高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练

1、学习必备精品知识点高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练1正弦定理 :a班级姓名座号bc2R或变形： a : b : csin A :sin B :sin C .sin Aa22余弦定理：b2c2sin Bsin Ccos Ab2c2a2b2c22bc cos A2bca2c2b2a2c22ac cos B 或cos B.b2a22ba cosC2accosCb2a2c22ab3（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其

2、他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5解题中利用ABC 中 ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( AB)sin C , cos( AB)cosC , tan( AB)tan C ,sin ABcosC ,cos ABsin C .2222表一：已知条件定理一般解法应用一边和两角正弦由 A+B+C=180 ，求角 A ，由正弦定理求出b 与 c，在（如 a、 B、 C）定理有解时有一解。两边和一边的对角(如正弦具体情况见表二a、 b、 A)定理两边和夹角余弦由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的( 如 a、

3、 b、 C)定理角，再由 A+B+C=18 0求出另一角，在有解时有一解。学习必备精品知识点三边余弦由余弦定理求出角 A 、B ，再利用 A+B+C=180 ，求出(如 a、 b、c)定理角 C 在有解时只有一解。表二： 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A 为钝角A 为直角A 为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinA两解a=bsinA一解a<bsinA无解基础达标：1. 在 ABC中， a=18， b=24， A=45°，此三角形解的情况为A. 一个解B.二个解C.无解D.无

4、法确定2在 ABC中，若a 2, b2 2, c62，则 A 的度数是A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°3ABC中，若 a2 =b2+c2+bc，则 A=A. 60B. 45C. 120D. 304边长为5、 7、8 的三角形的最大角与最小角之和为A. 90 °B. 120° C. 135°D.150°5. 在 ABC中，已知 a3 ， b2 ，B=45 . 求 A、C 及 c.学习必备精品知识点6在 ABC 中，若 B450 ， c2 2 ， b43，求 A.37在ABC 中，若 a2 b2c2bc

5、 ，求 A .能力提升：8锐角ABC中，若 C=2B，则 AB 的取值范围是ACA.(0 ， 2)B. ( 2,2)C. (2, 3) D.( 3,2)9.已知在 ABC中， sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么 cosC 的值为A.1B. 1C.2D. 2443310. 等腰三角形底边长为 6，一条腰长 12，则它的外接圆半径为A. 1615B.4 3C.815D.635511在ABC 中，已知三边a 、 b 、 c 满足 ab ca bc 3ab ，则 C A 15B 30C 45D 6012钝角ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为（）。A 、1、2、3 B 、2、3、4

6、C 、3、 4、5D 、4、 5、613在ABC中， BC=3， AB=2， sin C2 (61) ，则 A=_.sin B5学习必备精品知识点14.在 ABC中， A=60°， b=1， c=4，则abc_.sin Asin Bsin C15.在 ABC中， B=120°， sinA:sinC=3:5， b=14，则 a， c 长为 _.综合探究：16已知钝角ABC 的三边为： ak , bk2 , ck4 , 求实数 k 的取值范围 .17. 在 ABC 中，角 A、 B、 C的对边分别为a、 b、 c，证明 : a2b2sin( A B) .c2sin C、13 周

7、周练参考答案：基础达标：1.B2.A3.C4.B学习必备精品知识点5. 解析：解法1：由正弦定理得：asin B3 sin 453sin A22b A=60 或 120当 A=60 时， C=75bsin C2 sin 7562， csin 452；sin Bbsin C2 sin 1562当 A=120 时， C=15 ， csin 452.sin B6. bc，sin Csin B sin Ccsin B22 sin 453b4，233 0 C180 ， C60 或C120当 C60时， A75；当C120 时， A 15，；所以 A75或 A15 7. bc b2 c2 a2 ，由余弦定

8、理的推论得：cosAb2c2a212bc2 0A 180，A60 .能力提升：8.C9.A10.C11.D 由 a bc ab c 3ab ，得 a2b22ab c23ab由余弦定理的推论得：a2b2c21，cosC2ab2 0 C 180，C 60.12.B ；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。选项 A 不能构成三角形；学习必备精品知识点选项 B 中最大角的余弦值为22324210 ，故该三角形为钝角三角形；2234选项 C 中最大角的余弦值为：324252240 ，故该三角形为直角三角形；3选项 D 中最大角的余弦值为4252621，故该三角形为锐角三角形 .2450813.12014.

9、23915.6,103综合探究：16. ABC 中边 ak , bk2 , ck 4 ， a k0 ，且边 c 最长， ABC 为钝角三角形当 C 为钝角时 cosCa2b2c22ab0 ， a2b2c20 ,即 a2b2c2 k2( k 2) 2(k 4)2 ,解得 2 k 6,又由三角形两边之和大于第三边：k (k 2) k 4 , 得到 k2 ，故实数 k 的取值范围：2 k6 .17. 证法一 : 由正弦定理得：a2b2sin 2 A sin 2 Bcos2 B cos2 Ac2sin 2 C2sin 2 C=2sin( BA)sin( BA)sinC sin(AB)sin( A B)2sin 2 C=.sin 2 Csin C证法二 : 由余弦定理得222a =b +c -2bccosA ，则 a2b2c22bc cos A12b cos A ，c2c2c又由正弦定理得bsin B ，csin