第五章　概率与概率分布

1、第五章第五章概率与概率分布概率与概率分布本章内容 第一节第一节 随机事件与概率随机事件与概率 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布 第一节第一节 随机事件与概率随机事件与概率 一、随机事件及其运算一、随机事件及其运算 （一）基本概念（一）基本概念 随机现象（偶然现象、不确定现随机现象（偶然现象、不确定现象）象） 在一定条件下可能发生也可能在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。从一次观察来看，随机不发生的现象。从一次观察来看，随机现象似乎没有什么规律，但大量观察的现象似乎没有什么规律，但大量观察的结果会呈现出某种明显的规律性。结果会呈现出某种明显的规律性。 随机试验随机试验严格意义上

2、的随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：满足三个条件： 试验可以在系统条件下重复进行；试验可以在系统条件下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的；试验的所有可能结果是明确可知的； 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。 广义的随机试验是指对随机现象的观察广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。（或实验）。 由于多数试验不能同时满足这些条件，由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。因此实际应用中常常从广义角度来理解。 随机事件随机事件简称事件，简称事件， 随机试验（或随随机试验（或随机现象）的每一个可能结果机现象）的每

3、一个可能结果 基本事件基本事件 不可能再分成为两个或更多不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。事件的事件，也称为样本点。 基本事件基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空的全体（全集）称为样本空间或基本空间间 复合事件复合事件 由某些基本事件组合而成的由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。事件，也称为样本空间中的子集。 必然事件必然事件 在一定条件下，每次试验在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。都必然发生的事件。 不可能事件不可能事件 在一定条件下，每次试在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。验都必然不会发生的事件。 b（二）随机事件的关系和运算（二）随

4、机事件的关系和运算 1、事件的包含、事件的包含 -事件事件b包含事件包含事件a，是指事件是指事件a发生必然导致事件发生必然导致事件b发生。发生。a 2、事件的并（和）、事件的并（和）- 指事件指事件a与事与事件件b至少一个发生。至少一个发生。ab 3、事件的交（积）、事件的交（积） 指事件指事件a与事件与事件b同同时发生。时发生。ab 4、事件的差（、事件的差（ab） 指事件指事件a发生而发生而事件事件b不发生。不发生。ab 5、互不相容（互斥）事件、互不相容（互斥）事件 指事件指事件a与事与事件件b不可能同时发生。不可能同时发生。ab 6、a的对立（逆）事件的对立（逆）事件 指样本空间中所指

5、样本空间中所有不属于事件有不属于事件a的样本点的样本点aa概率和机会 你可能经常听到概率（你可能经常听到概率（probabilityprobability）这）这个名词。例如在天气预报中会提到降水个名词。例如在天气预报中会提到降水概率。因此，从某种意义说来，概率。因此，从某种意义说来，概率描概率描述了某件事情发生的机会。述了某件事情发生的机会。 显然，这种概率不可能超过百分之百，显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。换言之，也不可能少于百分之零。换言之，概率概率是在是在0 0和和1 1之间的一个数之间的一个数，说明某事件发，说明某事件发生的机会有多大。生的机会有多大。（三）事

6、件的概率（三）事件的概率 1、概率的古典定义、概率的古典定义 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）具有以下两特具有以下两特点点 每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；件总数有限）； 每个试验结果出现的可能性相同。每个试验结果出现的可能性相同。 概率的古典定义概率的古典定义 在古典概型中，事件在古典概型中，事件a发生的概率等于该事件所发生的概率等于该事件所包含的基本事件数包含的基本事件数m占基本事件总数占基本事件总数n的比重，的比重，即：即：p(a)=m/n。 2、概率的统计定义、概率的统计定义 在相同条件下重复进行在相同条件下

7、重复进行n次试验，随次试验，随着着n的增大，事件的增大，事件a出现的频率趋于稳定，出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件这个稳定值就是事件a发生的概率。发生的概率。 根据概率的古典定义，通过大量重复根据概率的古典定义，通过大量重复试验，可以用事件发生的频率来近似代试验，可以用事件发生的频率来近似代替其概率。替其概率。 3、概率的主观定义、概率的主观定义 有些概率是无法精确计算的。有些概率是无法精确计算的。既不既不能由等可能性来计算，也不可能从试验能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。但根据经验、常识或其他相关因得出。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估素对事件发生的

