)( 2a b1) ；（3

2、） ( x y) 2( x y)2 2422例 6 利用完全平方公式进行计算： （1） 2012 ；（ 2） 992 ；（ 3） (30 1)2 3例 7已知 ab 3, ab12，求下列各式的值（1）a2b2；（ ）a2abb2；（ ）(a b)223例 8若 3( a2b2c2 )( abc)2 ，求证： abc学习必备欢迎下载参考答案例 1 分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算解：（1） (2 3x)222223x(3x)24 12x 9x2 ；（2） ( 2ab 4a) 2( 2ab)222ab4a(4a) 24a2b216a2b 16a2 ；（3） (1

3、am 2b)21a2m22amb4b2 24说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（ 2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(2 3x)24 12 x 3x2 的错误例 2分析：（2）题可看成 (2x)3y 2 ，也可看成 (3 y2x)2 ；（ 3）题可看成 (3xy)2 ，也可以看成 (3x)y 2 ，变形后都符合完全平方公式解：（1） (3a 1) 2(3a) 22 3a 1129a26a1（2）原式(2x) 22(2x) 3y (3y)24x212xy9 y2或原式 (3 y2x) 2(3 y)22 3 y 2x (2x)

4、29 y212xy4x2（3）原式(3xy)2(3xy) 2(3x) 22 3xyy29x26xyy 2或原式 (3x) 22( 3x)yy2学习必备欢迎下载9x26xyy 2说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用例 3分析：第（ 1）小题，直接运用完全平方公式2 x 为公式中 a， 3y 为公3式中 b，利用差的平方计算；第（2）小题应把 (a b)2 化为 (ab)2 再利用和的平方计算；第（ 3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把 (3a4b) 作为公式中的 a， 5c作为公式中的 b，再两次运用完全平方公式计算解：（1） ( 3y2 x)2 = ( 2 x3

5、y) 24 x24xy9y 2339（2） ( ab)2 = (ab)2a22abb2（3） (3a4b 5c)2(3a4b) 2 10c(3a 4b) 25c 2= 9a230ac40bc25c216b224ab说明： 运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：( ab) 2a 2b2 ，(a b) 2a2b2 例 4 分析：第（ 1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算第（ 2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 a c ，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算( ac)b 与 ( ac)b 的积，再利用完全平方公式计算(ac)2 ；第三小题先需要利用幂的

6、性质把原式化为( x 10( x 1)( x2 1) 2 ，再利用乘法公式计算解：（1）原式 = ( x2a2 )( x2a2 )(x2a2 ) 2x42a2 x2a4（2）原式 =( ac)b( ac)b(ac) 2b2= a22acc 2b2（3）原式 =( x1)(x1)( x21) 2( x 21)( x21) 2=( x4 1)2x82x41说明：计算本题时先观察题目特点， 灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，学习必备欢迎下载以达到简化运算的目的例 5 分析：（ 1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（ 2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用

7、公式，我们继续应用公式解：（1）1 x3)21 x21 x2x91 x293x ；(44342（2） ( 2ab1)(2ab1 )( 2a b)1( 2ab)12222(2ab) 214a 24ab b2 1 ；44() 2(x y)2x22xy y2(x22xy y2 )（3）x yx22xyy 2x22xyy 24xy 说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究例 6 分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差解：（1）2012(2001)2200222001 40401 ；（2） 992(1001) 2100221001

8、9801 （3） (301)2 (301) 23022301(1)233339002011 .99 2 02说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的例 7分 析 ：（ 1 ） 由 完 全 平 方 公 式 (ab) 2a22ab b2 ， 可 知a2b2(ab)22ab ，可求得 a2b233；（2） a2abb2a2b2ab33( 12)45 ；（3） ( a b) 2a22abb2332( 12)57 解：（1） a2b2(a b) 22ab322(12)92433（2） a 2abb2( a2b2 ) ab33(12)331245学习必备欢迎下载（3） ( ab)2a22abb2(a2b2 )2ab332(12)332457说 明 ： 该 题 是 (ab)2a22ab b2 是 灵 活 运 用 ， 变 形 为a2b2( ab) 22ab ，再进行代换例 8分析：由已知条件展开，若能得出 (ab) 2(bc) 2(c a)20, 就可得到 ab0,bc0, ca0, 进而 ab, bcca abc, 同时此题还用到公式 (abc)2a2b2c22ab2ac2bc 证明：由 3(a2b2c2 )(abc)2 , 得3a23b23c2a 2b