第1章质点运动学

1、实际物体结构复杂，形状各异。在很多情况下，物实际物体结构复杂，形状各异。在很多情况下，物体的转动和形状变化与所研究的问题无关。这时可将物体的转动和形状变化与所研究的问题无关。这时可将物体的大小形状忽略不计，引入一种理想模型，即体的大小形状忽略不计，引入一种理想模型，即有质量有质量而无形状和大小而无形状和大小的几何点的几何点研究如何描述物体运动研究如何描述物体运动物体运动的绝对性，物体运动的绝对性，世界上万物都处在不停地运动中，大到日、世界上万物都处在不停地运动中，大到日、月、星体，小到各种微观粒子（分子、原子、质月、星体，小到各种微观粒子（分子、原子、质子、电子子、电子），没有不运动的物质，也

2、没有物），没有不运动的物质，也没有物质不运动，所以物质运动是绝对的。质不运动，所以物质运动是绝对的。对运动描述的相对性。对运动描述的相对性。 例如：例如： 以固定在地面上的某标志物为参考以固定在地面上的某标志物为参考地面参考系地面参考系； 以实验室的墙壁地板为参考以实验室的墙壁地板为参考实验室参考系实验室参考系； 研究行星运动时以恒星为参考研究行星运动时以恒星为参考恒星参考系恒星参考系。在描述物体运动时，必须指定其他物体或物体系在描述物体运动时，必须指定其他物体或物体系作为参考，这就是作为参考，这就是（或称（或称。坐标系坐标系坐标系坐标系笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系为定量描述物体相对所确定的参照系

3、的位置，必为定量描述物体相对所确定的参照系的位置，必须在参考系上建立固定的须在参考系上建立固定的。常用坐标系：常用坐标系：极坐标系极坐标系（坐标系的原点和轴的方向可据具体问题任意选取。）（坐标系的原点和轴的方向可据具体问题任意选取。）球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系xyzo),(zyxxyzx三维笛卡儿坐标系三维笛卡儿坐标系jik),(zzoyz柱坐标系柱坐标系p),(rxzoyr球坐标系球坐标系ppppxyo),(yxpxyxyo),(p二维笛卡儿坐标系二维笛卡儿坐标系极坐标系极坐标系eeji 切向单位矢量切向单位矢量n 法线单位矢量法线单位矢量自然坐标系自然坐标系n

4、 po分解为三个矢量：分解为三个矢量：rkzj yi x，1. 1. 位置矢量位置矢量矢量矢量 op 与质点的位置与质点的位置p对应，称为对应，称为（简称（简称/ /），rk zj yi xrxyzr),(zyxxyz记为记为 ),(r 在在球坐标球坐标中中rxzopryeree单位矢量：单位矢量：rerrr),(eeer注注：这两种坐标系的单位矢量的方向除：这两种坐标系的单位矢量的方向除 外都是可变化的。外都是可变化的。zezzeeez),(zxopry 在在柱坐标柱坐标中中),(zeee单位矢量：单位矢量：zezerr)(trr2. 2. 运动函数运动函数设质点的位置随时间设质点的位置随时

5、间t 运动，运动，则则p点的坐标也随时间变化，点的坐标也随时间变化，即有函数关系：即有函数关系：用来描述质点的位置随时间变化的函数或方程即为用来描述质点的位置随时间变化的函数或方程即为。xyzopr),(zyxxyzktzjtyitxtr)()()()()()()(tzztyytxx分量式分量式xyzoaarrbr3. 3. 位移位移b经经 时间后（即时间后（即 时刻）时刻）到达到达b点。点。ttt矢量矢量 反映了质点的反映了质点的位置变化，称为位置变化，称为，ab设在设在t 时刻，质点处于时刻，质点处于a点点,abrrr记为：记为：kzj yi xr位移的分量表达式：位移的分量表达式：x =

