高二人教版数学选修11练习：3.3.3函数的最大小值与导数 Word版含答案

1、起基础梳理1函数的最大值与最小值一般地，如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值函数的最值必在极值点或区间端点取得2求函数 yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数 yf(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3极值与最值的区别与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的

2、最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性求最值,自测自评1函数 f(x)x33x(|x|1)(c)a有最大值，但无最小值b有最大值，也有最小值c.无最大值，也无最小值d无最大值，但有最小值解析：f(x)3x23.当|x|1，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减，故选 c.2函数 f(x)x24x1 在区间3，5上的最大值和最小值分别是 4，4解析：令 f(x)2x40，则 x2，f(x)在3，5上是单调函数，排除 f(2)，比较 f(3)，f(5)，即得

3、3函数 yxln x 在1，3内的最小值为 0解析：yln x1，x1，3，y0，函数 yxln x 在1，3内是递增函数，当 x1 时，ymin0.1. 函数 f(x)x33x1 在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是(c)a1，1b1，17c3，17d9，19解析：根据求最值的步骤，直接计算即可得答案为 c.2已知 f(x)12x2cos x，x1，1，则导函数 f(x)是(d)a仅有最小值的奇函数b既有最大值又有最小值的偶函数c仅有最大值的偶函数d既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得 f(x)xsin x，显然 f(x)是奇函数，令 h(x)f(x)，则 h(x)xsin x，求导

4、得 h(x)1cos x，当 x1，1时，h(x)0，所以 h(x)在1，1上单调递增，有最大值和最小值所以 f(x)是既有最大值又有最小值的奇函数故选 d.3函数 f(x)x2ax1 在点0，1上的最大值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意有：f(0)f(1)，即 12a，所以 a1.答案：(，14求下列函数的最值：(1)f(x)x32x，x1，1；(2)f(x)(x1)(x2)2，x0，3，解析：(1)当 x1，1时，f(x)3x220，则 f(x)x32x 在 x1， 1上单调递增 因而 f(x)的最小值时 f(1)3， 最大值是 f(1)3.(2)因为 f(x)(x1)

5、(x2)2x35x28x4，所以 f(x)(3x4)(x2)令 f(x)(3x4)(x2)0，得 x43或 x2，f(0)4，f43 427，f(2)0，f(3)2，f(x)的最大值是 2，最小值时4.5已知函数 f(x)x3ax24 在 x2 处取得极值，若 m，n1，1，求 f(m)f(n)的最小值解析：求导得 f(x)3x22ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342a20，a3.由此可得 f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知 f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，当 m1，1时，f(m)minf(0)4.又 f(x)3x26x 的图象

6、开口向下，且对称轴为 x1.当 n1，1时，f(n)minf(1)9.故 f(m)f(n)的最小值为13.1函数 f(x)x33x在(0，)上的最小值是(a)a4b5c3d12当 x1，2时，x312x22xm 恒成立，则实数 m 的取值范围是(b)a2，)b(2，)c(，2d(，2)解析：这是函数最值的简单应用，令 f(x)x312x22x，x1，2，则问题转化为求 f(x)得最大值，不难求得 f(x)maxf(2)2，则 m2.3函数 yln xx的最大值为(a)ae1bece2d.103解析：令 y（ln x）xln xxx21ln xx20，xe，当 xe 时，y0；当 xe 时，y0

7、，y极大值f(e)1e，在定义域内只有一个极值，所以 ymax1e.4在区间12，2上，函数 f(x)x2pxq 与 g(x)2x1x2在同一点取得相同的最小值，那么 f(x)在12，2上的最大值是(d)a.134b.54c8d4解析：由 g(x)22x30，得，x1，因为 g12 5，g(1)3，g(2)174，所以，当 x1时，g(x)ming(1)3.于是p21，1pq3，解得，p2，q4.因此，f(x)x22x4(x1)23，故当 x2 时，f(x)maxf(2)4.5对于 r 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有(c)af(0)f(2)2f(1)bf(0)f(

8、2)2f(1)cf(0)f(2)2f(1)df(0)f(2)2f(1)解析：依题意，当 x1 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，)上是增函数；当 x1 时，f(x)0，f(x)在(，1)上是减函数故 f(x)在 x1 时取得最小值，即有 f(0)f(1)，f(2)f(1)6函数 f(x)12ex(sin xcos x)在区间0，2 上的值域为(a)a.12，12e2b.12，12e2c.1，e2d.(1，e2)7函数 y12x21x(x0)的最小值是_解析：直接计算，得 ymin32.答案：328若函数 f(x)x33xa 在区间0，3上的最大值、最小值分别是 m、n，则 mn 的值为_解

