高一数学集合综合

1、优秀学习资料欢迎下载一、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、 集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用 Venn 图。本章知识结构集合的概念列举法集合的表示法集合特征性质描述法真子集包含关系子集相等集合与集合的关系交集集合的运算并集补集1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集） ”。理解这句话，应该把握4 个关键词： 对象、确定的、不同的、整体。对象即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体集合不是

2、研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的集合元素的确定性元素与集合的“从属”关系。不同的集合元素的互异性。2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做 。理解它时不妨思考一下“ 0 与 ”及 “ 与 ”的关系。几个常用数集N 、 N* 、 N、 Z、Q、R 要记牢。3、集合的表示方法（ 1）列举法 的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：元素不太多的有限集，如0 ， 1， 8元素较多但呈现一定的规律的有限集，如1 ， 2，3， 100呈现一定

3、规律的无限集，如1 ， 2， 3， n， 注意 a 与 a 的区别注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。（ 2）特征性质描述法 的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如 x|y x2 ， y|y x2 ， （ x， y） |y x2 是三个不同的集合。4、集合之间的关系注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系。“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用 Venn 图描述集合之间的关系是

4、优秀学习资料欢迎下载基本要求。注意辨清与 两种关系。5、集合的运算集合运算的过程， 是一个创造新的集合的过程。 在这里， 我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：ACU AUABBAABBAACU ACU(CU A) AAAAAAAABACU BAAAAABCU AUABABAABABB还要尝试利用Venn 图解决相关问题。二、典型例题例 1.已知集合 A a2, (a 1)2 ,a 23a3，若1A ，求 a。解： 1A根据集合元素的确定性， 得：a2 1, 或（ a21,或 a23a3 11）若 a 2 1

5、， 得 : a1， 但此时 a23a31a 2 ，不符合集合元素的互异性。若 (a1)21，得： a0,或 - 2 。但 a2 时， a23a3 1( a1) 2，不符合集合元素的互异性。若 a23a31, 得： a1, 或2。但 a-1时 , a21; a-2时，( a1) 21，都不符合集合元素的互异性。综上可得， a 0。【小结】 集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点， 互异性是检验结论的工具。例 2.已知集合 M xR | ax22x10 中只含有一个元素，求a 的值。解： 集合 M 中只含有一个元素，也就意味着方程ax 22x1 0 只有一个解。（ 1） a0

6、时 , 方程化为 2 x10x1，只有一个解2（ 2） a0时 , 若方程 ax 22 x10只有一个解需要44a 0,即a 1.综上所述，可知a 的值为 a 0 或 a 1【小结】 熟悉集合语言， 会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。例 3.已知集合 A x | x2x 60, B x | ax10,且BA ，求 a 的值。解： 由已知，得： A 3，2 ， 若 BA ，则 B，或 3，或 2 。若 B ，即方程 ax 1 0 无解，得 a 0。1若 B 3 ， 即方程 ax 1 0 的解是 x 3， 得 a 3 。1若 B 2 ， 即方程 ax 1

7、0 的解是 x 2， 得 a 2。11综上所述，可知a 的值为 a 0 或 a3，或 a 2。优秀学习资料欢迎下载【小结】 本题多体会这种题型的处理思路和步骤。例 4. 已知方程 x 2bxc0 有两个不相等的实根x1， x2. 设 C x 1， x2 ， A 1 ，3，5，7，9， B1 ，4，7，10 ，若 A C,CB C ，试求 b， c 的值。解：由CBCCB ， 那么集合 C 中必定含有 1，4， 7， 10 中的 2 个。又因为 AC，则 A 中的 1，3， 5， 7，9 都不在 C 中，从而只能是 C 4 ，10因此， b（ x1x2 ） 14，cx1 x2 40【小结】 对

8、AC, CB C 的含义的理解是本题的关键。例 5. 设集合 A x | 2x5, B x | m1x 2m 1 ，（1）若 AB， 求 m 的范围；（2）若 ABA ， 求 m 的范围。解：（ 1）若 AB，则 B ，或 m 1>5，或 2m 1< 2当 B 时， m 1>2m 1，得： m<2当 m 1>5 时， m 12m1，得： m>4当 2m 1< 2 时， m 12m 1，得： m 综上所述，可知 m<2， 或 m>4（2）若ABA，则B A，若 B ，得 m<2m 122m1 5若B，则m 12m 1，得： 2 m 3综

9、上，得 m 3【小结】 本题多体会分析和讨论的全面性。例 6.已知 A 0 ，1 ， B x|xA ，用列举法表示集合B，并指出集合 A 与 B 的关系。解： 因为 xA ，所以 x ， 或 x 0 ， 或 x 1 ， 或 x A ，于是集合 B ， 0， 1， A，从而 AB三、练习题1.设集合 M x | x17, a4 2,则（）A. a MB. a MC. a MD. a > M2. 有 下 列 命 题 ： 是 空 集 若 a N, bN ， 则 ab 2 集 合100N , x Z 为无限集，其中正确命 x | x 22x 10 有两个元素 集合 B x |x题的个数是（）A.

