高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修1109122103

1、高中数学选修精品教学资料2.3.2抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0,yrx0,yry0,xry0,xr性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px(p>0)的焦点f,与抛物线交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|af|x1,|b

2、f|x2,故|ab|x1x2p.3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数,即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时,若>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时,直线与抛物线有一个公共点；若<0时,直线与抛物线没有公共点当k0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点思考：直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗？提示可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点基础自测1思考辨析(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物

3、线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同()答案(1)×(2)(3)2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,若x1x26,则|ab|()a10b8c6 d4b|ab|x1x2p628.3已知过抛物线y24x的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点,|af|2,则|bf|_. 【导学号：97792102】2f(1,0),由抛物线定义得a点横坐标为1.afx轴,|bf|af|2.合 作 探 究·攻 重 难抛物线几何性质的应用(1)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2y24相

4、交的公共弦长等于2,则抛物线的方程为_(2)已知双曲线1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y22px(p>0)的准线分别交于a,b两点,o为坐标原点若双曲线的离心率为2,aob的面积为,求抛物线的标准方程解(1)根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为±,交点横坐标为±1,则抛物线过点(1,)或(1,),设抛物线方程为y22px或y22px(p>0)则2p3,从而抛物线方程为y23x或y23x.答案y23x或y23x(2)由已知得2,所以4,解得,即渐近线方程为y±x.而抛物线准线方程为x,于是a,b,从而aob的面积为·p&

5、#183;,可得p2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y24x.规律方法抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.跟踪训练1边长为1的等边三角形aob,o为坐标原点,abx轴,以o为顶点且过a,b的抛物线方程是()ay2xby2xcy2±x dy2±xc设抛物线方程为y2ax(a0)又a(取点a在x轴上方),则有±a,解得a±,所以抛物线方程为y2±x.故选c.与中点弦、焦点弦有关的问题(1)过点q(4,1

6、)作抛物线y28x的弦ab,恰被点q所平分,则ab所在直线的方程为_(2)已知过抛物线y22px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x1<x2)两点,且|ab|9.求该抛物线的方程；o为坐标原点,c为抛物线上一点,若,求的值思路探究(1)法一：设a(x1,y1),b(x2,y2),用点差法求kab；法二：设直线ab的方程,建立方程求解(2)设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解根据(1)求出点a、b的坐标,设出点c的坐标,由,可用表示点c的坐标,最后根据点c在抛物线上求出值解(1)法一：设以q为中点的弦ab的端点坐标为

7、a(x1,y1),b(x2,y2),则有y8x1,y8x2,(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y22,y1y24(x1x2),即4,k4.所求弦ab所在直线的方程为y14(x4),即4xy150.法二：设弦ab所在直线的方程为yk(x4)1.联立消去x,得ky28y32k80,此方程的两根就是线段端点a,b两点的纵坐标,由根与系数得y1y2.又y1y22,k4.所求弦ab所在直线的方程为4xy150.(2)直线ab的方程是y2·,与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以：x1x2,由抛物线定义得：|ab|x1x2p9,所以p4,从而抛物线方程是y28x.由p4,4x

8、25pxp20可简化为x25x40,从而x11,x24,y12,y24,从而a(1,2),b(4,4)；设(x3,y3)(1,2)(4,4)(41,42),又y8x3,即2(21)28(41),即(21)241,解得0或2.规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|ab|x1x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y22px(p>0)的焦点时,弦长|ab|x1x2p.(3)“中点弦”问题解题策略两法跟踪训练2(1)已知抛物线c的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线yx与抛物线c交于a,b两点若p(

9、2,2)为ab的中点,则抛物线c的方程为_y24x设抛物线c的方程为y22px(p>0),a(x1,y1),b(x2,y2)则,整理得又1,y1y24,所以2p4.因此抛物线c的方程为y24x.(2)直线l过抛物线y24x的焦点,与抛物线交于a,b两点,若|ab|8,求直线l的方程. 【导学号：97792103】解因为抛物线y24x的焦点坐标为(1,0),若直线l与x轴垂直,则直线l的方程为x1,此时|ab|4,不合题意,所以可设所求直线l的方程为yk(x1),由得k2x2(2k24)xk20,则由根与系数的关系,得x1x2.又ab过焦点,由抛物线的定义可知|ab|x1x2p28,所以6

10、,解得k±1.所以所求直线l的方程为xy10或xy10.直线与抛物线的位置关系(1)已知直线ykxk及抛物线y22px(p>0),则()a直线与抛物线有一个公共点b直线与抛物线有两个公共点c直线与抛物线有一个或两个公共点d直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y24x,直线l过定点p(2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线y24x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？思路探究(1)直线ykxk过定点(1,0),根据定点与抛物线的位置关系判断(2)直线与抛物线方程联立,根据“”的正负判断解析(1)直线方程可化为yk(x1),因此直线恒过定点(1,0),点(