6、 xb xay = yb yaz = zb za a ( xa ， ya，za ) b ( xb ， yb ，zb ) xyzoaarrbrb位移位移是矢量，只决定于始末位置；是矢量，只决定于始末位置； 路程路程是标量，与初态和末态之间的过程有关。是标量，与初态和末态之间的过程有关。abrrr；和区别srrr和4. 4. 平均速度平均速度xyzoabarrbrtr平均速度是对一段时间而言的平均速度是对一段时间而言的; ; 它只能粗略地表示它只能粗略地表示质点位置变化的急缓程度和变化方向质点位置变化的急缓程度和变化方向。质点在质点在 时间间隔内的时间间隔内的位移位移 与该时间间隔的比值与该时间间

7、隔的比值, ,即即rt称为质点在这段时间间隔内的称为质点在这段时间间隔内的vxyzoarrbr5. 5. 瞬时速度瞬时速度b0limt0t当 ，trvvdtrd质点在任意时刻质点在任意时刻t t 的的（简称（简称）。）。a称为称为速度的速度的0t当当 ，xyzoaarrbrb速度的速度的为位移的极限方向为位移的极限方向, ,也就是也就是轨迹的轨迹的; ;drdsdrdtvdsdtvkdtdzjdtdyidtdxdtrdvdtdzvdtdyvdtdxvzyxkvjvivzyx分量式分量式kzj yi xr所以所以速度的大小和方向的表示速度的大小和方向的表示大小大小：222zyxvvvv22222

8、2222coscoscoszyxzzyxyzyxxvvvvvvvvvvvv方向：方向：速度与速度与 x、 y、z 轴的夹轴的夹角为角为 、其中其中cos、cos、cos 称称为为 x、 y、z 方向的方向的方向余弦方向余弦。注：注： cos、cos、cos 只有两个是独立的只有两个是独立的，因为，因为cos2 cos2 cos2 1。vxyz1）位矢与参考点有关位矢与参考点有关 位移与参考点位移与参考点(坐标系）无关坐标系）无关rorrrroro 2）位矢位矢变化变化的大小的大小( (位移的大小位移的大小) )与与 位矢大小的位矢大小的变化变化的区别的区别 rr)(ta)(ttb 3)3) 平

9、均速度平均速度与时间间隔和位移有关与时间间隔和位移有关, ,方向是该时间方向是该时间间隔内的位移的方向间隔内的位移的方向; ; 平均速率平均速率与时间间隔和路程有关与时间间隔和路程有关, ,标量。标量。4 4）瞬时速度与瞬时速率）瞬时速度与瞬时速率rorrrr)(ta)(ttbdtdsdtrdvvdtdr?drd rdr rr qpqprrrrrr qpqprrrrr drd rdtdtrorrrr)(ta)(ttb1. 1. 平均加速度平均加速度xyzoabtvavbvavbvvabvv平均加速度是对平均加速度是对一段时间一段时间而言的，它只能而言的，它只能粗略地粗略地表示质点表示质点速度变

10、化速度变化的情况。的情况。质点在质点在 时间里时间里的速度改变量的速度改变量 与该与该时间间隔的比值，即时间间隔的比值，即tv称为质点在称为质点在 时间里的时间里的tabv2. 2. 瞬时加速度瞬时加速度avv加速度的方向加速度的方向为速度增加量为速度增加量 的的极限方向极限方向, , 不是轨迹的不是轨迹的！vdtvd0limt0t当 ，tvaa22dtrd质点在任意时刻质点在任意时刻t t 的的（简称（简称）。）。dtvda22dtrd222222dtzddtdvadtyddtdvadtxddtdvazzyyxxkajaiazyx加速度的大小和方向的表示与加速度的大小和方向的表示与速度的完全