8、可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。计，这样确定的概率称为主观概率。 比如比如, ,你对别人说你下一个周末去公你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。园的概率是百分之八十。二、概率的性质与运算法则二、概率的性质与运算法则 （一）概率的性质（一）概率的性质 概率具有三条公理（基本性质）：概率具有三条公理（基本性质）： 1、对任一事件对任一事件a，有，有0p(a) 1； 2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，p()1； 3、对于两两互斥事件、对于两两互斥事件ai，有：，有： p(a1+ a2+)p(a1) + p(a2)+ （二）概率的运算法则（二）概率的运算法则1概率

9、的加法公式概率的加法公式 对于两个互斥事件，对于两个互斥事件，p(a+b)p(a)+p(b)。即如果两个事件不可能同时发。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。率的和。 对于两个任意事件，对于两个任意事件，p(a+b)p(a)+p(b) p(ab)。 即如果两个事件有可即如果两个事件有可能同时发生，则能同时发生，则“p(a)+p(b)”中事件中事件a和和b同同时发生的概率时发生的概率p(ab)被重复计算了一次，因此，被重复计算了一次，因此，应该减去。应该减去。 对于逆事件对于逆事件 ，p( )= 1p(a)aa 2概率

10、的乘法公式概率的乘法公式 (1)条件概率条件概率在事件在事件a已经发生的已经发生的条件下事件条件下事件b发生的概率，称为发生的概率，称为“事件事件a已经发生的条件下已经发生的条件下b发生的条件概率发生的条件概率”，记为记为p(b|a)，并且有：，并且有： p(b|a)p(a b)/ p(a) (2)概率的乘法公式的一般形式：概率的乘法公式的一般形式： p(a b) p(a) p(b|a) 或：或：p(a b) p(b) p(a| b) (3)如果事件如果事件a、b相互独立，则相互独立，则 p(a b) p(a) p(b)第二节随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念一、随机变量的概念

11、 随机变量表示随机试验结果的变量。随机变量表示随机试验结果的变量。 对于随机试验的样本空间中的每一个样本点对于随机试验的样本空间中的每一个样本点（事件（事件 ）总有一个实数）总有一个实数x()与之对应，与之对应，则称实数函数则称实数函数x() 为随机变量，简记为为随机变量，简记为x。 离散型随机变量离散型随机变量取值可以一一列举取值可以一一列举; ; 连续随机变量连续随机变量取值不能一一列举。取值不能一一列举。二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 （一）离散型随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布 将离散型随机变量将离散型随机变量x的所有可能取值的所有可能取值xi及其及其对应

12、的概率对应的概率p(xi)用函数式、表格或图形表用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有下列性质：离散型随机变量的概率分布具有下列性质：p(xi)0； 1)(1niixpx10p0.50.5（二）连续型随机变量的概率密度（二）连续型随机变量的概率密度 连续变量的概率分布是用概率分布密度连续变量的概率分布是用概率分布密度函数函数 f (x)表示的，简称概率密度。表示的，简称概率密度。 连续变量落入某个区间的概率就是该概率连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密密度曲线在这

13、个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。度函数在这个区间上的积分。 1x2x 对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个（或若干个）区间的而只有变量取值于某个（或若干个）区间的概率才有意义：概率才有意义： p(x1xx2)p(x1xx2)dxxfxx21)( 连续型随机变量的概率密度具有下列性连续型随机变量的概率密度具有下列性质：质： 1、f (x) 0 2、1)(xf)(xfx（三）随机变量的分布函数（三）随机变量的分布函数 设设x为随机变量，为随机变量，x为任意实数，称函数为任意实数，称函数 f（x） p(xx) 为为x

