第二十二讲非齐次线性方程组解的结构

1、1 1 1第五讲第五讲 非齐次线性方程组解的结非齐次线性方程组解的结构构一、非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质二、非齐次线性方程组的通解的结构二、非齐次线性方程组的通解的结构 三、线性方程组的解法三、线性方程组的解法第四章 向量组的线性相关性2 2 22121 xbaxxx则的解都是及设 , 1)(证明证明 . 021 bba . 021 axx满满足足方方程程即即 baba 21, 一、非齐次线性方程组解的性质一、非齐次线性方程组解的性质.的解为对应的齐次方程0ax3 3 3证明证明 aaa ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以baxx 证毕是方程的解是方程设 xbax

2、x,2)( 的一个解的和的一个解的和均可表示为均可表示为 的一个特解和的一个特解和bax 0 ax.,的解仍是方程则的解baxxax 0由性质可以看出方程由性质可以看出方程bax 的任一解的任一解结论：结论：4 4 4.11 rnrnkkx二、非齐次线性方程组的通解二、非齐次线性方程组的通解ax = b 的通解为通过分析知，若求得非齐次线性方程组bax 的一个解的一个解 及对应齐次方程组 的一个0 ax* 基础解系12,n r 则非齐次线性方程组5 5 5三、线性方程组的解法三、线性方程组的解法(1)应用克莱姆法则(2)利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：适用于方程组有唯

3、一解、无解以及有用来证明很多命题计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可的计算方法表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数6 6 6线性方程组a x =b的求解步骤：(1) 写出方程组对应的增广矩阵(a,b);(2) 对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵;(3) 判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形矩阵;(4) 令自由未知量全部为零，可得特解;(5) 令自由未知量一个为1, 其余为零，可得对应的齐次方程组的基础解系;(6) 写出通解.7 7 7例例1 1 .2132 , 13 0 432143214321 x

4、xxxxxxxxxxx解解 2132111311101111),(ba,00000212100211011 :施行初等行变换对增广矩阵b111100024100121 21312rrrr 232312rrrrr 求解方程组组8 8 8 .212,2143421xxxxx .021021 取取中中组组在对应的齐次线性方程在对应的齐次线性方程,2,43421 xxxxx ,00000212100211011 并有故方程组有解可见可见, 2),()( barar,2131 xx则则, 042 xx取即得方程组的一个解9 9 9,100142 及及xx,21 01 31 及及则则xx,1201,001

5、121 即得对应的齐次线性方程组的基础解系101010).,( ,0210211201001121214321rccccxxxx 于是所求通解为111111例2 设ax=b是一个4元非齐次线性方程组，r(a)=3， 是它的三个解，且321, ,432121 ,11113 求ax=b的通解.解解: : 因为r(a)=3， ax= 0的基础解系只含有一个向量，31 32 +,2101 .,3rccx 121212例3 已给方程组 2123123123,1xxxxxxxxx 211,11111ba b 解解 问取何值时有唯一解?无穷多解或无解?有无穷多解时求出通解.21312223110110111rrrr 1313133222223110110021rr 2221101100(1)(2)(1)1， (1)有唯一解 2 1 ，这时唯一解为 2111,222xxx 1 12 23 32223110110111（2） 时 这时无解. 2 ,r ar a b14141412111010001xkk （k1，k2为任意常数为任意常数）.1（3） 时， ,13, r ar a b有无穷多解，这时通解为 1111,1111