11、类似。速度的完全类似。分量式分量式 加速度的加速度的大小大小kdtdvjdtdvidtdvzyxkdtzdjdtydidtxd222222例 某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为（单位：（单位：m,s）。求）。求t=0，1时质点的速度和加速度矢量。时质点的速度和加速度矢量。ktj titr251510)( 矢量物理量全面地反映物体的运动状态，便矢量物理量全面地反映物体的运动状态，便于理论推导和一般性的定义。于理论推导和一般性的定义。位置矢量、速度和加速度三者之间的关系是位置矢量、速度和加速度三者之间的关系是ra微分法微分法积分法积分法微分法微分法积分法积分法1. 1. 匀匀加速运动的一般描

12、述加速运动的一般描述dtavd加速度的大小和方向都不随时间改变，加速度的大小和方向都不随时间改变，即即 为常矢量为常矢量。a根据加速度的定义，有根据加速度的定义，有0vvta设设，0t，0vvtvvdtavd00tdta0t avv0rrrd0dtvrd根据速度的定义，有根据速度的定义，有20021t atvrr即得即得 设设，0t，0rrdttavrd0tdtt av00tavvtavvzzzyyy002002002121tatvzztatvyyzzyyt avv020021t atvrr20021tatvxxxxtavvxxx02. 2. 匀匀加速直线运动加速直线运动是指质点沿直线作一维的

13、匀加速运动。是指质点沿直线作一维的匀加速运动。tavvxxx020021tatvxxxx，atvv020021attvxx，)(20202xxavv略去下标，略去下标，消去消去t ，得，得实例：自由落体运动，上抛运动实例：自由落体运动，上抛运动ga2s/m 80665. 9 gg加速度为加速度为 。以起点为坐标原点，取以起点为坐标原点，取y 轴沿铅直向上为正向，则轴沿铅直向上为正向，则gtv221gty自由落体自由落体)0(0vgtvv02021ygttv)0(0v上抛上抛运动学的二类问题运动学的二类问题第一类问题：第一类问题： , av已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1) t =1s

14、到到 t =2s 质点的位移质点的位移;(3) 轨迹方程。轨迹方程。(2) t =2s 时时 ； a ，v12rij242rij21(42)(2 1)23rrrijij d22 drit jtv224 ijv222tytx4/22xy已知一质点运动方程为已知一质点运动方程为 。22 (2) rt itj求求:例例1解解 (1)(2)(3) 由由当当 t =2s 时时2 2 aj 22dd 2ddrajtt v由运动方程得由运动方程得得轨迹方程为得轨迹方程为解解d16dajtvt 0 0vvj 16 0t-vv26 88rt it jk已知已知16aj006 ,8irkvv求求和运动方程。和运动

15、方程。代入初始条件代入初始条件08rk代入初始条件代入初始条件第二类问题：第二类问题：d 16d t jv616 it jvvtrdd (616 )drit j dt已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求 , rv例例2, t =0 时，时，trr 0 026 ,8 ,8xtytzl 积分初始值（下限）由初始条件确定积分初始值（下限）由初始条件确定l 等式两边积分变量的积分限一一对应等式两边积分变量的积分限一一对应得运动方程为得运动方程为得得由由例例3 子弹子弹(质点质点)射入固定在地面上的砂箱内，假设射射入固定在地面上的砂箱内，假设射入时刻定为入时刻定为 t = 0 ，子弹速率为，

16、子弹速率为v0 。加速度与速率成正加速度与速率成正比，比例系数为比，比例系数为k 。求。求 oxm ax( ),txv解：解：(1)(1)建坐标系如图建坐标系如图dkdt v砂箱砂箱a由由dadt有式有式dkdt 0( )0ttdkdt0( )kttevv(2) 由式由式dxdtv有有0ktdxedt000 xtktdxe dtdxdtv0(1)ktxekv0maxtxkv特点特点: :曲线运动；曲线运动； 在铅直平面内（二维运动）；在铅直平面内（二维运动）； 匀加速运动匀加速运动( (忽略空气阻力忽略空气阻力) ) ga恒矢量恒矢量设设t = 0 时，质点位于原点时，质点位于原点o，并以初速