14、的累计分布函数，的累计分布函数，简称分布函数。简称分布函数。 已知已知x的分布函数，就可以求出的分布函数，就可以求出x在任一在任一区间上的概率：区间上的概率：p(x1xx2)f(x2)f(x1) 离散型随机变量的分布函数：离散型随机变量的分布函数： f（x） p(xx) 连续型随机变量的分布函数：连续型随机变量的分布函数： f（x） p(xx)xxiixp)(xdxxf)(三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征（一）随机变量的数学期望（均值）（一）随机变量的数学期望（均值） 记为记为e(x) 或或 它是随机变量所有可能取值的平均水平它是随机变量所有可能取值的平均水平 是随机变量集中趋势的

15、度量。是随机变量集中趋势的度量。（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量的数学期望：e(x) 连续型随机变量的数学期望：连续型随机变量的数学期望：e(x) 注意数学期望与加权算术平均数的相似注意数学期望与加权算术平均数的相似与区别。与区别。iiixpx)(dxxxf)(（二）随机变量的方差（二）随机变量的方差 记为记为d(x) 或或2 它们是随机变量所有可能取值偏离其均它们是随机变量所有可能取值偏离其均值的离差的平均水平值的离差的平均水平 是随机变量离中趋势的度量是随机变量离中趋势的度量 离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：d(x)ex

16、ie(x)2 xie(x) 2 p(xi ) 连续型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：d(x) 均方差（或标准差均方差（或标准差）方差的平方根）方差的平方根dxxfxex)()(2四、常用的随机变量分布四、常用的随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布（一）常用的离散型随机变量分布 1. 二项分布二项分布 贝努里试验的特点：贝努里试验的特点： （1）每次试验只有两种结果每次试验只有两种结果“成成功功”(事件事件a发生发生)和和“失败失败”(事件事件a不发不发生生)； （2）每次试验得到一种结果的概率不）每次试验得到一种结果的概率不变（变（“成功成功”的概率总是的概率总是p）；）； （3）

17、每次试验互相独立。）每次试验互相独立。 如果进行如果进行n次贝努里试验，每次成功的概次贝努里试验，每次成功的概率为率为p，那么成功次数，那么成功次数x是一个随机变量，是一个随机变量，其概率分布就是一个二项分布，记为其概率分布就是一个二项分布，记为xb(n，p)，此时，此时，有：有： , 二项分布的数学期望和方差：二项分布的数学期望和方差： e(x)npd(x)np(1p) 二项分布的特例二项分布的特例二点分布（二点分布（01分分布）布） 即即n1时的二项分布。时的二项分布。nkppckxpknkkn, 3 , 2 , 1 , 0)1 ()( 2.泊松分布泊松分布 它衡量某种事件在一定期间出现的

18、数目它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。比如说在一定时间内顾客的人的概率。比如说在一定时间内顾客的人数、打入电话总机电话的个数、放射性数、打入电话总机电话的个数、放射性物质放射出来并到达某区域的粒子数等物质放射出来并到达某区域的粒子数等等。等。 在一定时间（或长度）、区域、容积内，在一定时间（或长度）、区域、容积内，小概率事件（稀有事件）发生的次数的小概率事件（稀有事件）发生的次数的概率分布常常用泊松分布来描述。概率分布常常用泊松分布来描述。 参数为参数为的泊松分布记为的泊松分布记为p()。 若若x p()，则，则x取各个值的概率取各个值的概率为：为： , 泊松分布的数学期望和方差：泊松

19、分布的数学期望和方差： e(x) ； d(x) 二项分布与泊松分布的关系：二项分布与泊松分布的关系：以以n、p为参数的二项分布，当为参数的二项分布，当n趋于无穷大时，趋于无穷大时，二项分布趋近于以二项分布趋近于以为参数的泊松分布，且为参数的泊松分布，且 np 。其中0,3,2,1 ,0!)(kkekxpk（二）（二）常用的连续型随机变量分布常用的连续型随机变量分布 1、正态分布、正态分布 正态分布是最重要、最常用的连续正态分布是最重要、最常用的连续型随机变量分布。主要原因在于：型随机变量分布。主要原因在于： 许多随机变量服从或近似服从正态分布；许多随机变量服从或近似服从正态分布； 由于它特有的