11、1,0)在抛物线y22px(p>0)的内部,因此直线与抛物线有一个或两个公共点,故选c.答案c(2)由题意,直线l的方程为y1k(x2)由方程组(*)可得ky24y4(2k1)0.：当k0时,由方程得y1,把y1代入y24x,得x,这时,直线l与抛物线只有一个公共点.：当k0时,方程的判别式为16(2k2k1)a由0,即2k2k10,解得k1或k,所以方程只有一个解,从而方程组(*)只有一个解,这时直线l与抛物线只有一个公共点b由>0,即2k2k1<0,解得1<k<,于是,当1<k<,且k0时,方程有两个解,从而方程组(*)有两个解,这时直线l与抛物线

12、有两个公共点c由<0,即2k2k1>0,解得k<1或k>.于是k<1或k>时,方程没有实数解,从而方程组(*)没有解,直线l与抛物线无公共点综上,当k0或k1或k时,直线l与抛物线只有一个公共点当1<k<,且k0时直线l与抛物线有两个公共点当k<1或k>时,直线l与抛物线无公共点规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb,抛物线：y22px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20

13、,当>0时,直线与抛物线相交,有两个交点；当0时,直线与抛物线相切,有一个交点；,当<0时,直线与抛物线相离,无公共点.跟踪训练3若直线l：y(a1)x1与曲线c：y2ax(a0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合解因为直线l与曲线c恰好有一个公共点,所以方程组只有一组实数解,消去y,得(a1)x12ax,即(a1)2x2(3a2)x10,(1)当a10,即a1时,方程是关于x的一元一次方程,解得x1,这时,原方程组有唯一解(2)当a10,即a1时,方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0,解得a0(舍去)或a.所以原方程组有唯一解综上,实数a的取值集

14、合是.抛物线性质的综合应用探究问题1若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时,两条直线的斜率有什么关系？提示：两条直线的斜率互为相反数2如何求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小值？提示：法一：设a(t,t2)为抛物线上的点,则点a到直线4x3y80的距离d3t2.当t时,d有最小值.法二：如图,设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0,由消去y得3x24xm0,1612m0,m.最小距离为.如图2­3­5所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点p(1,2),a(x1,y1),b(x2,y2)均在抛物线上图2­3­5(1)求抛物线

15、的方程及其准线方程；(2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时,证明：直线ab的斜率为定值. 【导学号：97792104】思路探究第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将pa与pb两条直线的倾斜角互补与直线ab的斜率联系起来解(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p>0),则由点p(1,2)在抛物线上,得222p×1,解得p2,故所求抛物线的方程是y24x,准线方程是x1.(2)证明：因为pa与pb的斜率存在且倾斜角互补,所以kpakpb,即.又a(x1,y1),b(x2,y2)均在抛物线上,所以x1,x2,从而有,即,得y1y24,故直线ab的斜率kab1

16、.母题探究：1.(变条件)若本例题改为：如图2­3­6,已知直线l：y2x4交抛物线y24x于a,b两点,试在抛物线aob这段曲线上求一点p,使pab的面积最大,并求出这个最大面积如何求解？图2­3­6解由解得或由图可知,a(4,4),b(1,2),则|ab|3.设p(x0,y0)为抛物线aob这段曲线上一点,d为点p到直线ab的距离,则d|(y01)29|.2<y0<4,(y01)29<0.d9(y01)2从而当y01时,dmax,smax××3.故当点p的坐标为时,pab的面积取得最大值,最大值为.2(变条件)若

17、本例改为：在平面直角坐标系xoy中,设点f(1,0),直线l：x1,点p在直线l上移动,r是线段pf与y轴的交点,rqfp,pql.(1)求动点q的轨迹方程；(2)记q的轨迹为曲线e,过点f作两条互相垂直的直线交曲线e的弦为ab,cd,设ab,cd的中点分别为m,n,求证：直线mn过定点(3,0)如何求解？解(1)因为点f(1,0),直线l：x1,所以点r是线段fp的中点,由此及rqfp知,rq是线段fp的垂直平分线因为|pq|是点q到直线l的距离,而|pq|qf|,所以动点q的轨迹e是以f为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y24x(x>0)(2)证明：设a(x1,y1),b(x2,y2

18、),m(xm,ym),直线ab：xmy1(m0),则消去x得y24my40.于是,有ym2m,xmm·ym12m21,即m(2m21,2m)同理,n.因此,直线mn的斜率kmn,方程为y2m(x2m21),即mx(1m2)y3m0.显然,不论m为何值,(3,0)均满足方程,所以直线mn过定点(3,0)规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值