17、率，并以初速率v0 和仰角和仰角 抛出，抛出，xyo0vgaayx , 0;sin ,cos0000vvvvyx ; 000yx2220cos2tanxvgxy：速度函数速度函数：gtvgtvvvvvyyxxsin cos 0000运动函数：运动函数：2020021)sin(21 )cos( gttvgttvytvxy20021 ,t gtvrt gvv相应的矢量式相应的矢量式：为二次曲线为二次曲线抛物线抛物线 运动运动的的与与任何一个复杂的运动可看作两个或多个方向的任何一个复杂的运动可看作两个或多个方向的简单分运动的叠加。简单分运动的叠加。运动的运动的：如果一个质点同时参与几个分运动：如果一

18、个质点同时参与几个分运动,其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好像只有自己存在一样。像只有自己存在一样。运动的运动的：质点的一般运动可以看做由几个相：质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成，且合成的物理量满足平行四互独立的运动的合成，且合成的物理量满足平行四边形法则。边形法则。 考虑空气阻尼考虑空气阻尼0vxyo一般阻尼力总是一般阻尼力总是与速度反向，大小与与速度反向，大小与速率有关，故运动规速率有关，故运动规律十分复杂。律十分复杂。动力学动力学弹道学问题弹道学问题0vxyo20021)sin( )cos( gttvytvx2021t

19、 gtvrr抛体运动是抛体运动是运动和运动和运动的叠加；运动的叠加；也可看作也可看作运动和运动和运运动（匀加速直线）的叠加。动（匀加速直线）的叠加。 例例 已知质点运动方程为已知质点运动方程为22 (si)rt it j求求121s3stt之间的路程之间的路程 。2dd(2)22 ddrtit jit jttv213103 102ln9.98 m12sss 221122dd2 1dd2 1dstststttsttv22222242 1xyttvvv22211d1ln122ttttttc解解 质点运动速度为质点运动速度为速率为速率为路程满足路程满足1. 1. 匀速圆周运动的匀速圆周运动的2nar

20、v（指向圆心）（指向圆心）向心加速度意义：向心加速度意义： 速度方向变化的快慢速度方向变化的快慢练习练习 ：从加速度定义出发，导出：从加速度定义出发，导出2narv速率速率=const.2. 2. 变速圆周运动的变速圆周运动的加速度定义：加速度定义：tvat0lim21vvvotvtvtt2010limlimrabv1vvbav1v2vvvvvvrabv 1vvv2vr，vrabv 1vvvv2tvt10limrvtabt0limrv2：（ 的极限方向的极限方向) )1vtvt20limtvt0limdtdv（ 的极限方向的极限方向) )2vatvt10limtvt20lim引入引入法向单位矢

21、量法向单位矢量 和和切向单位矢量切向单位矢量 ，加速度表示为：，加速度表示为：tn 分量分量分量分量rvan2dtdvattdtdvnrva2 切向加速度反映了切向加速度反映了速度大小速度大小变化的快慢；变化的快慢； 法向加速度反映法向加速度反映了了速度方向速度方向变化的快慢。变化的快慢。tana曲率圆曲率圆 曲率半径曲率半径 切向加速度和法向加速度可切向加速度和法向加速度可以推广到任意曲线运动：以推广到任意曲线运动：dtdvat2van 圆周运动的总加速度：圆周运动的总加速度：tanaa22ntaaatnaatan （匀速率圆周运动只有法向加速度，且大小不变（匀速率圆周运动只有法向加速度，且

22、大小不变方向总是指向圆心，因此也称方向总是指向圆心，因此也称。）。）3. 3. 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度dtdtt0lim：220limdtddtdtt: :bvavbaoryx0rvratrrvan224. 4. 圆周运动的圆周运动的线量和线量和角量关系角量关系(2) 速度与角速度速度与角速度( (标量式标量式) )(3) 加速度与角加速度加速度与角加速度(1) 位移与角位移位移与角位移rdrd(4)关于角速度和关于角速度和角加速度的积分关系：角加速度的积分关系：tdt00tdt00(5) 笛卡儿坐标系下的笛卡儿坐标系下的匀速匀速 圆周运动：圆周运动：)cos(0trx)