9、析：令 f(x)3x230，解得 x1 或 x1.因为 f(0)a，f(1)2a，f(3)18a，所以 n2a，m18a，所以 mn20.答案：209已知函数 f(x)x22x3 在区间a，2上的最大值为154，则 a 等于_解析：f(x)(x1)24.f(x)的开口向下，对称轴为 x1，当 x1，f(1)4154，a1.f(x)在a，2是减函数f(a)154，解得 a12，或 a32(舍去)答案：1210设函数 f(x)ln xln(2x)ax(a0)(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(0，1上的最大值为12，求 a 的值解析：函数 f(x)的定义域为(0，2)

10、，f(x)1x12xa.(1)当 a1 时，f(x)x22x（2x），所以 f(x)的单调递增区间为(0， 2)，单调递减区间为( 2，2)(2)当 x(0，1时，f(x)22xx（2x）a0，即 f(x)在(0，1上单调递增，故 f(x)在(0，1上的最大值为 f(1)a，因此 a12.11设函数 f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数 f(x)的最小值为12.(1)求 a，b，c 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在1，3上的最大值和最小值解析：(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即ax3bx

11、cax3bxc，c0.f(x)3ax2b 的最小值为12，b12.又直线 x6y70 的斜率为16，因此 f(1)3ab6，解得 a2.故 a2，b12，c0.(2)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x 2)(x 2)，令 f(x)0，得 x 2或 x 2.在1，3上，当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：函数 f(x)的单调递增区间为(， 2)，( 2，)f(1)10，f(3)18，f( 2)8 2；当 x 2时，f(x)取得最小值为8 2.当 x3 时，f(x)取得最大值为 18.12设r，函数 f(x)ax33x2.(1)若 x2 时函数 yf(x)的极值点，求

12、 a 的值；(2)若函数 g(x)f(x)f(x)，x0，2，在 x0 处取得最大值，求 a 的取值范围解析：(1)f(x)3ax26x3x(ax2)因为 x2 是函数 yf(x)的极值点，所以 f(2)0，即 6(2a2)0，因此 a1.经验证，当 a1 时，x2 是函数 yf(x)的极值点(2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当 g(x)在区间0，2上的最大值为 g(0)时，g(0)g(2)，即 020a24.故得 a65.反之，当 a65时，对任意 x0，2，g(x)65x2(x3)3x(x2)3x5(2x2x10)3x5(2x5)(x2)0，而 g(0

13、)0，故 g(x)在区间0，2上的最大值为 g(0)综上，a 的取值范围为，65 .体验高考1(2014安徽卷)设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0.(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0，1时，求 f(x)取最大值和最小值时的 x 的值解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令 f(x)0，得 x11 43a3，x21 43a3，x1x2，所以 f(x)3(xx1)(xx2)当 xx1或 xx2时，f(x)0；当 x1xx2时，f(x)0.故 f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)因为 a0，所以 x1

14、0，x20.当 a4 时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最小值和最大值当 0a4，时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，所以 f(x)在xx21 43a3处取得最大值又 f(0)1，f(1)a，所以当 0a1 时，f(x)在 x1 处取最小值；当 a1 时，f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值；当 1a4 时，f(x)在 x0 处取得最小值2(2014江西卷)已知函数 f(x)(4x24axa2) x，其中 a0.(1)当 a4 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)在区间

15、1，4上的最小值为 8，求 a 的值解析：(1)当 a4 时，由 f(x)2（5x2） （x2）x0 得 x25或 x2.由 f(x)0 得 x0，25 或 x(2，)，故函数 f(x)的单调递增区间为0，25 和(2，)(2)因为 f(x)（10 xa） （2xa）2 x，a0，由 f(x)0 得 xa10或 xa2.当 x0，a10 时，f(x)单调递增；当 xa10，a2 时，f(x)单调递减；xa2，时，f(x)单调递增，易知 f(x)(2xa)2x0，且 fa2 0.当a21，即2a0 时，f(x)在1，4上最小值为 f(1)，由 f(1)44aa28，得 a2 22，均不符合题意当

16、 1a24，即8a2 时，f(x)在1，4上的最小值为 fa2 0，不符合题意当a24，即 a8 时，f(x)在1，4的最小值可能在 x1 或 x4 上取得，而 f(1)8，由 f(4)2(6416aa2)8 得 a10 或 a6(舍去)，当 a10 时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在1，4上的最小值为 f(4)8，符合题意综上有 a10.3已知函数 f(x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16.(1)求 a、b 的值；(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在3，3上的最小值解析：(1)因为 f(x)ax3bxc，故 f(x)3ax2b.由于 f(x)在点 x2 处取得极值 c16，故有f（2）0，f（2）c16，即12ab0，8a2bcc16，化简得12