高中数学(人教A版选修2-2)练习：172定积分在物理中的应用

1、课时提升作业(十三)定积分在物理中的应用一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·北京高二检测)一物体沿直线以v=3t+2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在36s间的运动路程为()A.46 mB.46.5 mC.87 mD.47 m【解析】选B.s=(3t+2)dt=(54+12)-=46.5(m).2.(2014·宿州高二检测)一物体在力F(x)=15-3x2(力的单位：N，位移的单位：m)作用下沿与力F(x)成30°角的方向由x=1m直线运动到x=2m处，作用力F(x)所做的功W为()A.JB.2JC.4JD.J【解析】选C.W=F(

2、x)cos 30°dx=(15-3x2)dx=(15x-x3)= (30-8)-(15-1)=4(J).3.做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s)，则物体在前5s内经过的路程为()A.15mB.16mC.17mD.19m【解析】选C.物体在前5s内经过的路程为s=|8-2t|dt=(8-2t)dt-(8-2t)dt=(8t-t2)-(8t-t2)=17(m).【变式训练】做直线运动物体的速度为v(t)=8-2t(m/s)，则物体在前5s内的位移为()A.15mB.16mC.17mD.19m【解析】选A.物体在前5s内的位移为s=(8-2t)dt=(8t-t2)=15(m)

3、.4.(2014·阜阳高二检测)一物体以速度v=(3t2+2t)m/s做直线运动，则它在t=0s到t=3s时间段内的位移是()A.31 mB.36 mC.38 mD.40 m【解析】选B.x=(3t2+2t)dt=(t3+t2)=33+32=36(m)【误区警示】解答此类题目时一定要注意求的是位移还是路程，二者有本质区别，否则就会导致求解错误.二、填空题(每小题4分，共8分)5.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t的函数，若已知产量的变化率为a=，那么从3小时到6小时期间内的产量为_.【解析】dt=6-3.答案：6-36.模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，

4、以此时为起点，加速度满足a(t)=100-4t2，则火箭前3s内的位移等于_.【解析】由题设知，t=0时，v(0)=0，s(0)=0，所以v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3，那么s=v(t)dt=dt=423(m)，所以火箭前3s内的位移为423m.答案：423m【误区警示】本题容易混淆运动物体的加速度与瞬时速度的关系，变速直线运动的速度问题的一般解法：做变速直线运动的物体所具有的速度v，等于其加速度函数a=a(t)在时间区间m，n上的定积分，即v=a(t)dt.三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·广州高二检测)A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开

5、往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点的速度达24m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.2t)m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A，C间的距离.(2)B，D间的距离.(3)电车从A站到B站所需的时间.【解析】(1)设A到C经过t1s，由1.2t1=24得t1=20(s)，所以AC=1.2tdt=0.6t2=240(m).(2)设从D到B经过t2s，由24-1.2t2=0得t2=20(s)，所以DB=(24-1.2t)dt=240 (m).(3)CD=7200-2×240=6720(m).从C到D的时间

6、为t3=280(s).于是所求时间为20+280+20=320(s).8.(2014·南通高二检测)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.【解析】物体的速度v=x(t)=(bt3)=3bt2，媒质阻力F阻=kv2=k·(3bt2)2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)当x=0时，t=0，当x=a时，t=t1=，所以阻力做的功是：W阻=F阻ds=kv2·vdt=kv3dt=k(3bt2)3dt=kb3=k=ka2.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2

7、014·石家庄高二检测)已知一质点做自由落体运动，其速度v=gt，则质点从t=0到t=2所经过的路程为()A.gB.2gC.3gD.4g【解析】选B.s=gtdt=gt2=2g.2.( 2013·湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=73t+(t的单位：s， v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2【解析】选C.令73t+=0，则t=4或t=-<0，舍去.dt=4+25ln5.3.(2014·长沙高二检测)一物体在力F

8、(x)=(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A.44 JB.46 JC.48 JD.50 J【解题指南】物体在0m到2m上做的功等于10×2=20(J)，在2m到4m上做的功为(3x+4)dx.【解析】选B.W=10×2+(3x+4)dx=20+=20+26=46(J).二、填空题(每小题4分，共8分)4.汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)(其中v0，a均为正的常数)开始减速直线行驶，至B点停止，则A，B之间的距离s=_m.【解析】汽车从A处起以速度v(t)=v0-at(m/s)开始减速直线行驶

9、，至B点停止时，v(t)=0v0-at=0t=，则A，B之间的距离s=(v0-at)dt=(v0t-at2)|=(m).答案：5.(2014·阜阳高二检测)已知弹簧原长为20 cm，在弹性限度内，弹簧所受200 N的拉力所做的功为10 J，则此时弹簧的长度为_.【解题指南】设出弹簧的伸长量，表示变力的函数式，根据变力做功的公式建立方程，计算要注意单位换算.【解析】设弹簧所受的拉力F(x)=kx，弹簧受200N拉力的伸长量为l(m)，由题意得200=kl，即k=，所以F(x)=x，依题意得W=xdx=10，所以x2|=10，即100l=10，所以l=0.1(m)=10 cm，所以此时弹

10、簧长度为30cm.答案：30cm三、解答题(每小题10分，共20分)6.已知物体从水平地面做竖直向上抛运动的速度-时间曲线如图，求物体：(1)距离水平地面的最大值.(2)从t=0(s)到t=6(s)的位移.(3)从t=0(s)到t=6(s)的路程.【解题指南】(1)求速度为0时的时间区间上的位移.(2)求06s内速度函数的定积分.(3)求06s内速度函数的绝对值的定积分.【解析】(1)设速度-时间函数式为v(t)=v0+at，将点(0，40)，(6，-20)的坐标分别代入，得v0=40，a=-10，所以v(t)=40-10t，令v(t)=040-10t=0t=4，物体从0s运动到距离水平地面的

11、最大值为s=(40-10t)dt=(40t-5t2)=80(m).(2)由上述可知，物体在06s内的位移为s=(40-10t)dt=(40t-5t2)=60(m).(3)由上述可知，物体在06s内的路程为s=|40-10t|dt=(40-10t)dt-(40-10t)dt=(40t-5t2)-(40t-5t2)=80+20=100(m).7.(2014·南京高二检测)有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).(1)P从原点出发，当t=6时，求点P离开原点的路程和位移.(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值.【解析】(1)由v(t)=8t-2t20得0t4，即当0t4时，P点向x轴正