23、sin(0try0oryx),(00yx例例 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即正比，即=kt 2 ，k 为待定常数为待定常数.已知质点在已知质点在2 s 末的线末的线速度为速度为 32 m/s 。求。求t =0.5 s 时质点的线速度和加速度。时质点的线速度和加速度。32 m/s v24rrtv2d88.0 m/sdarttv322 4 sktrtv2 4t2 42.0 m/srtv解解当当t =0.5 s 时时由题意得由题意得2228.25

24、m/snaaa222.0 m/snarvat地车r地物rabtt车物r设有两个相对设有两个相对平动平动的参照系（地面和车），的参照系（地面和车），平动速度为平动速度为 。trtrtr0地车车物地物rrr0rrr或或0tuvvuvv逆变换逆变换正变换正变换ss物体从车内物体从车内a点移到点移到b点，经点，经 t 时间。考察相应的位移：时间。考察相应的位移：uuuvv速度变换：速度变换：dtuddtvddtvd加速度变换：加速度变换：0aaa 特别地，当特别地，当 常量时，常量时， ，有，有即相对于作匀速直线运动的两参照系的加速度是相等的。即相对于作匀速直线运动的两参照系的加速度是相等的。00dt

25、udauaatrtrtr00rrr不同参照系看相同？不同参照系看相同？问题问题：bat0rrabttrss galileo速度变换的速度变换的： 低速（低速（ ）cu 高速下用相对论速度变换式高速下用相对论速度变换式变换变换不同参照系不同参照系合成合成同一参照系同一参照系 速度变换速度变换不同于不同于速度合成速度合成说明说明： galileo速度变换是基于长度速度变换是基于长度测测量和时间间隔测量的量和时间间隔测量的绝对性的基础上的。绝对性的基础上的。 长度和时间间隔的测量值与参照系无关，即时间长度和时间间隔的测量值与参照系无关，即时间和空间具有绝对意义和空间具有绝对意义绝对时间绝对时间和和绝

26、对空间绝对空间参照系相对运动为参照系相对运动为平动平动（无转动）（无转动）解解：去程船的行驶速度为：去程船的行驶速度为 例例1 1 一条宽度为一条宽度为2l 的河，河水流速沿河的横向按的河，河水流速沿河的横向按的分布（岸边流速为的分布（岸边流速为0 0，河心流速为，河心流速为u0 0）。今有一小船以匀速率）。今有一小船以匀速率 v 垂直河岸垂直河岸向对岸行驶，由于水流作用，船沿水流方向漂移。当船行至河中央时，因故向对岸行驶，由于水流作用，船沿水流方向漂移。当船行至河中央时，因故返航，随以匀速率返航，随以匀速率v /2/2 垂直于岸边驶回。忽略船在调头时的加、减速过程，垂直于岸边驶回。忽略船在调

27、头时的加、减速过程，求船驶回本岸时偏离出发点的距离。求船驶回本岸时偏离出发点的距离。02)1 (1 ulyuxyovuvuvxvvydylyvudx20)/1 (102 )/1 (1ulydtdxvdtdy即即1x2xdylyvudx20)/1 (1lxdylyvudx0200)/1 (11lvux32 01vu2v回回程船的行驶速度为程船的行驶速度为uvx2vvydylyvudx20)/1 (12即即020)/1 (1221lxxdylyvudxlvuxx34 012lvulvuxx0012234 于是于是解解：由牛顿第二定律，有：由牛顿第二定律，有 例例2 2 一物体由高空自由下落，空气阻力正比于速率，即一物体由高空自由下落，空气阻力正比于速率，即 ，求下落过程中速度与时间的变化关系。求下落过