人教版高中数学选修11课后提升作业 二十五 3.4 Word版含解析

1、起课后提升作业 二十五生活中的优化问题举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为()a.8m3b.12m3c.16m3d.24m3【解析】选a.设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以0<x<3,则v=x2·(6-2x)=6x2-2x3,v=12x-6x2,令v=0得x=2或x=0(舍),所以当x(0,2)时,v是增函数,当x(2,3)时,v是减函数,所以当x=2时,vmax=4×2=8(m3).2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形

2、堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为()a.16 m,16 mb.32 m,16 mc.32 m,8 md.16 m,8 m【解析】选b.如图所示,设场地一边长为xm,则另一边长为512xm.因此新墙总长度l=2x+512x(x>0),l=2-512x2.令l=0,得x=16或x=-16(舍去).因为l在(0,+)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以512x=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或

3、体积的函数,2.再用导数求最值.3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值为()a.0.016 2b.0.032 4c.0.024 3d.0.048 6【解析】选b.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x(0,0.0486).所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0<x<0.0486),则y=0.0972kx-3kx2.令y

4、=0,得x=0.0324或x=0(舍去).当0<x<0.0324时,y>0;当0.0324<x<0.0486时,y<0.所以当x=0.0324时,y取得最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应为()a.2033cmb.100cmc.20cmd.203cm【解析】选a.设高为xcm,则底面半径为400-x2cm,所以圆锥体积v=13·(400-x2)·x=(400x-x3)3(cm3),v=(400-3x2)3,令v=0,得x=2033或x=-2033(舍去

5、),经判断可得x=2033(cm)时,v最大.5.(2016·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v,则其表面积最小时,底面边长为()a.3vb.32vc.34vd.23v【解析】选c.如图,设底面边长为x(x>0),则底面积s=34x2,所以h=vs=4v3x2.s表=x·4v3x2×3+34x2×2=43vx+32x2,s表=3x-43vx2,令s表=0得x=34v,因为s表只有一个极值,故x=34v为最小值点.6.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为()a.12b.1c.21

6、d.2【解析】选c.设圆柱高为x,底面半径为r,则r=6-x2,圆柱体积v=6-x22·x=14(x3-12x2+36x)(0<x<6),v=34(x-2)(x-6),当x=2时,v最大.此时底面周长为4,底面周长高=42=21.7.三棱锥o-abc中,oa,ob,oc两两垂直,oc=2x,oa=x,ob=y,且x+y=3,则三棱锥o-abc体积的最大值为()a.4b.8c.43d.83【解析】选c.v=13×2x22·y=x2y3=x2(3-x)3=3x2-x33(0<x<3),v=6x-3x23=2x-x2=x(2-x).令v=0,得x

7、=2或x=0(舍去),所以x=2时,v最大为43.8.(2015·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入r与年产量x的关系是r(x)=-x3900+400x,0x390,90 090,x>390,则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是()a.150b.200c.250d.300【解析】选d.因为总利润p(x)=-x3900+300x-20 000,0x390,90 090-100x-20 000,x>390,当0x390时,p(x)=-1300x2+300,令p(x)=0,得x=±300,当x(

8、0,300)时,p(x)>0,p(x)递增,当x(300,390)时,p(x)<0,p(x)递减,所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,所以当x=300时,总利润最大.【补偿训练】某厂生产某产品x(万件)的总成本c(x)=1200+275x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100万件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大()a.23万件b.25万件c.50万件d.75万件【解析】选b.设单

9、价为a万元,由题意知a2=kx且502=k100,所以k=502×100=25×104,所以a2=25×104x,即a=500x,总利润y=a·x-c(x)=500x·x-1 200+275x3=500×x-275x3-1200,y=250x -12-12-225x2,令y=0得x=25,所以产量定为25万件时总利润最大.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为,宽为时,矩形的面积最大.【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,此时s=x·(3

10、0-x)=30x-x2,s=30-2x=0,所以x=15.所以长为15cm,宽为15cm时,矩形的面积最大.答案:15cm15cm【补偿训练】若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为百万件.【解析】依题意得,y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0<x<3时,y>0;当x>3时,y<0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大.答案:310.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离

11、车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=k1x,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=45.所以两项费用之和为y=20x+4x5(x>0),y=-20x2+45,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y<0;当x>5时,y>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答

12、案:5三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·韶关高二检测)已知a,b两地相距200km,一只船从a地逆水行驶到b地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(8<vv0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?【解析】设每小时的燃料费为y1元,比例系数为k(k>0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,所以720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y元,由题意y=y1·200v-8=1 000v2v-8,所以y=2 000

13、v(v-8)-1 000v2(v-8)2=1 000v2-16 000v(v-8)2.令y=0,得v=16,所以当v016,v=16km/h时全程燃料费最省,ymin=32000(元);当v0<16,v(8,v0时,y<0,即y在(8,v0上为减函数,所以当v=v0时,ymin=1 000v02v0-8(元).综上,当v016,v=16km/h时,船的实际速度为16-8=8(km/h),此时全程燃料费最省,为32000元;当v0<16,v=v0时,船的实际速度为(v0-8)km/h,此时全程燃料费最省,为1 000v02v0-8元.【误区警示】忽视定义域致错本题在解题过程中容

14、易忽视定义域,误以为v=16时取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内.12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6<x<11),年销量为u万件,若已知5858-u与x-2142成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.【解析】(1)设5858-u=kx-2142,因为售价为10元时,年销量为28万件,所以5858-28=k10-2142,解得k=2.所以u=-2x-2142+5858=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33

15、x2-108x-108(6<x<11).(2)y=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).令y=0,得x=2(舍去)或x=9,显然,当x(6,9)时,y>0;当x(9,11)时,y<0.所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8m2,问:x,y分别是多少时用

16、料最省?(精确到0.001m)【解析】依题意,有xy+12·x·x2=8,所以y=8-x24x=8x-x4(0<x<42),于是框架用料长度为l=2x+2y+22x2=32+2x+16x.l=32+2-16x2=0,解得x1=8-42,x2=42-8(舍去).当0<x<8-42时, l<0;当8-42<x<42时, l>0,所以当x=8-42时,l取得最小值,此时,x=8-422.343(m),y2.829m.即当x为2.343m,y为2.829m时,用料最省.【能力挑战题】请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点o到底面中心o1的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.【解析】设oo1为xm,则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为32-(x-1)2=8+2x-x2.于是底面正六边形的面积