曲面及其方程27034

1、湖北经济学院数学教研室2005.5第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面湖北经济学院数学教研室2005.5水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念湖北经济学院数学教研室2005.5以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面. .解解rmm |0根据题意有根据题意有 rzzyyxx 202020 2202020rz

2、zyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222rzyx 湖北经济学院数学教研室2005.5根据题意有根据题意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解湖北经济学院数学教研室2005.5例例3 3 方程方程 042222 yxzyx解解 通过配方，原方程可以改写成通过配方，原方程可以改写成5)2()1(222 zyx原方程表示球心在点原方程表示球心在点)0 , 2, 1(0 m、半径为、半径为5 r的球面的球面.表示怎样的曲面？表示怎样的曲面？湖北经济学院数学教研室2005.5

3、以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程返回返回湖北经济学院数学教研室2005.5二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面转一周所成的曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴xozy0),( zyf), 0

4、(111zym md湖北经济学院数学教研室2005.51)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf),(zyxm设设湖北经济学院数学教研室2005.5将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf湖北经济学院数学教研室2005.5xozy解解 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 湖北经济学院数学教研室2005.5122222 czyax122222 czayx例例5 5 将将xoz坐

5、标面上的坐标面上的旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转一周，求生成的旋转曲面的方程解解 绕绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面:绕绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面:湖北经济学院数学教研室2005.5 xyoz z单叶双曲面图形单叶双曲面图形双叶双曲面图形双叶双曲面图形返回返回xyoz湖北经济学院数学教研室2005.5定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成所形成的曲面称为柱面的曲面称为柱面. .cl这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，

6、动直线，动直线 叫柱面叫柱面的的母线母线. .cloyxzm222ryx 湖北经济学院数学教研室2005.5柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面湖北经济学院数学教研室2005.5xyzocf (x, y)=0 xyzox -z=0湖北经济学院数学教研室2005.5从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y返回返回湖北经济学院数学教研室2005.5二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方

7、程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面四、二次曲面四、二次曲面湖北经济学院数学教研室2005.5oxyz(1) 椭圆锥面椭圆锥面:22222zbyax 湖北经济学院数学教研室2005.5ozyx (2)(2)椭球面：椭球面：

8、1222222 czbyax122222 czayx12222 czax旋转椭球面旋转椭球面湖北经济学院数学教研室2005.5椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. .1zz )| (1cz 湖北经济学院数学教研室2005.5,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面

9、上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为湖北经济学院数学教研室2005.51222222 czbyax(3)单叶双曲面单叶双曲面:12222 czax122222 czayx绕绕z轴轴沿沿y轴伸缩轴伸缩ab湖北经济学院数学教研室2005.5(4)双叶双曲面：双叶双曲面：1222222 czbyax12222 czax122222 czayx绕绕x轴轴沿沿y轴伸缩轴伸缩cb湖北经济学院数学教研室2005.5（5 5）椭圆抛物面）椭圆抛物面: :zbyax 2222xyzozax 22绕绕z轴轴沿沿y轴伸缩轴伸缩abzayax 2222旋转抛物面旋转抛物面湖北经济学院数学教研室2005.5zbyax 2222(6)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面