第五节曲线的凹凸性拐点与渐近线

1、第五节第五节 曲线的凹凸性曲线的凹凸性、拐点与渐近线拐点与渐近线xyobaxyobaxyoba一一.曲线的凹凸性曲线的凹凸性定义定义1 直观定义直观定义.注注 (1)凹凹 凸凸 (2)凹也称上凹、下凸凹也称上凹、下凸凸也称上凸、下凹凸也称上凸、下凹.定义定义2 如果在某个区间内如果在某个区间内, 曲线位于其上曲线位于其上任一点切线的上方任一点切线的上方, 则称该曲线在则称该曲线在这个区间内是凹曲线这个区间内是凹曲线;如果在某个区间内如果在某个区间内, 曲线位于其上曲线位于其上任一点切线的下方任一点切线的下方,则称该曲线在则称该曲线在这个区间内是凸曲线这个区间内是凸曲线;xoyabxoyab1x

2、1x2x2x2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 221xx 221xx 定义定义3 如果对某区间内任意两点如果对某区间内任意两点21, xx有有,2)()()2(2121xfxfxxf 则称曲线为凹曲线则称曲线为凹曲线;,2)()()2(2121xfxfxxf 则称曲线为凸曲线则称曲线为凸曲线.如果对某区间内任意两点如果对某区间内任意两点21, xx有有如果如果)(xf函数函数在区间在区间),(ba内可导内可导,则曲线则曲线)(xf在区间在区间),(ba内凹内凹(凸凸)导函数导函数)(xf 在区间在区间),(ba内单调增加内单调增加(减少减少).证证

3、条件条件:)(xf ,结论结论:曲线曲线)(xf) 曲线曲线:)(xfy 曲线上任一点曲线上任一点0 x处的切线处的切线:)()(000 xxxfxfy 即即)()(000 xxxfxfy 只需证只需证)()()(000 xxxfxfxf ()(0 xx )(xf 单调增加单调增加, 对对),(bax 只需证只需证)()()(000 xxxfxfxf 设设)()()(000 xxxfxfxf )()()(000 xxxfxfxf )()(000 xxxfxxf 0 xxab )()(00 xxxff 0 所以所以)()()(000 xxxfxfxf 故曲线为凹曲线故曲线为凹曲线.)(0 xx

4、(条件条件:曲线曲线)(xf 结论结论:)(xf, )设设21xx 是是),(ba内任意两点内任意两点曲线上过曲线上过1x处的切线处的切线:)()(111xxxfxfy 曲线上过曲线上过2x处的切线处的切线:)()(222xxxfxfy )(xf,因曲线因曲线)()()(111xxxfxfxf 故故 )()()(222xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf )()()(21221xxxfxfxf 从而从而)1()()()(12112xxxfxfxf )2()()()(21221xxxfxfxf 从而从而(1)式与式与(2)式相加得式相加得0)()(1212 xxxfxf故故)

5、()(12xfxf 从而从而)(xf 单调增加单调增加.设设)(xf函数函数在区间在区间),(ba内有内有二阶导数二阶导数,那么那么如果如果),(bax 时时, 恒有恒有, 0)( xf则曲线则曲线)(xf在区间在区间),(ba内是凹曲线内是凹曲线;如果如果),(bax 时时, 恒有恒有, 0)( xf则曲线则曲线)(xf在区间在区间),(ba内是凸曲线内是凸曲线.例例1讨论曲线讨论曲线12)(34 xxxf的凹凸性的凹凸性.解解2364)(xxxf )(xf的定义域为的定义域为),(令令)1(12)( xxxf0)( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,()1 , 0(), 1

6、( 补充补充:07年考研真题年考研真题10分分设函数设函数( )yy x 由方程由方程ln0yyxy确定确定,试判断曲线试判断曲线( )yy x 在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解ln210yyy1ln2yy ( )yy x 在点在点(1,1)附近是凸的附近是凸的.21(ln2)yyyy 31(ln2)yy 0 利用凹凸性证明不等式利用凹凸性证明不等式例例2试证明试证明 x0时时,有有.2sin xx (99年考题年考题)证明证明 xxxf 2sin)( 12cos21)( xxf2sin41)(xxf 0 所以曲线是凸的所以曲线是凸的又又0)0( f0)( f故故 x0时时 x

