新函数凹凸性34

1、第四节第四节一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点与函数作图曲线的凹凸性 第三三章 二、二、 曲线的渐近线曲线的渐近线三、三、 函数图形的描绘函数图形的描绘一、曲线的凹凸与拐点一、曲线的凹凸与拐点221xx 221xx xyoabcxyo)(xfy 1xxyo1x2x)(xfy 2x定义定义1212121212( ),()(),(),( )22;()()(),( )22f xiixxf xf xx xff xixxf xf xff xi设在区间上连续 如果对上任意两点恒有那末称在上的图形是凹的（或凹弧）如果恒有那末称在上的图形是凸的（或凸弧） xyo)(xfy xyo)(xfy abab递增

2、递增)(xf abba0 y递减递减)(xf 0 y定理定理2 2( (凹凸性判定凹凸性判定) ).)()()()()()()(,)()(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在具有一阶和二阶导数具有一阶和二阶导数内内在在上连续上连续在在如果如果b ,axf,xf;b ,axf,xfb ,ab ,a,b ,axf0201 证证: :,b ,ax,x21利用拉格朗日中值定理得利用拉格朗日中值定理得)()(1fxf221xx )()(2fxf221xx )(f 2)(2x221xx 两式相加两式相加)(2)()(21fxfxf221xx 212xx )(

3、-)(12 f f,0)(时当 xf),(2)()(21fxfxf221xx 说明 (1) 成立;(2)(f 1)(1x221xx 证毕例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.1 1、定义、定义2 2、拐点的求法、拐点的求法例例2 2.1433

4、4凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为例例3 3 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. . 解解: :,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点( 0 , 0 )( 0 , 0 )为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 . .oxy凹凹凸凸特别地特别地:

5、 :.xfyxf ,x,xf,xf,xxf的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在若函数若函数)()()()()( 0000000例例4 4.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 二、渐近线二、渐近线定义定义: :.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离

6、的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyllppxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbx

7、fxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy3.3.斜渐近线斜渐近线.xfybaxya ,b ,abaxxfbaxxfxx的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果)()()()(lim)()(lim000斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以

8、断定可以断定xfy 例例5 5.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:d )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxf三、函数图形的描绘三、函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 求求

9、出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.)(xf( )fx ，求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数， 和二阶导数和二阶导数第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形

10、的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.作图举例作图举例例例6 6.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xd非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得驻点得驻点, 0)( xf令令. 3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2

11、 xxxfxx, 2 ; 2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( :补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( a),6 , 1(b).1 , 2(c作图作图xyo2 3 2111 2 3 6abc2)1(4)(2 xxxf例例7 7.21)(22的

12、图形的图形作函数作函数xex 解解),(:d偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx , 0)( x令令, 0 x得驻点得驻点, 0)( x令令. 1, 1 xx得得特特殊殊点点. 4 . 021)(0: xw.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex , 0 . 0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,( ), 1( )0 , 1( 1 )1 , 0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21, 1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21, 1(

13、e xyo11 212221)(xex 例例8 8.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:d无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得驻点得驻点, 0)( xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0 , 1( a),1 , 0(b).85,23(c列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极