10、 0B. 1C. 2D. 33.下列集合中，表示同一集合的是（）A. M （3， 2） ， N （2， 3）B. M 3 ，2 ， N（ 2，3）C. M （ x， y） |x y 1 ， N y|x y 1 D.M 1 ，2 ， N2，14.设集合 M 2,3, a 21, N a 2a4,2a1，若MN 2 ， 则 a 的取值集合是（） 3,2, 13, 1A.2B. 3C.2D. 3，25.设集合A x| 1 < x < 2 ， B x| x < a ， 且 AB ， 则实数 a 的范围是 （）优秀学习资料欢迎下载A. a2B. a2C. a1D.a1( x, y) |

11、y1x6.设 x，y R，A （ x，y）|y x ， B ， 则集合 A ，B 的关系是（）A.A BB.B AC. ABD.A B7.已知 M x|y x2 1， N y|y x21 ， 那么 M N（）A. B. MC. ND. R8.已知 A 2， 1，0，1 ， B x|x |y|，y A ，则集合 B _9.若 A x | x 23x20, B x | x2axa10, 且BA ，则 a 的值为 _10. 若 1，2， 3A1 ， 2，3， 4， 5 ，则 A _11. 已知 M 2 ， a， b ，N 2a， 2，b2 ，且 M N 表示相同的集合，求 a， b 的值12.已知集

12、合 A x | x24xp0, B x | x2x20且AB, 求实数 p 的范围。13.已知 A x | x2axa 2190, B x | x 25x60 ，且 A ， B 满足下列三个条件：ABABB AB ，求实数 a 的值。例1：设Sxxmn2, m,nZ(1). 设 aZ , 则 a是否是集合 S中的元素(2).对 S 中任意两个元素x1 , x2 ，判断 x1x2, x1 x2 是否属于 S .解： (1)a 一定不是集合S 中的元素(2).x1S, x2S,令x1m1n12, x2m2n22,则x1x2( m1m2 )( n1n2 )2Sx1 x2(m1m22n1n2 )(m1

13、n2m2n1)2S例3:已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f (x)的全体 : f (x) 在其定义域上是单调函数；在f (x) 的定义域内存在闭区间 a,b，使得f (x)在 a,b 上的最小值是a，且最大值是b.22请解答以下问题：判断函数g( x)x3 是否属于集合M？并说明理由.若是，请找出满足的闭区间a,b ；若函数h(x)x1tM，求实数t 的取值范围解: （1）设 x1x2 , 则g（ x 1） g（ x 2）33（ x 2 - x 1）（ x 22x 1 x 22）（ x 212320x 1x 2x 1- x 1）（ x 2x 1）x 124优秀学习资料欢迎下载 g（ x1

14、） g（ x 2）, 故 g（x)是 R 上的减函数假设函数 g（ x) M ，a 3ba2a2则22或2a22b3bb222a22又 a<bg（ x)M2b2满足条件（ 2）的闭区间为2 ,222（2）h( x)x 1 tM则设 1x1x2 ,x1x20 h（ x1 ）- h（ x2 ）= x1 1 t ( x2 1 t )x1 1 x2 1x1 1x2 1 h（ x1 ） - h （ x2 ）0 h（ x）为 1,上的单调增函数 h(x) m in =h(a)=a1ta2h(x) max =h(b)=b1tb2 t= aba1且 tb122 关于 x 的方程 t= xx1 ，（ x1

15、）有两解2令 x1m, 则 t120）有两解（ m1）（ m2即 m 22m1 2t0在 1，上有两个不同的解。 0f ( 0 )0t0, 12优秀学习资料欢迎下载四、练习题答案1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.C8. 0 ，1， 29. 2，或 310. 1 ，2，3或1 ，2，3，4或1 ，2，3，5 或1 ，2，3，4，5a14a2aab2a0a0b111. 解： 依题意，得：bb2或 b2a ，解得：b0 ，或 b1 ，或2a14a0b1b1 或2 。结合集合元素的互异性，得12. 解： B x|x< 1， 或 x>2若A，即164 p0，满足 AB ，此时 p4 若

16、 A，要使 AB ，须使大根24p124 p2或小根（舍），解得：3 p4所以p 313. 解： 由已知条件求得B2 ，3，由 ABB，知 AB 。而由 知AB，所以 AB 。又因为 A B ，故 A，从而 A 2 或3 。当 A 2 时，将 x 2 代入 x2axa2190，得42aa 2190a3或 5经检验，当 a 3 时， A 2 ， 5;当 a 5 时， A 2 ， 3 。都与 A 2 矛盾。当 A 3 时，将 x 3 代入 x2ax a2190 ，得93a a 219 0a2或5经检验，当a 2 时， A 3 ， 综上所述，不存在实数a 使集合 A ，5;当 a 5 时， A 2

17、， 3 。都与 A 2 矛盾。B 满足已知条件。优秀学习资料欢迎下载历年高考题精选：x例 1 (20XX 年天津理工高考 ) 设集合 A=x|4x 1| 9，xR，B=x| x3 0 ，xR 则 AB =例 2 (20XX 年重庆理工高考 ) 集合 A= xR|x2 x6 < 0 ，B= x R|x 2| <2 ，则 A B =_。x10例 3(20XX 年湖南理工高考 ) 集合 A=x| x1b| < a ，若“ a = ，B =x|x1”是“ AB =”的充分条件，则 b 的取值范围可以是 ()例 4(2000 年春季高考 ) 设全集 U=a，b，c，d，e ，集合 A=a， c， d ，B=b，d，e ，那么 CU ACU B =（）。例 5(1994 年全国高考 ) 设全集 U=0