7、xxf 2sin)(0 即即.2sin xx 定义定义 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.如果如果)(,(00 xfxp为曲线为曲线)(xf的拐点的拐点,则必有则必有0)(0 xf或或)(0 xf 不存在不存在.0)( xf)(xf 不存在不存在注注 (1)一般来说圈中的点为一般来说圈中的点为有限多个有限多个.(2)拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点,表表示拐点要用两个坐标示拐点要用两个坐标.二二.曲线的拐点曲线的拐点例例3 讨论曲线讨论曲线12)(34 xxxf拐点拐点.解解2364)(xxxf )(xf的定义域为的定义域为),(令令)1(12)( xxxf0)

8、( xf得得1, 0 xxx)(xf )(xf)0 ,(0)1 , 0(), 1( 1 00 )1 , 0()0 , 1(拐点拐点拐点拐点例例4讨论曲线讨论曲线35)1()(xxxf 的凹凸性与拐点的凹凸性与拐点解解)(xf的定义域为的定义域为),(令令310 41( )9xfxx 0)( xf得得41 xx)(xf )(xf)0 ,( 0)41,0(),41( 41 不不存存在在0 )0 , 0()16163,41(3 32353538)(xxxf 另另)0(f 不存在不存在三三.曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义如果曲线上的动点如果曲线上的动点p沿着曲线无限沿着曲线无限地远离原点时地远离原点

9、时,点点p与某一固定直线与某一固定直线的距离趋于零的距离趋于零,则称该直线为曲线的则称该直线为曲线的渐近线渐近线.1.水平渐近线水平渐近线2.垂直渐近线或铅垂渐近线垂直渐近线或铅垂渐近线3.斜渐近线斜渐近线渐近线渐近线1.水平渐近线水平渐近线xoybxpby 是水平渐近线是水平渐近线0)(lim bxfxbxfx )(lim0)(lim bxfx或或或或bxfx )(lim例例5 求曲线求曲线xy1 的水平渐近线的水平渐近线.解解 因因01lim xx水平渐近线为水平渐近线为. 0 y)(xfy 2.垂直渐近线或铅垂渐近线垂直渐近线或铅垂渐近线xoyxpccx 是铅垂渐近线是铅垂渐近线 )(l

10、imxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的间断点的间断点例例4 求曲线求曲线xy1 的铅垂渐近线的铅垂渐近线.解解 因因 xx1lim0铅垂渐近线为铅垂渐近线为. 0 x0是是)(xf的间断点的间断点, 且且 xx1lim0 )()()(xfy 3.斜渐近线斜渐近线xoyxpbaxy baxy 是斜渐近线是斜渐近线0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim lim ( )()0(0)xf xaxba或或lim ( )()0(0)xf xaxba)(xfy 设设lim ( )()0(0)xf xaxba又又01lim xx故故

11、0)()(1lim baxxfxx从而从而0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 若若0)(lim axxfxbaxxfx )(lim 则则lim ( )()0(0)xf xaxba讨论讨论例例6 求曲线求曲线122 xxy的斜渐近线的斜渐近线.解解 xxfx)(lim021 21)(limxxfx41 4121 xy是斜渐近线是斜渐近线. 12limxxx)12(2lim xxxby 是水平渐近线是水平渐近线bxfx )(lim或或bxfx )(limcx 是铅垂渐近线是铅垂渐近线 )(limxfcx或或 )(limxfcxc是是)(xf的间断点的间断点)()()0)(lim axxfx或或baxxfx )(lim 0)(lim axxfxbaxxfx )(lim baxy 是斜渐近线是斜渐近线渐近线总结渐近线总结:练习练习 求曲线求曲线xexy11)1( 的渐近线的渐近线.解解 xxxexxf11)1(lim)(lim 故无水平渐近线故无水平渐近线. xxxexxf1100)1 (lim)(lim0 xxxexxf1100)1 (lim)(lim (1)(2)故有垂直渐近线故有垂直渐近线. 0 x xxfx)(lim0 e)(