高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修110912297

1、高中数学选修精品教学资料2.2.1双曲线及其标准方程学习目标：1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1双曲线的定义把平面内与两个定点f1,f2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中,将“小于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“大于|f1f2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中,若|mf1|mf2|2a(

2、常数),且2a<|f1f2|,则点m的轨迹是什么？提示(1)当距离之差的绝对值等于|f1f2|时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是f1,f2,当距离之差的绝对值大于|f1f2|时,动点的轨迹不存在(2)点m在双曲线的右支上2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)焦点f1(c,0),f1(0,c),f2(c,0)f2(0,c)a,b,c的关系c2a2b2基础自测1思考辨析(1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同()(2)点a(1,0),b(1,0),若|ac|bc|2,则点c的轨迹是双曲线()(3)在双曲线标准

3、方程1中,a0,b0,且ab.()答案(1)×(2)×(3)×2双曲线1的焦距为()a3b4c3d4dc210212,所以c2,从而焦距为4.3已知双曲线的a5,c7,则该双曲线的标准方程为() 【导学号：97792079】a.1b.1c.1或1d.0或0cb2c2a2725224,故选c.合 作 探 究·攻 重 难双曲线的定义及应用若f1,f2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点m到它的一个焦点的距离等于16,求点m到另一个焦点的距离(2)若点p是双曲线上的一点,且f1pf260°,求f1pf2的面积思路探究(1)直接利用定义求解(2)在

4、f1pf2中利用余弦定理求|pf1|·|pf2|.解(1)设|mf1|16,根据双曲线的定义知|mf2|16|6,即|mf2|16±6.解得|mf2|10或|mf2|22.(2)由1,得a3,b4,c5.由定义和余弦定理得|pf1|pf2|±6,|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 60°,所以102(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|,所以|pf1|·|pf2|64,sf1pf2|pf1|·|pf2|·sin f1pf2×64×16.规律方法求双曲线中的焦

5、点三角形pf1f2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|pf1|pf2|2a；利用余弦定理表示出|pf1|、|pf2|、|f1f2|之间满足的关系式；通过配方,利用整体的思想方法求出|pf1|·|pf2|的值；利用公式spf1f2×|pf1|·|pf2|sinf1pf2求得面积.(2)利用公式spf1f2×|f1f2|×|yp|求得面积.跟踪训练1(1)已知定点f1(2,0),f2(2,0),在平面内满足下列条件的动点p的轨迹中为双曲线的是()a|pf1|pf2|±3b|pf1|pf2|±4c|pf1|pf2|±5

6、d|pf1|2|pf2|2±4a|f1f2|4,根据双曲线的定义知选a.(2)已知定点a的坐标为(1,4),点f是双曲线1的左焦点,点p是双曲线右支上的动点,则|pf|pa|的最小值为_.【导学号：97792080】9由双曲线的方程可知a2,设右焦点为f1,则f1(4,0)|pf|pf1|2a4,即|pf|pf1|4,所以|pf|pa|pf1|pa|4|af1|4,当且仅当a,p,f1三点共线时取等号,此时|af1|5,所以|pf|pa|af1|49,即|pf|pa|的最小值为9.求双曲线的标准方程根据下列条件,求双曲线的标准方程：(1)a4,经过点a；(2)与双曲线1有相同的焦点,

7、且经过点(3,2)；(3)过点p,q且焦点在坐标轴上思路探究(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点a的坐标代入求解(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c216420,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解解(1)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为1(b>0),把点a的坐标代入,得b2×<0,不符合题意；当焦点在y轴上时,设所求标准方程为1(b>0),把a点的坐标代入,得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同,设所求双曲线的标准方程为1(a>0,b>0),c21642

8、0,即a2b220.双曲线经过点(3,2),1.由得a212,b28,双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为1(4<<16)双曲线过点(3,2),1,解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为ax2by21,ab<0.点p,q在双曲线上,解得双曲线的标准方程为1.规律方法1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程；(2)求出a2,b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为ax2by21(ab<0)来求解跟踪训练2(1)与椭圆y2

9、1共焦点且过点p(2,1)的双曲线方程是()a.y21b.y21c.y21 dx21c设所求双曲线方程为1(a>0,b>0),由题意得,解得所以所求双曲线方程为y21.(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为f1(,0),点p位于该双曲线上,线段pf1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是()a.y21 bx21c.1 d.1b由双曲线的焦点可知c,线段pf1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为f2,则有pf2x轴,且pf24,点p在双曲线右支上所以pf16,所以pf1pf26422a,所以a1,b2c2a24,所以双曲线的方程为x21,选b.与双曲线有关的轨迹问题探究问题

10、1到两定点f1,f2的距离之差是常数(小于|f1f2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2求以两定点f1,f2为焦点的双曲线方程时,应如何建系？提示：以直线f1f2和线段f1f2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系如图2­2­1,在abc中,已知|ab|4,且三内角a,b,c满足2sin asin c2sinb,建立适当的坐标系,求顶点c的轨迹方程图2­2­1思路探究解以ab边所在的直线为x轴,ab的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则a(2,0),b(2,0)由正弦定理,得sin a,sinb,sin c(r为abc的外接圆半径)

11、2sin asin c2sinb,2|bc|ab|2|ac|,即|ac|bc|2<|ab|.由双曲线的定义知,点c的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)由题意,设所求轨迹方程为1(x>a),a,c2,b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x>)规律方法求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系,化简得到方程(2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪训练3如图2­2­2所示,已知定圆f1：x2y210x240,定圆f2：x2y210x90,动圆m与定圆

12、f1,f2都外切,求动圆圆心m的轨迹方程. 【导学号：97792081】图2­2­2解圆f1：(x5)2y21,圆心f1(5,0),半径r11.圆f2：(x5)2y242,圆心f2(5,0),半径r24.设动圆m的半径为r,则有|mf1|r1,|mf2|r4,|mf2|mf1|3<10|f1f2|.点m的轨迹是以f1,f2为焦点的双曲线的左支,且a,c5,于是b2c2a2.动圆圆心m的轨迹方程为1.当 堂 达 标·固 双 基1已知m,nr,则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件c方程1表示双曲线,必有mn0；当mn0时,方程1表示双曲线,所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件2以椭圆1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()a.y21by21c.1 d.1b椭圆1的焦点为f1(0,1),f2(0,1),长轴的端点a1(0,2),a2(0,2),所以对于所求双曲线a1,c2,b23,焦点在y轴上,双曲线的方程为y21.3若双曲线e：1的左,右焦点分别为f1,f2,点p在双曲线e上,且|pf1|3,则|pf2|等于()a11b9c5d3b由题意知|pf2|3|6,即|pf2|3±6,解得|pf2|9或|pf2|3(舍去)4设m是常数,若点f(