20、数学性质，许多分布（如二项由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正态分布近似计算；分布）可以用正态分布近似计算； 根据中心极限定理，样本平均数的分布服从根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；或近似服从正态分布； 由正态分布可以导出其他许多有用的分布由正态分布可以导出其他许多有用的分布（如卡方分布、（如卡方分布、t分布、分布、f分布）等等。分布）等等。正态分布曲线图正态分布曲线图均值不同，方差相同均值相同，方差不同51102=0.5=2正态分布的概率密度正态分布的概率密度 正态分布也是一族分布，各种正态分布正态分布也是一族分布，各种正态分布根据它们的均值和标准差不

21、同而有区别根据它们的均值和标准差不同而有区别. 若若x服从正态分布，其均值为服从正态分布，其均值为 ，方差为，方差为2，则记为，则记为x n(, 2)，其概率密度为：，其概率密度为： xexfx,21)(222)(f(x)与f(x)1、f(x)：概率密度函数；f(x):分布函数。2、函数表达式的区别：222)(21)(xexfxxxdxexfxf222)(21)()(3、图示的区别中：x)(xf)(xf正态曲线正态曲线 正态分布的概率密度所对应的图形简称正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线正态曲线 正态曲线的主要特征：正态曲线的主要特征： 钟型；钟型； 对称（以对称（以x=为对称轴）；为

22、对称轴）； 以以x轴为渐近线；轴为渐近线； 曲线在曲线在 x= -及及 x= + 处有拐点；处有拐点； 曲线的陡缓程度取决于参数曲线的陡缓程度取决于参数(方差方差) 2。x标准正态分布标准正态分布 特别地，均值为特别地，均值为0，标准差为，标准差为1的正态分的正态分布称为标准正态分布。布称为标准正态分布。 常用常用（x）、）、（x）分别表示标准正）分别表示标准正态分布的概率密度和分布函数。态分布的概率密度和分布函数。 任何正态分布变量都可以用简单的线性任何正态分布变量都可以用简单的线性变换（减去其均值、再除以标准差）而变换（减去其均值、再除以标准差）而成为标准正态分布。成为标准正态分布。x n

23、(, 2) ，则，则z=(x )/ n(0 ,1)一般正态分布化为标准正态分布一般正态分布化为标准正态分布)1 ,0()1 ,0(),(2nzxznxnx则：令例：已知：xn(3,16),求: 1、x8的概率; 2、f（6）;3、f(6); 4、 5x8的概率落在总体均值附近某一区间内的概率落在总体均值附近某一区间内的概率 几乎所有的统计学书后都附有标准正态几乎所有的统计学书后都附有标准正态分布的函数值。查表或利用统计软件即分布的函数值。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。但可查得正态分布在一定区间的概率。但最常用的是求在中心（均值最常用的是求在中心（均值）附近、标）附近、标准

24、差准差的的1、2、3倍区间内的概率：倍区间内的概率：%73.99)3()3(%45.95)2()2(%27.68)1()(xzpxpxzpxpxzpxp标准正态分布（图）及其概率标准正态分布（图）及其概率%45.95%73.990123123%27.682、2分布分布(卡方分布卡方分布)卡方卡方 (c c2) 分布的定义分布的定义)(., 2 , 1),1 , 0(2222222212nnzzzzninzniiccccc记为（卡方）分布，的服从自由度为则称令相互独立。且若卡方卡方 (c c2) 分布的图示分布的图示不同自由度的卡方分布曲线不同自由度的卡方分布曲线n=1n=4n=10n=20卡方卡方 (c c2) 分布的特点分布的特点1、n个独立的标准正态随机变量的平方和个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有仍然为一随机变量，其概率分布是有n个个自由度的自由度的2分布，记为分布，记为2(n); ninzzzznin,2, 1),1 ,0()(222212c2、2 分布是一个以自由度为参数的分布分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；对称分布； 3、随着自由度、随着自由度n的增大，的增大，2分布逐渐趋于分布逐渐趋于正态分布正态分布 ;4、2分布适用于对总体方差的统计推